Рабочая программа дисциплины Нелинейная динамика Лекторы

Рабочая программа дисциплины 1. Нелинейная динамика 2. Лекторы. 2.1. Кандидат физико-математических наук, доцент, Елютин Павел Вячеславович, кафедра квантовой электроники физического факультета МГУ, pvelyutin@mtu-net.ru , 939-11-04. 3. Аннотация дисциплины. Курс посвящен основам современной нелинейной динамики – теории хаотического движения в динамических системах с дискретным временем (отображениях) и непрерывным временем (потоках). В ходе изучения курса студенты осваивают основную модель хаотического движения (экспоненциально неустойчивый стационарный случайный процесс), основные типы связанных с хаосом структур фазового пространства (устойчивые и неустойчивые многообразия, расщепленные сепаратрисы, стохастические компоненты, странные аттракторы и их бассейны) и их бифуркаций, методы аналитического и численного исследования характеристик хаотического движения динамических систем. Основные разделы программы: кинематика хаотического движения, динамические системы и их классификация, хаос в консервативных системах, хаос в диссипативных системах. 4. Цели освоения дисциплины. Получить основные представления о характеристиках хаотического движения в динамических системах с дискретным и непрерывным временем, о зависимости характеристик от параметров динамических систем, об условиях возникновения и исчезновения хаотического движения при изменении параметров. 5. Задачи дисциплины. Изучение кинематических моделей хаотического движения; Изучение основных характеристик хаотического движения (функции распределения динамических переменных, средние значения и корреляционные функции, показатели Ляпунова) и методов их аналитического и численного определения; Изучение сценариев перехода между областями регулярного и хаотического движения в пространстве параметров диссипативных динамических систем. 6. Компетенции. 7.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины. ПК-1 7.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины. ПК-2 7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины В результате освоения дисциплины студент должен знать основные методы исследования свойств хаотического движения простых динамических систем; уметь применять эти методы для исследования произвольных моделей; владеть навыками решения задач по основным разделам курса. 8. Содержание и структура дисциплины. Вид работы Семестр Всего 7 Общая трудоёмкость, акад. часов … 72… … 72… Аудиторная работа: … 36… … 36 Лекции, акад. часов … 36 … 36… Семинары, акад. часов … … … … Лабораторные работы, акад. часов … … … … Самостоятельная работа, акад. часов … 36 … 36 Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен) … экз… … … N раз- дела Наименование раздела Разделы могут объединять несколько лекций Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий Распределение общей трудоёмкости по семестрам указано в рабочих планах (приложение 7) Форма текущего контроля Аудиторная работа Самостоятельная работа Содержание самостоятельной работы должно быть обеспечено, например, пособиями, интернет-ресурсами, домашними заданиями и т.п. Лекции Семинары Лабораторные работы 1 Введение 1. 2 часа. Нелинейная динамика как раздел математической физики. Рождение нелинейной динамики: модели Лоренца, Хенона – Хейлеса и Синая. Показатель Ляпунова и определение хаоса. Кинематика теории колебаний: модели регулярного движения. Расширение кинематики: модель хаотического движения - случайный процесс; описание движения усредненными характеристиками (средние значения, функции распределения, корреляционные функции, спектры). 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 2. 2 часа Расширение динамики: модели с дискретным временем (отображения). Отображение Фибоначчи и его обобщения. Методы численного решения основных задач. Алгоритм Бенеттина для вычисления показателя Ляпунова. Корреляционная функция, скорость перемешивания. Спектр мощности. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 3. 2 часа. Простейшая модель: линейный датчик случайных чисел (пилообразное отображение). Показатель Ляпунова и автокоррелятор динамической переменной. Классификация динамических систем. Локальная диссипация. Исследовательская программа нелинейной динамики. Предварительные сведения о сходствах и отличиях хаотического движения в консервативных и диссипативных системах. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 2 Хаотическая динамика консервативных систем 2 часа Стандартное отображение: определение и физическая модель-прототип, ротатор с дельта-толчками. Неподвижные точки и их устойчивость. Случай малых - резонанс и сепаратриса. Устойчивое и неустойчивое многообразия. Расщепление сепаратрисы. Мера стохастической компоненты. