3. Формирование механической картины мира Классическое естествознание
Скачать 399.78 Kb.
|
Для доказательства теоремы Нётер рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа . (3)Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида  , а также и относительно более общих преобразований (4)включающих замену независимой переменной. Однако конкретный вид для нового выражения для действия, как функционала новых координат, зависящих от нового времени, может претерпеть при такой замене любые изменения. Теорема Нётер рассматривает случай, когда таких изменений не происходит. Введена совокупность зависящих от одного параметра l преобразований  обобщенных координат и времени: Используя (4), получим:  (5)Преобразования образуют однопараметрическую группу  (6)Бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру  : (7)Вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании, – это разность значений новых координат в некоторый момент нового времени  и значений прежних координат  в соответствующий момент времени, - то есть . (8)Наряду с этим удобно ввести в рассмотрение вариации формы  (9)- зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если преобразование затрагивает только время, а не координаты. Для любой функции справедливо соотношение:  .Тогда между двумя введенными видами вариаций существует соотношение, которое можно получить следующим образом: вычитая уравнение (9) из (8), получим:  ,Принимая во внимание, что  ,имеем:  (10)Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени  ,в то время, как для вариаций со звездочками это положение неверно. Соответствующие два вида вариаций можно ввести для любой динамической переменной. Например, для функции Лагранжа  (11)причем  (12)где  включает дифференцирование как по явно входящему времени, так и по времени, входящему неявно, через координаты и скорости.Условием теоремы является независимость от преобразований интеграла действия  , (13)где t' – та же область интегрирования, что и t во втором интеграле, но выраженная через новые переменные. Тогда при подстановке (11) в (13), получим  (14)Выражая  через  (11), учитывая соотношение  ,и интегрируя по t вместо t', получим:  Учитывая, что  ,Получим выражение:  (15)Но  (16)Найдем дифференциал  ,отсюда  (17)Подставив (17) в (16), получим:  Под знаком первой суммы стоит уравнение Лагранжа, т.е.  Тогда  (18)После подстановки полученного значения вариации функции Лагранжа в (15), имеем:  Из (10) выразим  через  и  : Тогда вариация действия   (19)необходимым и достаточным условием инвариантности действия относительно преобразования (7) является  .Заменив и , используя соотношения (7) и (8), имеем: Вынося l за скобки и разделив на нее обе части уравнения получим необходимое условие:  (20)Из инвариантности действия относительно (7) следует, что величина  (21)- остается постоянной во времени. Это и есть утверждение теоремы Нётер. |
Похожие:
 | Из журнала «Естествознание в школе» 2004. №3 Ляпцев А. В, Процессы... Цель урока: Вырабатывание единой естественнонаучной картины мира; научиться анализировать | | Формирование целостной естественнонаучной картины мира в процессе... Проблема: Формирование целостной естественнонаучной картины мира в процессе изучения информатики в условиях модернизации и информатизации... |
| Конспект непосредственно образовательной деятельности: познание (Формирование... Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Образовательная деятельность: формирование целостной картины мира, расширение кругозора |
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Образовательная деятельность: формирование целостной картины мира, расширение кругозора | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Образовательной программы: «Формирование целостной картины мира, расширение кругозора детей» |
| Анализ деятельности мбоу тс сош №2 за 2011-2012 учебный год Формирование у обучающихся целостной картины мира на основе глубоких и всесторонних знаний основ наук | | Познание: Формирование целостной картины мира. «Легенда о двух половинках» Включает 30 заданий (А1-А30). К каждому из них даны 4 варианта ответа, из которых только один правильный |
| Российской федерации Целями освоения дисциплины «Астрономия» являются : формирование современной астрономической картины мира; знакомство с основными... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Образовательные области «Коммуникация» и «Познание. Формирование целостной картины мира, расширение кругозора» |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Интеграция образовательных областей: «Познание» (формирование целостной картины мира, расширение кругозора детей) «Коммуникация» | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Интеграция: «Коммуникация», «Познание. Формирование целостной картины мира, расширение кругозора», «Социализация», «Художественное... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Воспитательные: продолжить формирование химической картины мира, формирование навыков поведения обучающихся в коллективном, групповом... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Интеграция образовательных областей: «Познание» (формирование целостной картины мира), «Художественное творчество» (рисование), «Музыка»,... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Интеграция образовательных областей: «познание», «формирование целостной картины мира, расширение кругозора», «коммуникация», «художественное... | | «Концепции современного естествознания» Самостоятельное освоение предмета предполагает понимание его места и роли в современной жизни, формирование у будущих бакалавров... |
