ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ |
|
| ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
|
539.3/.6(07)
Ч-498
В.Л.Данилов, О.Ф.Чернявский, Никитина И.Д. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие
Разделы:
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
4. СДВИГ И КРУЧЕНИЕ
|
Челябинск
2008
|
УДК 539.3//6(07)
В.Л. Данилов, В.М. Сковпень, О.Ф. Чернявский, И.Д.Никитина. Сопротивление материалов: Учебное пособие. Под.редакцией В.М. Сковпеня
Учебное пособие к лекционной части курса "Сопротивление материалов" соответствует общей типовой части программы для студентов машиностроительных специальностей. Оно предназначено для интенсификации и повышения качества индивидуальной работы студента в технически оснащённых лекционных аудиториях (телевизионных, компьютерных, с видиостенкой или кодоскопом) и при подготовке к практическим занятиям, зачётам и экзаменам.
Cписок лит. – 2 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 4
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ 5
4. СДВИГ И КРУЧЕНИЕ 20
СДВИГ 20
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ 27
КРУЧЕНИЕ ВАЛА С КРУГЛЫМ
ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ 31
КРУЧЕНИЕ ВАЛА С НЕКРУГЛЫМ
ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ 40
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
СЕЧЕНИЯ 42
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ 44
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ
ЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ 46
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 52
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие предназначено для использования студентами в процессе лекций в технически оснащённых аудиториях. Оно ни в коем случае не заменяет учебник или лектора и предназначено для более результативной работы студента на лекции. Отпечатанные в пособии схемы, рисунки и формулы являются копией материала, изображённого на дисплее (видеостенке, экране – при использовании кодоскопа) и предназначены для того, чтобы слушатель мог уделить больше времени анализу материала, общению с лектором и самостоятельной работе.
Чистые (не заполненные) участки пособия предназначены для конспектирования информации, излагаемой лектором и полученной студентом при самостоятельной работе (идей, определений, комментариев, некоторых выводов и обсуждения результатов). Как правило, в напечатанном тексте отсутствует описание постановки задачи и анализ результатов. Курсивом выделены вопросы, которые рекомендуется рассмотреть или в ходе лекции, или при самостоятельной работе студента.
Каждый преподаватель даёт свою трактовку курса, а каждый студент записывает то, что лично ему представляется необходимым зафиксировать на бумаге, поэтому использование уже заполненных кем-то конспектов неэффективно.
В конце каждого раздела приводятся вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельного решения и примеры типовых вопросов экзаменов прошлых лет.
Пособие предназначено для студентов машиностроительных специальностей; при этом разделы курса, отражающие специфику той или иной специализации в нём, как правило, не приводятся. Предполагается, что в качестве основного учебника используется "Сопротивление материалов" В.И.Феодосьева (рекомендуется десятое издание, опубликованное МГТУ им. Н.Э.Баумана в 1999 г.)
Авторы пособия с благодарностью примут все пожелания и предложения по его совершенствованию.
3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ
ПЛОЩАДЬ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
 
 
Размерность [м2, см2] i – номер части фигуры.
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ СЕЧЕНИЯ
 – статические моменты площади относительно осей x и y.
(Sx, Sy)  0. Размерность [м3, см3]
Оси, относительно которых Sx = Sy = 0, называются ЦЕНТРАЛЬНЫМИ ОСЯМИ. Точка пересечения центральных осей совпадает с центром тяжести сечения. Любая ось, проходящая через центр тяжести сечения, является центральной.
ИЗМЕНЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ СЕЧЕНИЯ
ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ
Дано:
Sx1 и Sy1;
a и b – расстояния между осями.
––––––––––––––––––––––––––––––
Определить:
Sx2; Sy2.
x2 = x1 – a; y2 = y1 – b.
Запишем статические моменты сечения относительно осей x2 и y2:
Sx2 = Sx1 – bS;
Sy2 = Sy1 – aS.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ
Если оси x0 и y0 центральные (Sx0 = Sy0 = 0), то статические моменты относительно параллельных им осей x1 и y1:
Sx1 = bS = yCS; Sy1 = aS = xCS;
Координаты центра тяжести C в системе x1, y1:
Сложная фигура
Р азбиваем сложную фигуру на простейшие.
Выбираем произвольные оси x и y.
Указываем координаты центра тяжести каждой простейшей фигуры.
Вычисляем координаты центра тяжести сложной фигуры xС и yС.
Проводим центральные оси x0 и y0.
i – номер части фигуры.
 
