Решение: а) Расстояние между точками и определяется по формуле:. (1)

Содержание Задание №6. 2 Задание №7. 5 Задание №8. 9 Задание №9. 10 Задание №10. 12 Задание №11. 14 Задание №12. 15 Задание №13. 16 Задание №14. 18 Задание №15. 20 Задание №16. 23 Задание №13. 24 Задание №18. 25 Задание №19. 27 Литература 28 Задание 6. Даны координаты вершин треугольника . Найдите а) длину стороны АВ б) уравнение высоты СD и ее длину в) уравнение медианы АМ г) точку пересечения высоты СD и медианы АМ д) угол С в Сделать чертеж А(6,8) В(5,-7) С(-6,0) Решение: а) Расстояние между точками и определяется по формуле: . (1) Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем: б) Составим уравнение прямой АВ с помощью формулы . (2) Подставив в (2) координаты точек A и В: Для нахождение углового коэффициента прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: . Отсюда Так как высота перпендикулярна стороне , то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е. . Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентом направлении, имеет вид: . (3) Подставив в (3) координаты точки С и , получим уравнение высоты : . Найдем точку Д, как точку пересечения прямых СД и АВ в) уравнение медианы проведенной через вершину A найдём по формуле (2) для точек A(6;8) и точки М как середины стороны BC г) точку пересечения высоты СD и медианы АМ найдем из системы N() - точка пересечения высоты СD и медианы АМ д) Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны и , определяется по формуле: . (4) Угол С, образованный прямыми BC и АС, найдем по формуле (4) Подставив в (2) координаты точек B и C: Для нахождение углового коэффициента прямой ВС разрешим полученное уравнение относительно у: . Отсюда Подставив в (2) координаты точек А и C: Для нахождение углового коэффициента прямой АС разрешим полученное уравнение относительно у: . Отсюда , град. Задание 7. Даны четыре точки А, В, С и S. Найти: уравнения а) плоскости АВС б) прямой АВ в) прямой SN, перпендикулярной к плоскости АВС г) косинус угла между плоскостями АВС и ВСS д) объем пирамиды АВСS е) уравнение прямой SD, параллельной прямой АВ ж) площадь грани АВС А(8,1,0) В(-1,-3,0) С(-1,0,-4) S(2,-4,7) Решение а) Для составления уравнения плоскости АВС воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки . б) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид Тогда для точек А(8,1,0) В(-1,-3,0) в) Направляющий вектор искомой высоты - это вектор нормали плоскости Из уравнения плоскости имеем вектор нормали Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении вектора имеет вид Тогда для точки г) Найдем уравнение плоскости ВСS Косинус угла найдем по формуле д) Объем пирамиды АВСS численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле. Таким образом, . е) уравнение прямой SD, параллельной прямой АВ Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении вектора имеет вид Тогда для точки ж) площадь грани АВС будет вычисляться по формуле: Значит, Задание 8. Методом параллельных сечений исследовать форму поверхности. Сделать рисунок. Решение Решение Параллельные сечения тут уже сделаны, т.к. уравнение не зависит от x, а значит во всех плоскостях, перпендикулярных оси Ox имеем одно и то же сечение т.е. сечение представляет гиперболу, а значит вся поверхность является гиперболическим цилиндром второго порядка. Задание 9. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя а) б) в) г) д) е) Решение а) Так как при числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, то имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на б) Так как при числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на == в) Так как при числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на : г) Так как при числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, то имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на : д) Так как при числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то имеем неопределенность вида . По свойствам основных эквивалентностей для бесконечно малых функций имеем при : e) Так как при имеем неопределенность вида Выражение, стоящее под знаком предела, приводим к такому виду, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом Задание 10. Найти производные данных функций а) б) в) г) Решение б) в) Логарифмируя исходную функцию имеем Тогда искомая производная равна г) Вычисляем производную, считая y функцией от x Выражая y’ получим искомую производную Задание 11. Заданы функции и два значения аргумента и . Требуется а) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; б) в случае разрыва функции найти ее пределы слева и справа; в) сделать схематический чертеж Решение а) Установим, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента, для чего определим значения : б) Найдем пределы функции слева и справа в точке в) Сделаем схематический чертеж. Задание 12. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж. Решение Функция определена на каждом из промежутков и может иметь точки разрыва только в точках . Найдем односторонние пределы в этих точках: Поскольку односторонние пределы в точке конечны и равны, то в этой точке функция непрерывна. Поскольку односторонние пределы в точке конечны и различны, то в этой точке функция терпит разрыв первого рода. Сделаем схематический чертеж Задание 13. С помощью преобразования графика построить график функции Решение Построим последовательно следующие графики - синусоида - сужение по оси х - смещение по оси х влево - растяжение по оси у и отражение по горизонтали Задание 14. Используя правило Лопиталя вычислить пределы а) б) Решение а) Так как при числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то имеем неопределенность вида . б) Неопределенности нет Видимо в условии опечатка и следует решать Логарифмируя функцию имеем Тогда Тогда Задание 15. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить её график. Решение 1). Найдем область определения функции. Функция определена на всей области определения 2). Исследуем функцию на четность и нечетность. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как 3). Исследуем функцию на непрерывность и определим вертикальные асимптоты. Функция не имеет разрывов, значит вертикальных асимптот нет. Уравнения наклонных асимптот ищем в виде где Следовательно наклонных асимптот нет. 4) Определим точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции с помощью первой производной: Так как , при то x y’ + + - + y Из таблицы видно, что функция возрастает при и убывает при . 6). Определим точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости с помощью второй производной. Так как , при то Определим знак y” на каждом интервале: x y” - + - + y Из таблицы видно, что функция вогнута при и выпукла при . 7). Найдем точки пересечения кривой с осями координат При . Дополнительные точки 7). По результатам исследования построим график данной функции. Задание 16. Для функции вычислить значение и с точностью до . Применить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. ( и с таблицы- 1). =5 =6 Решение Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид отсюда получаем Для любого значения имеем отсюда или следовательно следованием или Следовательно, для заданной точности каждый отброшенный член должен быть меньше . При эта точность достигается при n=6, а при n=6 Задание 17. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке . Решение Найдем значения функции на границе области определения и в нулях первой производной На промежутке [-1;3] y’=0 при х=0 наибольшее значение функции наименьшее значение функции Задание 18. Турист идет из пункта , находящегося на шоссейной дороге, в пункт расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от до по прямой составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт , если скорость его по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч! Решение Пусть турист проехал по шоссе х км. Тогда по теореме косинусов путь по бездорожью равен Поскольку То Время, затраченное на поездку, равно Решая квадратное уравнение получим Очевидно, что путь займет меньше времени Задание 19. Определить количество действительных корней уравнения , отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенное значение с точностью . Решение непрерывная функция на всей области определения . В точке x=0, а в точке x=1 y(1)= 4>0. Следовательно на отрезке [0;1] функция обращается в ноль и уравнение на этом отрезке имеет корень. Найдем . Так как для всех , то функция y(x) монотонно возрастает на всей области определения и имеет только единственный корень на отрезке [0;1]. Уточним отрезок на котором находится корень. Разделим отрезок [0;1] на сто частей и убедимся, что функция y(x) меняет знак только на отрезке [0.23; 0.25]. Следовательно корень уравнения лежит на отрезке [0.23; 0.25]. Проверим, для какой из этих двух точек выполняется условие поскольку то применяя метод Ньютона положим. Находим .. Таким образам x= корень данного уравнения, с точностью имеем x= Литература 1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с. 2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с. 3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... При этом измеряют ничтожно малые угловые смещения звезд при их наблюдении с разных точек земной орбиты, то есть в разное время года....		Урок 2 Тема урока: Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол... Рассмотреть случаи, когда прямые заданы каноническими, общими или уравнениями с угловым коэффициентом. Научить находить косинус угла...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Расстояние между пристанями теплоход проходит по течению реки за 4 ч, а против течения – за 5 ч. Найдите расстояние между пристанями,...		Тема урока : Решение задач аналитическим способом рассуждения Учить анализировать задачи, применять знания о взаимосвязи между величинами скорость, время, расстояние
	Урок 51 касательная к окружности цели Две окружности разных радиусов внешне касаются. Докажите, что отрезок их общей касательной, заключенный между точками касания, есть...		Методика расчета фактической загруженности и мощность спортивных сооружений Фактическая годовая загруженность спортивного сооружения определяется по формуле
	Урок по математике 5 класс на тему: «Скорость, время, расстояние... Учить читать модели движения, находить закономерности между характеристиками движения объектов		Тема: Подготовка к итоговой аттестации. Решение задач на нахождение... Общить и систематизировать знания учащихся о нахождении углов между скрещивающимися прямыми, углов между двумя плоскостями, углов...
	Урок конференция по теме "Решение задач с помощью квадратных уравнений" 8-й класс Решение задач с помощью квадратных уравнений”. Продолжить закрепление решение квадратных уравнений по формуле		14 лекций, 14 семинаров, 8 кредитов ects Одна из задач курса — развить социологическую рефлексию, в том числе опираясь на различие между этими двумя точками зрения
	Урока Тема Число часов Обучение простейшим приёмам работы с источниками географической информации. Определение по картам и глобусу расстояний между точками...		Действия над векторами Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами. Различают также направленный отрезок, т е отрезок, относительно...
	Урок 3 Связь между координатами вектора и координатами его начала... Цели: рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины...		Урок на тему: «Решение квадратных уравнений по формуле» Григорьева Мария Александровна, преподаватель кафедры административного, финансового и коммерческого права
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Постройте отрезок dс — 3 см 4 мм и отметьте на нем точки а и в так, чтобы точка в лежала между точками d и А		Конспект урока по математике для 4 класса Тема: «Скорость. Время. Расстояние. Взаимосвязь между «скоростью», «временем», «расстоянием»