Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 114.11 Kb.
|
| II ОСНОВЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ. УРОК № 10. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ. 1. Развитие представлений о Солнечной системе. 2. Петлеобразное движение планет. 3. Иоганн Кеплер и Исаак Ньютон. 4. Законы Кеплера. 5. Закон всемирного тяготения Ньютона. 6. Конические сечения. 7. Ревизия законов Кеплера. 8. Определение масс небесных тел. 1. Развитие представлений о Солнечной системе. Первая научная геоцентрическая система мира начала формироваться в трудах Аристотеля и других ученых древней Греции. Свое завершение она получила в работах древнегреческого астронома Птолемея. Согласно этой системе в центре мира расположена Земля, откуда и название геоцентрическая. Вселенная ограничена хрустальной сферой, на которой расположены звезды. Между Землей и сферой движутся планеты, Солнце и Луна. Древние считали, что равномерное круговое движение – это идеальное движение, и что небесные тела именно так и движутся. Но наблюдения показывали, что Солнце и Луна движутся неравномерно и для устранения этого очевидного противоречия, пришлось предположить, что они движутся по окружностям, центры которых не совпадают ни с центром Земли, ни между собой. Еще более сложное петлеобразное движение планет пришлось представить как сумму двух круговых равномерных движений. Такая система позволяла с достаточной для наблюдений точностью рассчитывать взаимное расположение планет на будущее. Петлеобразное движение планет еще долгое время оставалось загадкой и нашло свое объяснение только в учении великого польского астронома Николая Коперника В 1543 году вышла в свет его книга «О вращении небесных сфер». В ней была изложена новая гелиоцентрическая система мира. Согласно этой системе в центре мира находится Солнце. Планеты, в том числе и Земля, обращаются вокруг Солнца по круговым орбитам, а Луна вокруг Земли и одновременно с ней вокруг Солнца. Точность в определение положений планет возросла правда ненамного, но именно система Коперника позволила просто объяснить петлеобразное движение планет. Учение Коперника нанесло сокрушительный удар по геоцентрической системе мира. Оно далеко вышло за рамки астрономии дало мощный толчок развитию всего естествознания. 2. Петлеобразное движение планет. Невооруженным глазом мы можем наблюдать пять планет- Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн. Планеты относятся к тем светилам, которые не только участвуют в суточном вращении небесной сферы, но еще и смещаются на фоне зодиакальных созвездий, так как они вращаются вокруг Солнца. Если проследить за ежегодным перемещением какой-нибудь планеты, каждую неделю отмечая его положение на звездной карте, то может выявиться главная особенность видимого движения планеты: планета описывает на фоне звездного неба петлю, которая объясняется тем, что мы наблюдаем движение планет не с неподвижной Земли, а с Земли, вращающейся вокруг Солнца. 3. Иоганн Кеплер и Исаак Ньютон. Два величайших ученых намного обогнавшие свое время, они создали науку, которая называется небесной механикой, то есть открыли законы движения небесных тел под действием сил тяготения, и даже если бы этим их достижения ограничились, они все равно бы вошли в пантеон великих мира сего. Так случилось, что они не пересеклись во времени. Только через тринадцать лет после смерти Кеплера родился Ньютон. Оба они являлись сторонниками гелиоцентрической системы Коперника. Много лет изучая движение Марса, Кеплер экспериментально открывает три закона движения планет, за пятьдесят с лишним лет до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Еще не понимая, почему планеты движутся так, а не иначе. Это был каторжный труд и гениальное предвидение. Зато Ньютон именно законами Кеплера проверял свой закон тяготения. Все три закона Кеплера являются следствиями закона тяготения. И открыл его Ньютон в 23 года. В это время 1664 – 1667 годы в Лондоне свирепствовала чума. Тринити колледж, в котором преподавал Ньютон, был распущен на неопределенный срок, дабы не усугубить эпидемию. Ньютон возвращается к себе на родину и за два года совершает переворот в науке, сделав три важнейших открытия: дифференциальное и интегральное исчисление, объяснение природы света и закон всемирного тяготения. Исаак Ньютон был торжественно похоронен в Вестминстерском аббатстве. Над его могилой высится памятник с бюстом и эпитафией «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики в руке движение планет, пути комет и приливы океанов… Пусть смертные радуются, что существует такое украшение рода человеческого». 4. Законы Кеплера.