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 2 часа Стандартное отображение в случае больших - приближение сплошной стохастичности. Показатель Ляпунова. Автокоррелятор переменной . 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 3. 2 часа Перекрытие резонансов. Критерий Чирикова. Переход ко глобальной стохастичности. Диффузия по действию. Улучшение оценки порога глобальной стохастичности для стандартного отображения: деформация сепаратрис. Циклы длины 2. Резонанс с числом вращения . 2 часа Работа с лекционным материалом и решение задач по теме ДЗ 4. 2 часа Торы с иррациональными числами вращения. Теорема КАМ. Разрушение золотого тора. Возмущенный маятник и его связь со стандартным отображением. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 5. 2 часа Сепаратрисное отображение. Неподвижные точки, частичная линеаризация. Размеры стохастического слоя стандартного отображения при . Показатель Ляпунова сепаратрисного и стандартного () отображений. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ Т 6. 2 часа Модели умеренных колебаний. Модель Палена – Эдмондса: резонансный гамильтониан. Построение сепаратрисного отображения. Его использование для оценки меры хаотической компоненты и показателя Ляпунова. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 7. 2 часа Сечение и отображение Пуанкаре. Переход к сплошной стохастичности в автономных системах: критерий Тоды. Сплошная стохастичность и микроканоническое распределение. Оценка показателя Ляпунова модели Палена – Эдмондса в приближении сплошной стохастичности. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 8. 2 часа Модель Палена – Эдмондса: автокорреляционная функция координаты и спектр мощности. Эргодическая гипотеза. Газ твердых сфер и биллиарды. Законы подобия. Характеристические показатели Ляпунова. Свойства спектра ХПЛ. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 3 Хаотическая динамика диссипативных систем 2 часа Отбор моделей. Сингулярное поведение при исчезающее малой диссипации. Логистическое отображение: определение, неподвижные точки, циклы. Сценарий Фейгенбаума: переход к хаосу через каскад удвоений периода. Свойства подобия каскада. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 2 часа Сценарий Фейгенбаума: приближенная оценка констант и Инвариантное распределение. Уравнение Фробениуса – Перрона и его приближенное решение. Показатель Ляпунова логистического отображения. Точный вид инвариантного распределения при (формула Улама – фон Неймана). Автокорреляционная функция при 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 2 часа Окна периодичности логистического отображения. Теорема Шарковского. Сценарий Помо – Манневиля: переход к хаосу через перемежаемость. Продолжительность ламинарной фазы. Поведение показателя Ляпунова вблизи порога. Кризисы и сценарий Гребоги – Отта – Йорке. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 2 часа Двумерные диссипативные отображения. Отображение Хенона; определение, неподвижные точки, хаотический аттрактор и его общий вид. Структура аттрактора. Канторово множество и фракталы. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 2 часа Странные аттракторы и хаос. Связь между спектром ХПЛ и фрактальной размерностью аттрактора (гипотеза Каплана – Йорке). Квазипериодичность и хаос. Синусное отображение окружности. Языки Арнольда. Чертова лестница. Переход к хаосу через синхронизацию. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 2 часа Переход «тор-хаос» в двумерных отображениях. Отображение Канеко. Осцилляции тора. Теорема Рюэля – Такенса – Ньюхауса и сценарий РТН. Подавление трехчастотных движений с ростом нелинейности. 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ 2 часа Модель Лоренца. Основные свойства. Ловушка модели. Характер движения вблизи неустойчивых неподвижных точек. Структура аттрактора. Сценарий перехода к хаосу через нелокальную бифуркацию. Спектр мощности динамической переменной . 2 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач по теме. ДЗ Семинары и лабораторные работы указываются только при их наличии в учебном плане (приложение 6). Остальные позиции заполняются в обязательном порядке. Предусмотрены следующие формы текущего контроля успеваемости. 1. Защита лабораторной работы (ЛР); 2. Расчетно-графическое задание (РГЗ); 3. Домашнее задание (ДЗ); 4. Реферат (Р); 5. Эссе (Э); 6. Коллоквиум (К); 7. Рубежный контроль (РК); 8. Тестирование (Т); 9. Проект (П); 10. Контрольная работа (КР); 11. Деловая игра (ДИ); 12. Опрос (Оп); 15. Рейтинговая система (РС); 16. Обсуждение (Об). 