Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.9 Mb.
|
Пример № 27. Пользуясь определителем Грама, исследовать данные функции на линейную зависимость в указанных промежутках:  Решение. 1. Чтобы найти определитель Грама, нужно вычислить все .Определитель Грама предложенной системы функций равен нулю, следовательно, функции линейно зависимы.2. Действуем аналогично п. 1 примера: Аналогично Следовательно, функции линейно независимы на 3. Действуя снова аналогично предыдущим пунктам, находим Так как определитель Грама функций и отличен от нуля, то функции и линейно независимы на Пример № 28. а) Найти определитель Вронского следующих систем функций на указанных интервалах: б) Какие выводы относительно линейной зависимости данных функций на можно сделать по их определителю Вронского? Исследовать системы функций на линейную зависимость.Решение: а) Находим определитель Вронского для каждого случая 1. 2. 3. 4. б) 1. Поскольку на , то данные функции линейно независимы на этом интервале.2. Сделать заключения о линейной зависимости (или независимости) системы функций по определителю Вронского нельзя, поскольку последний оказался равным нулю. Если исходить из определения линейной зависимости, то легко убедиться, что эти функции линейно зависимы. Для этого достаточно в линейной комбинации взять в качестве коэффициентов значения чтобы она стала тождественно равной нулю, 3. Аналогично п. 2, вывод о линейной зависимости только по определителю Вронского сделать нельзя Функции линейно зависимы на поскольку на имеет место тождество в котором 4. Определитель Вронского снова равен нулю, и вывод о линейной зависимости сделать нельзя. Следуя определению линейной зависимости системы функций, рассмотрим тождество Из него следует, что при должно выполняться равенство а при соответственно, равенство А так как система линейных уравнений имеет единственное (тривиальное) решение то заключаем, что система функций линейно независима. 3. Линейные неоднородные уравнения Линейное неоднородное уравнение n-го порядка будем рассматривать в канонической форме (39) Будем также использовать его краткую запись линейный дифференциальный оператор n-го порядка. Напомним, что коэффициенты уравнения (39) должны быть непрерывны на некотором интервале Теория и практическое решение неоднородных линейных уравнений во многом опираются на таковые для однородных линейных уравнений, рассмотренных достаточно подробно в предыдущем разделе. Оказывается, что если общее решение линейного однородного уравнения (уравнения (40)), соответствующего данному линейному неоднородному уравнению (уравнение (39)), уже известно, то для построения общего решения неоднородного уравнения достаточно найти какое-нибудь одно частное решение последнего. Общее решение неоднородного уравнения тогда будет иметь вид (43) Здесь общее решение однородного уравнения соответствующего уравнению а любое частное решение уравнения исходного неоднородного уравнения Для отыскания частного решения неоднородного уравнения существует метод, который называется методом вариации постоянных. С его помощью решение неоднородного уравнения можно построить всегда, если только уже известна фундаментальная система решений однородного уравнения Идея метода, его ещё называют методом Лагранжа, заключается в предположении, что частное решение имеет вид (44) где неизвестные функции. Чтобы функция (44) обращала уравнение (39) в тождество, необходимо и достаточно, чтобы функции были решением системы линейных неоднородных алгебраических уравнений (45) Систему (45) легко получить подстановкой решения (44) в (39). Её главный определитель (46) Следовательно, она совместна, и её решение (47) единственно. Отсюда следует, что (48) произвольные постоянные, и, в силу (43) и (44), общее решение неоднородного уравнения будет (49) Рассмотренный метод вариации постоянных (метод Лагранжа) универсален. Как видим, он сводится к интегрированию функций в (49), которое в случае невозможности его точного проведения может быть проделано численно. Рассмотрим ещё один метод – метод Коши – тоже достаточно универсальный. Итак, пусть снова фундаментальная система решений линейного однородного уравнения уже известна. В качестве частного решения неоднородного уравнения будем отыскивать то из них, которое удовлетворяет нулевым начальным условиям: (50) Оказывается, что его можно найти в виде (51) Выражение (51) называется формулой Коши. Функция функция Коши, являющаяся при каждом значении параметра решением однородного уравнения и удовлетворяющая условиям (52) Она может быть найдена в виде (53) где коэффициенты определяется так, чтобы удовлетворить условиям (52). Тогда формула (43) с учетом (51) дает решение неоднородного линейного уравнения. Третий метод, который мы рассмотрим, менее универсален, чем два предыдущих. Он заключается в том, что для линейных неоднородных уравнений имеет место принцип суперпозиции решений. Это означает, что если является решением линейного неоднородного уравнения (54) то функция является решением линейного неоднородного уравнения (55) где постоянные величины. Более того, если правая часть уравнения (39) представима в виде суммы ряда, т. е. а являются решениями неоднородных уравнений (56) причем ряд сходится и допускает n-кратное почленное дифференцирование, то функция будет решением линейного неоднородного уравнения Завершая краткий обзор методов решения линейных неоднородных уравнений, отметим одно их важное свойство, касающееся уравнений специального вида. А именно, если линейное неоднородное уравнение где коэффициенты левой части и правой части действительные функции, имеет комплексное решение то функции являются соответственно решениями двух уравнений: В заключение приведём формулу решения задачи Коши для линейного неоднородного уравнения если известна нормальная фундаментальная система решений линейного однородного уравнения Решением линейного неоднородного уравнения удовлетворяющим начальным условиям в этом случае будет где частное решение уравнения, удовлетворяющее нулевым начальным данным (отметим, что именно такое частное решение даёт метод Коши). 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами будем называть уравнение вида (57) где Заметим, что это суть уравнение (40), в котором все коэффициенты не зависят от Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, будем использовать для них другое обозначение: Проведем схему построения фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (57) (с точностью до отыскания корней многочлена n-ой степени). Алгоритм заключается в следующем. Сначала выписывается многочлен степени n (58) называемый характеристическим многочленом линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами Затем решается алгебраическое уравнение (59) называемое характеристическим уравнением оператора Согласно основной теореме алгебры оно имеет n корней (вообще говоря, комплексных), в числе которых могут быть корни кратности более чем единица. Если окажется, что все корни имеющие кратности соответственно, – действительные числа, то функции (60) образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (57). Рассмотрим теперь более общую ситуацию – когда у характеристического уравнения могут быть комплексные корни. Пусть снова в уравнении (58) коэффициенты действительные числа, а уравнение (59) имеет действительные корни: кратности кратности кратности а также комплексные корни ( последние образуют комплексно сопряженные пары с одинаковой кратностью): кратности кратности кратности В этом случае в качестве фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения (57) можно взять (61) Подстановкой функций системы (60) (или (61)) в исходное уравнение (57) легко убедиться, что они являются его решением. Доказательство линейной независимости также не представляет трудностей. Таким образом, решение линейного неоднородного уравнения сводится к алгебраической задаче отыскания корней полинома n-ой степени (58). Мы уже говорили о том, что преобразование переменных – независимых и зависимых (искомых функций) – является эффективным средством решения уравнений. Удачно найденные замены часто позволяют свести исходное уравнение к уже решенным. Приведем несколько таких примеров, касающихся преобразования некоторых частных видов уравнений в уравнения с постоянными коэффициентами. |