Именно для этого случая три закона движения планет относительно Солнца были получены эмпирически Иоганном Кеплером. Как же он это сделал? Кеплеру были известны: координаты Марса на небесной сфере с точностью до 2” по данным наблюдений его учителя Тихо Браге; относительные расстояния планет от Солнца; синодические и сидерические периоды обращения планет. Далее он рассуждал примерно так. И    звестно положение Марса во время противостояния (см. рис.). В треугольнике АВС буква А обозначает положение Марса, В - Земли, С – Солнца. Через промежуток времени, равный сидерическому периоду обращения Марса (687 дней) планета вернется в точку А, а Земля за это время переместится в точку В’. Поскольку угловые скорости движения Земли в течение года известны (они равны угловым скоростям видимого движения Солнца по эклиптике), можно вычислить угол АСВ’. Определив координаты Марса и Солнца в момент прохождения Землей через точку В’, мы можем, зная в треугольнике 2 угла, по теореме синусов рассчитать отношение стороны СВ’ к АС. Еще через один оборот Марса Земля придет в положение В" и можно будет определить отношение СВ" к тому же отрезку АС и т.д. Таким образом, точка за точкой можно получить представление об истинной форме орбиты Земли, установить, что она является эллипсом, в фокусе которого находится Солнце. Можно определить что, если время движения по дуге M3M4 = времени движения по дуге M1M2, то Пл. SM3M4 = Пл. SM1M2.F1 и F2–фокусы эллипса, c-фокусное расстояние, а- большая полуось эллипса и среднее расстояние от планеты до Солнца. 5. Закон всемирного тяготения Ньютона. Исаак Ньютон смог объяснить движение тел в космическом пространстве с помощью закона всемирного тяготения. Он пришел к своей теории в результате многолетних исследований движения Луны и планет. Но упрощенный вывод закона всемирного тяготения можно сделать и из третьего закона Кеплера. Пусть планеты движутся по круговым орбитам, их центростремительные ускорения равны:  , где Т – период обращения планеты вокруг Солнца, R - радиус орбиты планеты. Из III закона Кеплера  или  . Следовательно, ускорение любой планеты независимо от ее массы обратно пропорционально квадрату радиуса ее орбиты:  .Согласно II закону Ньютона, сила F, сообщающая планете это ускорение, равна:  (1) т.е. прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату расстояния от нее до Солнца.Согласно III закону Ньютона, сила F’ , действующая на планету со стороны Солнца, равна ей по модулю, противоположна по направлению и равна:  , где М – масса Солнца. Поскольку F = F’ ,  = . Обозначим  , где G = 6,67∙10–11 Н∙м2/кг2 – гравитационная постоянная. Тогда  и выражение (1) можно записать в виде известной нам формулы закона Всемирного тяготения: . Сила тяготения между Солнцем и планетой пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Этот закон справедлив для любых сферически симметричных тел, а приближенно он выполняется для любых тел, если расстояние между ними велико по сравнению с их размерами. Ускорение, которое, согласно второму закону Ньютона, испытывает тело m, находящееся на расстоянии r от тела M, равно:  частности, ускорение свободного падения в поле Земли равно,  , где  -масса Земли,  – расстояние до ее центра. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с2. Сплюснутость Земли и ее вращение приводят к отличию силы тяжести на экваторе и возле полюсов: ускорение свободного падения в точке наблюдения может приближенно высчитываться по формуле g = 9,78 ∙ (1 + 0,0053 sin φ), где φ – широта этой точки.Н  еобычно ведет себя сила тяжести внутри Земли. Если Землю принять за однородный шар, сила тяжести растет пропорционально расстоянию до центра шара r. 6. Конические сечения. Конические сечения образуются при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью. К коническим сечениям относятся кривые второго порядка: эллипс, парабола и гипербола. Все они является геометрическим местом точек, расстояния от которых до заданных точек (фокусов) или до заданной прямой (директрисы) есть величина постоянная. Например, эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси: F1M+F2M=2а=const. Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом е. Эксцентриситет е =с/а. При совпадении фокусов с центром е = 0, и эллипс превращается в окружность. Большая полуось а является средним расстоянием от фокуса до эллипса. Ближайшая к фокусу точка эллипса называется перицентром, самая удаленная – апоцентром. Расстояние от фокуса до перицентра равно ПF1 = a (1 – e), до апоцентра – F1A = a (1 + e). 