9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО по выбору. вариативная часть, профессиональный блок, дисциплина профиля. Является основой для чтения дисциплин кафедры квантовой электроники. Необходимо знание матанализа, теории колебаний (знание основных свойств свободных и вынужденных колебаний линейного осциллятора в пределах курса общей физики), элементов теоретической механики и статистической физики. Математический анализ, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, общая физика. Кинетика сложных систем, теоретические основы квантовой радиофизики. 10. Образовательные технологии включение студентов в проектную деятельность, дискуссии, применение компьютерных симуляторов, использование средств дистанционного сопровождения учебного процесса, 11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации. Образцы задач из домашних заданий: 1. Модель экономической динамики Самуэльсона – Хикса задана отображением , где - ВВП в году , а , и - положительные параметры. Найти условия, при которых поведение немонотонно. Может ли эта модель иметь хаотические решения? 2. Диссипативное обобщение отображения Фибоначчи единичного квадрата на себя дается формулами (*) где - символ дробной части, - управляющий параметр. a) Построить (численно) график предельной траектории (траектории, взятой начиная с достаточно большого момента времени, когда выбор начальных условий уже не сказывается) для отображения (*) при . b) Найти зависимость показателя Ляпунова для отображения (*). Что происходит с показателем Ляпунова с ростом диссипации? c) Найти зависимость скорости перемешивания для отображения (*). Что происходит с показателем Ляпунова с ростом скорости перемешивания? 3. Исследовать свойства одномерного отображения отрезка в себя при . a) Найти неподвижные точки и определить их устойчивость. b) Найти (минимальные) значения , при которых рождаются циклы длины 2, 4 и 8 и вычислить первое приближение для константы Фейгенбаума . c) Найти нижнюю границу области хаоса . d) Найти границы (по ) окна периодичности периода 3. e) Вычислить показатель Ляпунова при . Сравнить результаты с соответствующими значениями для логистического отображения. Образцы тестовых вопросов 1. Для линейного датчика случайных чисел выражение для автокорреляционной функции переменной справедливо A при любых и B при и любых C при любых и целочисленных D при и целочисленных <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 2. Для двумерного отображения с уравнениями движения диссипация равна A B C D <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 3. Для двумерного отображения единичного квадрата на себя, заданного формулами , (где - символ дробной части) показатель Ляпунова равен A B C D <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Полный список вопросов к экзамену Введение 1. Конечномерные динамические системы. Потоки и отображения. Основные задачи теории динамических систем: задача Коши, исследование устойчивости, исследование структуры фазового пространства, исследование динамической системы. 2. Классификация динамических систем. Локальная диссипация: консервативные и диссипативные системы (потоки и отображения). Аттракторы диссипативных систем и их бассейны. 3. Основные свойства хаотического движения в консервативных и диссипативных системах, их сходства и отличия. 4. Простейшая модель хаотической динамики - линейный датчик случайных чисел; его основные характеристики. Связь скорости перемешивания с показателем Ляпунова. 5. Неавтономные системы с одной степенью свободы с периодически зависящим от времени гамильтонианом. Отображение Пуанкаре за период. Отображения, сохраняющие площадь. Хаотическая динамика консервативных систем 6. Стандартное отображение и его физический прототип - ротатор с периодическими толчками. Неподвижные точки. Матрица устойчивости, локальная устойчивость. Главный резонанс и сепаратриса. Расщепление сепаратрисы; гомо- и гетероклинная структура. 7. Стохастическая (хаотическая) компонента фазового пространства консервативных систем, ее размерность. Мера стохастической компоненты в фазовом пространстве и способ ее вычисления. 8. Глобальная стохастичность движения консервативных систем. Критерий перекрытия резонансов (Чирикова). 9. Диффузия по действию в консервативных системах с периодическим возмущением, коэффициент диффузии. 10. Стандартное отображение: циклы отображения и высшие резонансы; полуцелый резонанс. Торы с иррациональными числами вращения. Критерий разрушения "золотого" инвариантного тора. 11. Стандартное отображение: зависимость показателя Ляпунова от параметра . Приближенное значение показателя Ляпунова как среднего показателя локальной неустойчивости. 