Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2

Вознюк Наталия Евгеньевна, ГБОУ СОШ № 1253 Тема. Угол между плоскостями. Урок одной задачи (Геометрия, 11 класс) Не секрет, что учащиеся, как правило, геометрию любят меньше алгебры и на ЕГЭ процент выполнения геометрической задачи С2 намного ниже, чем С1 и даже С3. Летом 2012 года для решения задачи С2 потребовались дополнительные построения, поэтому процент выполнения этой задачи еще больше снизился. Я считаю целесообразным разобрать несколько способов решения одной и той же задачи. Ученик может выбрать для себя наиболее приемлемый. Все задачи С2 сводятся в основном к нахождению угла (между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями) или расстояния (между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями). В каждом случае мы разбираем несколько способов решения одной задачи. Первую задачу (угол между плоскостями) мы разбираем совместно. Нахождение различных способов решения других задач предлагается учащимся продумать самостоятельно в качестве небольшой проектной работы. На уроке, посвященном решению одной из этих задач, учащиеся решают ее выбранными способами. Итогом такого урока является памятка по решению данной задачи различными способами. Таким образом, в конце года учащиеся имеют памятки для решения практически всех типов задач С2 различными способами. Еще одним преимуществом решения одной задачи несколькими способами (уже с точки зрения учителя) является значительная экономия времени в начале 11 класса на уроках повторения. Я сразу начинаю изучение нового материала. Мы изучаем геометрию по учебнику Атанасяна, 11 класс начинается с изучения метода координат в пространстве. На первом же уроке я даю задачу, например следующую: Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка P – середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и BPD1. Я сразу говорю, что мы будем решать ее несколькими способами. Решение этой задачи классическим геометрическим способом разбивается на несколько этапов и задается в качестве домашнего задания: Построить сечение куба плоскостью BPD1 и построить прямую пересечения плоскостей ABC и BPD1(учащиеся вспоминают правила построения сечений многогранников, построение прямой пересечения двух плоскостей – 10 класс). Построить угол между плоскостями (учащиеся вспоминают определение угла между плоскостями, теорему о трех перпендикулярах – 10 класс). Найти тангенс искомого угла, затем найти сам угол (учащиеся вспоминают подобие треугольников, решение прямоугольного треугольника – 8-9 класс). Таким образом, повторение ранее изученного материала происходит параллельно с изучением новых тем. 1 способ. Классический. D1 C1 A1 B1 P D C N A B M Построить сечение куба плоскостью BPD1. Построить прямую пересечения плоскостей ABC и BPD1. Из точки P опустить перпендикуляр PM на прямую пересечения плоскостей. Доказать с помощью теоремы о трех перпендикулярах, что отрезок СM также будет перпендикулярен прямой пересечения плоскостей. По определению угла между плоскостями угол PMC является искомым. В прямоугольном треугольнике PMC (угол C равен 900) найти синус, косинус или тангенс угла PMC. Так как никакие линейные размеры не заданы, можно взять ребро куба равным a (или 2a). Пусть ребро куба равно 2a. Тогда PD1. 1 (по двум углам) , Из прямоугольного треугольника . - высота прямоугольного треугольника , Из прямоугольного треугольника Ответ: 2 способ. Метод координат. Решение задачи данным методом является обобщением материала, изученного к этому времени в 11 классе. Учащиеся повторяют: Определение прямоугольной системы координат. Составление уравнения плоскости, проходящей через три точки. Определение координат вектора, перпендикулярного плоскости, заданной уравнением. Определение скалярного произведения векторов. Теорема о скалярном произведении векторов. Нахождения угла между прямыми по известному углу между векторами, лежащими на этих прямых. D1 2 C1 A1 B1 P D C 2 A 2 B Ввести в кубе прямоугольную систему координат. DA – ось x, DC – ось y, DD1 – ось z. Масштаб по осям: DA=2, DC=2, DD12. B(2; 2; 0), D1(0; 0; 2), P(0; 2; 1). Составить уравнение плоскости ABC: z=0. Составить уравнение плоскости BPD1: ax+by+cz=d. Уравнение плоскости BPD1 принимает вид: Найти координаты вектора n1, перпендикулярного плоскости ABC: {0; 0; 1}. Найти координаты вектора n2, перпендикулярного плоскости BPD1: {1; 1; 2}. Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям. Находим косинус угла между векторами n1 и n2 по теореме о скалярном произведении векторов: косинус угла между векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их абсолютных величин: . Искомый угол между плоскостями находим как арккосинус модуля косинуса угла между векторами n1 и n2: . Ответ: . После получения ответа методом координат возникает вопрос: один и тот же угол мы получили или нет? Вспоминая алгебру 10 класса учащиеся получают: (ответ, полученный первым способом). 3 способ. С помощью ортогонального проектирования. Решение задачи этим способом было предложено мной группе учащихся для самостоятельного изучения (по учебнику геометрии Погорелова, 10 класс) с последующим объяснением на уроке. D1 C A1 B1 P D C A B Площадь ортогональной проекции многоугольника равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции. Строим ортогональную проекцию треугольника BPD1 на плоскость ABC (для этого из точек B и P опускаем перпендикуляры на плоскость ABC). Треугольник BCD является ортогональной проекцией треугольника BPD1. Ищем площадь прямоугольного треугольника BCD: Пусть ребро куба равно . Тогда SBCD. Ищем площадь треугольника BPD1 (половина произведения двух сторон на синус угла между ними), предварительно найдя его стороны и синус какого-нибудь угла (по теореме косинусов находим косинус угла, по основному тригонометрическому тождеству находим синус угла): . . . Косинус угла между плоскостями равен отношению площади треугольника BCD к площади треугольника BPD1. Искомый угол между плоскостями равен арккосинусу найденного косинуса угла: . Ответ: . Решая задачу данным способом, учащиеся повторили: теорему косинусов, формулы площади треугольника, связь между синусом и косинусом угла в треугольнике. На первой диагностической работе в 11 классе в качестве С2 была предложена аналогичная задача. С ее решением на 2 балла справились 4% моих учащихся, на 1 балл – 12, 5% учащихся. После изучения метода координат аналогичную задачу без ошибок смогли решить 58% учащихся. После изучения метода ортогонального проектирования такие задачи стали решать даже слабые учащиеся (справляются 100% учащихся).

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Проектно-образовательная деятельность по формированию у детей навыков безопасного поведения на улицах и дорогах города		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: Создание условий для формирования у школьников устойчивых навыков безопасного поведения на улицах и дорогах
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Организация воспитательно- образовательного процесса по формированию и развитию у дошкольников умений и навыков безопасного поведения...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: формировать у учащихся устойчивые навыки безопасного поведения на улицах и дорогах, способствующие сокращению количества дорожно-...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Конечно, главная роль в привитии навыков безопасного поведения на проезжей части отводится родителям. Но я считаю, что процесс воспитания...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Поэтому очень важно воспитывать у детей чувство дисциплинированности и организованности, чтобы соблюдение правил безопасного поведения...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Всероссийский конкур сочинений «Пусть помнит мир спасённый» (проводит газета «Добрая дорога детства»)		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Поэтому очень важно воспиты­вать у детей чувство дисциплинированности, добиваться, чтобы соблюдение правил безопасного поведения...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...