7. Ревизия законов Кеплера. Итак, Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон же вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. В результате этого претерпели изменения первый и третий законы. Первый закон Кеплера был обобщен и его современная формулировка звучит так: Траектории движения небесных тел в центральном поле тяготения представляют собой конические сечения: эллипс, окружность, параболу или гиперболу, в одном из фокусов которой находится центр масс системы. Форма траектории определяется величиной полной энергии движущегося тела, которая складывается из кинетической энергии К тела массы m, движущегося со скоростью v, и потенциальной энергии U тела, находящегося в гравитационном поле на расстоянии r от тела с массой М. При этом действует закон сохранения полной энергии тела. Е=К + U = const; К = mv2/2, U=-GMm/r. Закон сохранения энергии можно переписать в виде:  (2). Константа h называется постоянной энергии. Она прямо пропорциональна полной механической энергии тела E и зависит только от начального радиус-вектора r0 и начальной скорости v0. При h < 0 кинетической энергии тела недостаточно для преодоления гравитационной связи. Величина радиус-вектора тела ограничена сверху и имеет место обращение по замкнутой, эллиптической орбите. Такое движение можно уподобить движению маятника – тот же самый переход кинетической энергии в потенциальную во время подъема и обратный – при опускании. Подобное движение называется финитным, т.е. замкнутым.Для h = 0 при неограниченном возрастании радиус-вектора тела его скорость уменьшается до нуля – это движение по параболе. Такое движение – инфинитно, неограниченно в пространстве. При h > 0 кинетическая энергия тела достаточно велика, и на бесконечном расстоянии от притягивающего центра тело будет иметь ненулевую скорость удаления от него – это движение по гиперболе. Таким образом, можно сказать, что тело движется относительно притягивающего центра только по орбитам, являющимися коническими сечениями. Как следует из формулы (2), приближение тела к притягивающему центру всегда должно сопровождаться увеличением орбитальной скорости тела, а удаление – уменьшением в соответствии со вторым законом Кеплера. Второй закон Кеплера не подвергся ревизии, а вот третий был уточнен, и звучит он так: отношение куба большой полуоси. планетной орбиты к квадрату периода обращения планеты вокруг Солнца равно сумме масс Солнца и планеты, где (3) M и m массы Солнца и планеты, соответственно; а и Т – большая полуось и период обращения планеты. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам. В  обобщенном виде этот закон обычно формулируется (4) так: Произведение сумм масс небесных тел и их спутников с квадратами их сидерических периодов обращения относятся как кубы больших полуосей их орбит, где М1 и М2 - массы небесных тел, m1 и m2 - соответственно массы их спутников, а1 и а2 - большие полуоси их орбит, Т1 и Т2 - сидерические периоды обращения. Необходимо понять, что закон Кеплера связывает характеристики движения компонентов любых произвольных и независимых космические систем. В эту формулу могут входить одновременно Марс со спутником, и Земля с Луной, или Солнце с Юпитером.  Если мы применим этот закон к планетам Солнечной системы и пренебрежем массами планет М1 и М2 в сравнении с массой Солнца М☼ (т.е. M1 << М☼, M2 << М☼), то получится формулировка третьего закона, данная самим Кеплером. 8. Определение масс небесных тел. Н  ьютон показал также, что закон Кеплера (3) выполняются в любой системе тяготеющих тел, будь то двойная звезда или система планета – спутник, а не только Солнце – планета. Третий закон Кеплера предоставляет возможность непосредственно определить массу небесного тела. К примеру, вычислим массу Земли. Используя формулу (4) третьего закона для системы Солнце – Земля, и, приравняв ее к системе Земля – Луна, после преобразований имеем: Масса Солнца много больше массы Земли, которая в свою очередь много больше массы Луны. Поэтому в числителе можно пренебречь массой Земли, а в знаменателе массой Луны. В результате получаем выражение:  . Подставив сюда значения больших полуосей Земли и Луны и их периодов обращения, получим, что М=3,3·10-6М☼. Ну а абсолютную массу Солнца вычислить совсем просто. Воспользовавшись непосредственно формулой (3), для пары Солнце-Земля, отбросив при этом массу Земли в силу ее малости в сравнении с массой Солнца, получим для М☼=2·1030 кг.Третий закон Кеплера позволяет вычислить не только массу Солнца, но и массы других звезд. Правда, это можно сделать только для двойных систем, массу одиночных звезд определить таким образом невозможно. Измеряя взаимное положение двойных звезд в течение длительного времени, часто удается определить период их обращения Т и выяснить форму их орбит. Если известно расстояние R до двойной звезды и максимальный αmax и минимальный αmin угловые размеры орбиты, то можно определить большую полуось орбиты а=R(αmax+ αmin)/2, далее воспользовавшись уравнением (3) мы можем вычислить суммарную массу двойной звезды. Если при этом на основании наблюдений определить расстояние от звезд до центра масс х1 и х2, а точнее отношение х1/х2,которое сохраняется постоянным, то появляется второе уравнение x1/x2=m2/m1 , дающее возможность определить массу каждой звезды в отдельности. Д.З. § 8,9, 10. Задачи 7,8 стр.47. Вопросы экспресс-опроса 1. Как называется ближайшая к Солнцу точка орбиты планеты?: 2. Как называется самая удаленная точка орбиты Луны? 3. Как меняется значение скорости движения кометы при ее перемещении от перигелия к афелию? 5. Как зависит синодический период внешних планет от расстояния до Солнца? 6. Почему космодромы стараются строить ближе к экватору? 7. Как изменяется гравитационное поле внутри Земли? 8. Сформулируйте законы Кеплера. 9. Чему равно средний радиус орбиты планеты? |
Добавить документ в свой блог или на сайт
