Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.9 Mb.
|
Любая система из  линейно независимых решений однородного уравнения (40) называется фундаментальной системой решений однородного уравнения. Фундаментальная система решений называется нормальной (при ), если где 3. Общее решение линейного однородного уравнения (40) имеет вид где произвольные постоянные, а фундаментальная система решений этого уравнения.4. Если нормальная фундаментальная система решений уравнения (40), то решение для него задачи Коши с начальными условиями имеет вид Сформулируем далее (без доказательства) условия линейной зависимости и независимости системы функций, которые обозначим 1. Для того, чтобы функции непрерывные на отрезке , были линейно независимы на , необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама системы функций имеющий видгде был отличен от нуля: 2. Для того, чтобы функции непрерывные на вместе со своими производными до -го порядка включительно, были линейно независимы на , достаточно, чтобы определитель Вронского (вронскиан) системы функций был отличен от нуля хотя бы в одной точке. То есть должна существовать точка такая, что3. Если функции непрерывные на вместе со своими производными до -го порядка включительно, линейно зависимы на то 4. Для того, чтобы решения линейного однородного уравнения -го порядка (40) были линейно независимы на необходимо и достаточно, чтобыДля вронскиана решений линейного однородного уравнения (40) имеет место формула (приведём её без доказательства): которую в литературе принято называть формулой Лиувилля-Остроградского. Из формулы Лиувилля-Остроградского вытекает следующее условие. 5. Для того, чтобы решения линейного однородного уравнения -го порядка (40) были линейно независимы на необходимо и достаточно, чтобы вронскиан не обращался в нуль хотя бы в одной точке Приведём далее ряд утверждений, являющихся суть следствиями изложенных выше фактов и определений. Эти утверждения можно расценивать как упражнения. Обоснование их не представляет трудностей, поэтому ограничимся в каждом случае лишь указанием идеи доказательства. Будем рассматривать некоторую систему функций определенных на 1. Система функций будет линейно зависимой на , если хотя бы одна из этих функций, например тождественно равна нулю на . Идея доказательства: достаточно взять 2. Система функций линейно зависима на , если хотя бы две из них (например, и тождественно равны между собой. Идея доказательства: достаточно взять 3. Любая подсистема системы линейно независимых на функций также линейна независима. Идея доказательства от противного. Набор ненулевых коэффициентов такой подсистемы, дающих тождественно равную нулю линейную комбинацию, следует дополнить нулевыми коэффициентами до полного набора коэффициентов для всей системы из функций .4. Если какая-либо подсистема системы функций линейно зависима на , то и вся система тоже. Идея доказательства также – от противного. Использовать предыдущее утверждение 3.5. Если система функций линейно зависима на , то она линейно зависима на любом промежутке Доказательство очевидно.6. Если линейно независима на , то отсюда не следует, что эта система линейно независима на любом интервале Идея доказательства: достаточно показать, что две функции и линейно независимы на интервале и линейно зависимы на промежутке 7. Если система функций линейно независима на интервале то она линейно независима и на всем промежутке . Идея доказательства от противного. Использовать утверждение 5.8. Если функции непрерывно дифференцируемы на раз и вронскиан на то эта система функций линейно независима на . Идея доказательства: предположить противное, тогда что невозможно.9. Если для системы из двух функций имеет место неравенство на , то эти функции линейно независимы на Идея доказательства от противного.10. Если, наоборот, на , то эта пара функций линейно зависима на Идея доказательства: если обозначить через то для доказательства достаточно взять в качестве коэффициентов линейной комбинации величины и (при этом, разумеется, учитывается, что ).Решим несколько примеров. Пример 26. Исследовать на линейную зависимость системы функций: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Функции рассматриваются в областях, где они определены.Решение: 1. Предположим, что функции линейно зависимы на Тогда на справедливо тождество где что невозможно, так как левая часть тождества – многочлен степени не выше третьей, который, как известно, может обращаться в нуль не более, чем в трех точках промежутка Следовательно, функции линейно независимы на Из решения следует, в частности, что эти функции линейно независимы на любом промежутке 2. Так как при то в силу утверждения 9 данные функции линейно независимы на 3. Функции и определены на Предположим, что они линейно зависимы на т. е. имеет место тождество где, например, Положим Тогда из тождества следует, что Полученное противоречие означает, что и линейно независимы на 4. Покажем, что существуют такие, что и для которых на промежутке справедливо тождество После приведения подобных тождество запишется в виде Так как функции и линейно независимы на , (см. п. 1 примера), то оба коэффициента – при и при – должны быть нулевыми, т. е. удовлетворяют двум линейным уравнениям (системе)Если какой-нибудь из трёх величин, например, присвоить произвольное ненулевое значение, то легко убедиться, что возникающая в результате система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными всегда имеет решение, поскольку её определитель отличен от нуля:Cказанное означает, что интересующие нас функции линейно зависимы на .5. Если рассуждать аналогично п. 4, то в этом случае придем к системе алгебраических уравнений: Система однородна, её главный определитель и, следовательно, она имеет только тривиальное решение: Это в свою очередь означает, что данные функции линейно независимы на .6. Пусть данные функции линейно зависимы на Тогда на этом промежутке должно выполняться тождество Поскольку то тождество разбивается на два: при и при А так как функции и линейно независимы на всем промежутке то из последних двух тождеств следует, что что противоречит сделанному предположению. Противоречие означает, что рассмотренные функции линейно независимы на |
