Рабочая программа дисциплины дисциплина ен. Ф 1 Интегральные уравнения

Директор ИИФиРЭ

1 Цели и задачи изучения дисциплины

1.1 Цели преподавания дисциплины

1.2 Задачи изучения дисциплины

1.3 Межпредметная связь

2 Объем дисциплины и виды учебной работы

3 Содержание дисциплины

3.1 Разделы дисциплины и виды занятий в часах (тематический план занятий)

3.2 Содержание разделов и тем лекционного курса

1. 
   Введение (1 ч.). Классификация интегральных уравнений. Связь между дифференциальными и интегральными уравнениями.
   
2. 
   Уравнения Вольтера 1-ого рода (2 ч.). Уравнения Абеля. Приложения уравнений Абеля. Дробное дифференцирование.
   
3. 
   Уравнения Фредгольма 2-ого рода 2 ч.). Уравнения с вырожденным ядром. Резольвента. Ряд Неймана. Повторные ядра. Определители и миноры Фредгольма. Скалярное произведение функций. Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Сопряженные операторы. Характеристические числа и собственные функции ограниченных операторов. Теоремы Фредгольма. Свойства самосопряженных операторов. Теорема Гильберта – Шмидта. Задача Штурма – Лиувилля. Теорема Стеклова. Приложения уравнений Фредгольма 2-го рода.
   
4. 
   Уравнения Вольтерра 2-го рода (1 ч.). Ряд Неймана. Повторные ядра. Резольвента. Приложения уравнений Вольтера 2-го рода.
   
5. 
   Применение интегральных преобразований к решению интегральных уравнений (1 ч.). Теорема о свертке. Преобразования Лапласа и Фурье.
   
6. 
   Уравнения Фредгольма 1-го рода (1 ч.). Теорема Пикара. Метод производящих функций. Некорректные задачи. Регуляризация Тихонова.
   
7. 
   Приближенные методы решения интегральных уравнений и поиска характеристических чисел и собственных функций (1 ч.). Замена ядра интегрального уравнения вырожденным ядром. Метод конечных разностей. Метод последовательных приближений. Метод Галеркина. Метод Ритца. Метод следов. Метод Келлога.
   
8. 
   Введение (1 ч.). Примеры постановки вариационных задач. Терминология. Основная лемма вариационного исчисления. Лемма Дюбуа – Реймона.
   
9. 
   Уравнения Эйлера – Лагранжа (2 ч.). Вывод уравнений. Решение в случаях, допускающих понижение порядка. Законы сохранения.
   
10. 
    Решение некоторых вариационных задач (2 ч.). Геодезические. Брахистохрона. Минимальная поверхность вращения. Геометрическая оптика.
    
11. 
    Обобщения уравнений Эйлера – Лагранжа (1 ч.). Задача с производными высших порядков. Задача со свободными концами.
    
12. 
    Канонический формализм (1 ч.) Достаточные условия экстремума. Поле экстремалей.
    
13. 
    Задачи на условный экстремум (1 ч.) Метод неопределенные множители Лагранжа. Задача Дидоны.
    
14. 
    Вариационный метод в задаче на собственные значения (1 ч.). Задача Штурма – Лиувилля. Свойства собственных чисел и собственных функций.
    

3.3 Практические занятия

3.4 Лабораторные занятия

3.5 Самостоятельная работа

4.1 Основная и дополнительная литература, информационные ресурсы

1. 
   Васильева А.Б. Интегральные уравнения / А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов. - 2-е изд. - Москва : Физматлит [Физико-математическая литература], 2004. - 159 с. (5 экз.)
   
2. 
   Васильева, А. Б.     Интегральные уравнения / А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов. - Изд. 3-е, стер. - Санкт-Петербург ; Краснодар : Лань, 2009. - 159 с. (1 экз.)
   
3. 
   Владимиров В.С. Уравнения математической физики [Текст] : учебник для студентов вузов : рекомендован Министерством образования РФ / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. - Москва : Физико-математическая литература, 2000. - 399 с. (11 экз.)
   
4. 
   Сборник задач по уравнениям математической физики / А. А. Вашарин, Х. Х. Каримова, В. С. Владимиров ; под ред. В. С. Владимиров. - 4-е изд.,стер. - Москва : Физматлит [Физико-математическая литература], 2003. - 287 с. (15 экз.)
   

5. 
   Владимиров В.С. Сборник задач по уравнениям математической физики/ В.С.Владимиров, А.А.Вашарин и др. – М.: Физматлит, 2004.
   
6. 
   Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление/ Л.Э.Эльсгольц. – М.: Наука, 1969.
   
7. 
   Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве/ Н.И.Ахиезер, И.М.Глазман. – М.: Наука, 1966.
   
8. 
   Буслаев В.А. Вариационное исчисление/ В.А.Буслаев. – Ленинград: ЛГУ, 1980.
   
9. 
   Верлань А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы/ А.Ф.Верлань, В.С.Сизиков. – Киев: Наукова думка, 1986.
   
10. 
    Зон Б.А. Лекции по интегральным уравнениям/ Б.А.Зон. – М.: Высшая школа, 2004.
    
11. 
    Краснов М.Л. Интегральные уравнения: введение в теорию/ М.Л.Краснов. – М.: Наука, 1975.
    
12. 
    Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. Серия «Вся высшая математика в задачах»»/ М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко. – М.: Едиториал УРСС, 2007.
    
13. 
    Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. I. Механика/ Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. – М.: Физматлит, 2004.
    
14. 
    Манжиров А.В. Методы решения интегральных уравнений/ А.В.Манжиров, А.Д.Полянин. – М.: Факториал, 1999.
    
15. 
    Мэтьюз Дж. Математические методы физики/ Дж.Мэтьюз, Р.М.Уокер. – М.: Атомиздат, 1972.
    
16. 
    Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах/ А.В.Пантелеев. – М.: Высшая школа, 2006.
    
17. 
    Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений/ И.Г.Петровский; под ред. О.А.Олейник. – М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 1984.
    
18. 
    Сизиков В.С. Устойчивые методы обработки результатов измерений/ В.С.Сизиков. – СПб.: Специальная литература, 1999.
    
19. 
    Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения/ Л.Я.Цлаф. – М.: Наука, 1970.
    
20. 
    Шварц Л. Анализ. Т. I/ Л.Шварц. – М.: Мир, 1972.