12. Сепаратрисное отображение: построение, основные свойства модели и ее связь со стандартным отображением. 13. Свойства стандартного отображения при малых. Ширина стохастического слоя главного резонанса и величина показателя Ляпунова. 14. Описание модели Паллена - Эдмондса в переменных “действие - угол”: резонансный гамильтониан. Слабая стохастичность, резонанс и сепаратриса усредненного гамильтониана. 15. Свойства движения модели Паллена – Эдмондса в эргодическом режиме (при ). Зависимость от энергии показателя Ляпунова и спектра мощности координаты. 16. Порог стохастичности в автономных консервативных системах и критерий Тоды. Ограничения на применимость критерия Тоды. 17. Хаотическое движение в биллиардах. Зависимость показателя Ляпунова и скорости перемешивания от энергии. Зависимость спектра мощности координаты от частоты и энергии. 18. Характеристические показатели Ляпунова, свойства их спектра для систем - потоков. Способ численного отыскания спектра ХПЛ. Хаотическая динамика диссипативных систем 19. Логистическое отображение. Бифуркация удвоения периода. Сценарий Фейгенбаума: переход к хаосу через последовательные удвоения периода. Универсальные свойства сценария. 20. Показатель Ляпунова для одномерных отображений: инвариантное распределение, уравнение Фробениуса – Перрона. Показатель Ляпунова для логистического отображения. 21. Тангенциальная бифуркация. Сценарий Помо - Манневиля: переход к хаосу через перемежаемость, его универсальные свойства. 22. Окна периодичности логистического отображения, их универсальные свойства. Окно периода 3 и переход к хаосу через перемежаемость. 23. Двумерные диссипативные отображения. Отображение Хенона. Сценарий перехода к хаосу. Приближенное описание формы странного аттрактора. 24. Канторово множество и фракталы. Размерность самоподобия и емкость. Связь фрактальной размерности аттрактора с характеристическими показателями Ляпунова. 25. Синусное отображение окружности. Области синхронизации (языки Арнольда). Сценарии перехода к хаосу. Общее очертание границы хаотического режима. 26. Двумерные диссипативные отображения. Отображения Хенона и Канеко. Сходства и отличия сценариев перехода к хаосу в этих моделях. 27. Бифуркация Хопфа. Квазипериодическое движение и торы в диссипативных системах. Переход "тор - хаос", синхронизация. Сценарий Рюэля - Такенса - Ньюхауса. 28. Модель Лоренца и ее физический прототип - задача о термоконвекции Рэлея - Бенара. Основные свойства модели: финитность движения, неподвижные точки и условия их устойчивости. 29. Модель Лоренца: свойства хаотического движения на стандартной прямой (). Очертания странного аттрактора и его структура. Неустойчивые многообразия неподвижных точек и странный аттрактор. Задачи 01. Вычислить зависимость показателя Ляпунова от параметра для отображения отрезка на себя, заданного формулами 02. Для системы Ресслера с уравнениями движения , где, и - положительные параметры, доказать, что среднее по времени значение переменной при финитном движении отрицательно: . 03. Может ли быть хаотическим движение в двумерной модели, представляющей отображение квадрата на себя, заданное формулами ( - символ дробной части)? 04. Доказать, что для отображения отрезка [0,1] на себя, заданного формулой , ( - символ дробной части) показатель Ляпунова не превосходит 5/2. 05. Отображение отрезка на себя, заданное формулой , где - символ дробной части, называется отображением Гаусса. Доказать, что инвариантная плотность отображения Гаусса есть . 06. С помощью критерия Тоды найти порог стохастичности для системы с гамильтонианом . 07. "Рассмотрим первые цифры чисел : 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4... Есть ли в этой последовательности цифра 7? И какая цифра встречается чаще: 7 или 8? И во сколько раз?" (В.И. Арнольд) 08. Для отображения, заданного формулой , вычислить зависимость показателя Ляпунова от при движении на аттракторе при . 09. При каком значении параметра для датчика случайных чисел корреляция значений и минимальна (корреляционная функция )? 10. Найти вид неустойчивого многообразия вблизи неподвижной точки отображения Хенона, при и . 11. Вычислить функцию распределения в координатном пространстве для системы с тремя степенями свободы с гамильтонианом и микроканоническим распределением в фазовом пространстве. 12. С помощью критерия Тоды найти пороги стохастичности по параметру для модели Карнеги - Персиваля (CP) - семейства потенциалов Указать значения , при которых модель CP допускает разделение переменных (и, соответственно, не обладает хаотическим движением). 