Пример. Определение центра тяжести полукруга
Д ано: R
–––––––––––––
yC = ?
Выбираем начальные оси x и y.
Центр тяжести расположен на
оси y – оси симметрии сечения.
Площадь элементарной площадки: 
Статический момент сечения:
Площадь:  
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ
Осевые (относительно осей x и y) и центробежный моменты инерции сечения:
 – полярный момент инерции сечения относительно точки 0.
Размерность [м4, см4].
Ix, Iy, Ip > 0; Ixy 0.
Сложная фигура
i – номер части фигуры.
ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ
Дано:
C – центр тяжести сечения;
x0, y0 – центральные оси;
a, b – координаты центра тяжести сечения в осях x и y.
––––––––––––––––––––––––––––––––
Определить: Ix, Iy, Ip
x = x0+a; y = y0+b.
Запишем осевые моменты инерции сечения относительно осей x и y.
 отсюда:
Ix=Ix0 + b2S
Аналогично для оси y:
Iy = Iy0 + a2S
Из всех моментов инерции относительно параллельных осей моменты инерции относительно центральных осей – минимальные.
Определим центробежный момент инерции сечения относительно осей x и y:
отсюда: Ixy = Ix0y0 + abS
ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ
Дано:
оси x и y, Ix, Iy, Ixy , α
–––––––––––––––––––
Найти Iu, Iv, Iuv
Определим координаты u и v площадки dS в новой системе координат:
u = x cos + y sin ; v = y cos – x sin .
Определим осевые моменты инерции сечения относительно осей u и v:
Е
сли сложить величины моментов инерции относительно осей u и v, то получим:
Определим центробежный момент инерции сечения относительно осей u и v:
Отсюда:
ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
Изменение осевого и центробежного моментов инерции Iu и Iuv в зависимости от угла можно представить в графической форме. Для этого выполним следующие преобразования:
Это – уравнение окружности, радиус которой равен
 ,
а координаты центра
При Iuv = 0 осевые моменты инерции Iu и Iv = Iu( + 90) принимают экстремальные значения (max, min).
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю (Iuv = 0), называются главными осями.
Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Положение главных осей и величину главных моментов инерции можно определить (см. график Iu, Iuv), зная моменты инерции относительно произвольных осей x и y.
СИММЕТРИЧНОЕ СЕЧЕНИЕ
Ось y – ось симметрии 
Оси x и y – главные оси.
ПРАВИЛЬНЫЕ ФИГУРЫ
Ix = Iy; Iu = Ixcos2 + Iysin2 = Ix;
Любая ось u – главная центральная ось.
ПРЯМОУГОЛЬНОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ
Оси x и y – главные и центральные;
Ix, Iy, Ix1 = ?
КРУГЛОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ
О си x и y – главные и центральные;
Ip, Ix, Iy = ?
Ip = Ix + Iy = 2Ix = 2Iy;
П РЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Определение осевых моментов инерции сечения относительно осей x и y.
О пределение моментов инерции сечения относительно центральных осей x0 и y0.
Оси x0 и y0 – центральные оси; b и h;
–––––––––––––––––––––
Ix0, Iy0 = ?
Определим центробежный момент инерции сечения относительно осей x, y и центральных осей x0 и y0.
 
I xy = Ix0y0 + abS;
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Дайте определения:
статического момента площади;
осевых моментов инерции;
центробежного момента инерции;
центральных осей;
главных осей;
главных моментов инерции.
Приведите алгоритмы и расчётные формулы для определения положения центра тяжести сложной фигуры.
Чему равны моменты инерции прямоугольника и круга (относительно осей симметрии), прямоугольного треугольника (относительно центральных осей, параллельных катетам)?
Запишите формулы, определяющие изменение моментов инерции при параллельном переносе осей координат.
Приведите алгоритмы и запишите формулы для определения положения главных осей сечения и величин главных моментов инерции.
ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:
Вычислить моменты инерции сечения относительно главных центральных осей для следующих фигур:
  
4. СДИГ И КРУЧЕНИЕ
СДВИГ
 
ЧИСТЫЙ СДВИГ – напряженное состояние, при котором в некоторых секущих площадках, проходящих через данную точку тела, возникают только касательные напряжения.
|
 – деформация сдвига.
ИССЛЕДОВАНИЕ
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ
 
|
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБКИ.
ИСПЫТАНИЯ МАТЕРИАЛА В УСЛОВИЯХ ЧИСТОГО СДВИГА
ОБРАЗЦЫ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ НА КРУЧЕНИЕ:
а) сплошной образец из пластичного материала; вид разрушения
б) сплошной образец из хрупкого материала; вид разрушения
|