13. Может ли быть хаотическим движение в двумерной модели, представляющей отображение квадрата на себя, заданное формулами ( - символ дробной части)? 14. Вычислить фрактальную размерность (емкость) последовательности точек , (), где . 15. Для частицы массы , совершающей хаотическое движение в двумерном однородном степенном потенциале степени (), найти зависимость показателя Ляпунова от энергии частицы . 16. Для модели Лоренца при значениях параметров , и найти вид неустойчивого многообразия начала координат (в низшем приближении). 17. Диссипативным обобщением стандартного отображения является отображение Заславского с уравнениями движения . Доказать, что при любых значениях и движение этой системы финитно по действию. 12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины Основная литература 1. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. - 528 с. - 148 ил. 2. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. - 240 с. - 126 ил. 3. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. - 272 с. - 151 ил. [Гл. 2 "Динамический хаос" (с. 90 - 179).] Дополнительная литература 1. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. - 424 с. - 331 ил. 2. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. - 368 с. - 237 ил. 3. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. - 312 с. - 156 ил. 4. Мун Ф. Хаотические колебания. Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - 312 с. - 176 ил. 5. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. - 368 с. - 189 ил. 6. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991. - 240 с. - 175 ил. 7. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. - 496 с. - 222 ил. 8. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 320 с. - 106 ил. Интернет – ресурс http://shg.phys.msu.ru/educat/vibrat.html 13. Материально-техническое обеспечение Черная доска и мел; белая доска и фломастеры; демонстрационные печатные материалы (графики, отпечатанные на листах формата А4). Компьютер и проектор для демонстрации слайдов. Стр. из

Похожие:

	Нелинейная динамика, геофизическая гидродинамика и атмосфера Продолжена разработка методов расчета обратных задач хаотической динамики, установлены принципиальные ограничения метода, обусловленные...		Рабочая программа дисциплины "Строительная механика машин" для специальности... Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и примерной программой дисциплины по направлению...
	Рабочая программа дисциплины Введение в квантовую физику Лекторы Авакянц Лев Павлович, кафедра общей физики физического факультета мгу, e-mail:, телефон 939-1489		Рабочая программы дисциплины Лазерная спектроскопия Лекторы ...
	Рабочая программы дисциплины Теория волн Лекторы ...		Рабочая программа дисциплины Основы корреляционной спектроскопии Лекторы Доктор физико-математических наук, профессор, Пенин Александр Николаевич, кафедра квантовой электроники физического факультета мгу,,...
	Рабочая программа дисциплины Общая астрофизика Лекторы Д. ф м н., проф. Засов Анатолий Владимирович, кафедра астрофизики и звездной астрономии физического факультета мгу, e-mail:, телефон.:...		Рабочая программа дисциплины Теория колебаний Лекторы Кандидат физико-математических наук, доцент, Елютин Павел Вячеславович, кафедра квантовой электроники физического факультета мгу,...
	Рабочая программа учебной дисциплины «Динамика подвижного состава... Автор Николаев Виктор Александрович, проф кафедры тм, д т н., проф ф и о полностью, должность, ученая степень, ученое звание		Рабочая программа учебной дисциплины «основы автоматизированного проектирования» Дисциплина относится к дисциплинам вариативной части профессионального цикла Б. 3 основной образовательной программы подготовки бакалавров...
	Программа включает со Авторы программы и лекторы: кандидат социолог наук, доцент Л. Г. Егорова (lge64@mail ru)		Рабочая программа дисциплины "Механика композитных материалов" для... В 2011 – 2012 учебном году дворец творчества детей и молодежи «Преображенский» работал над следующими основными задачами
	Рабочая программа учебной дисциплины (рпуд) аналитическая динамика... Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта высшего образования,...		Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский... Рабочая программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и...
	Динамика колебаний. Резонанс. Механические и звуковые волны. Теория... Ходьба с разными движениями на носках – руки за головой, на пятках – руки за спиной, в полуприсед – руки перед собой, с пятки на...		Правила вождения мопеда. Трогание с места (с остановкой) Скутер заправляется бензином марки аи95(92) и моторным маслом для 2х-тактных двигателей. Можно конечно заправлять и аи-92, но тогда...