Реферат Геометрические фракталы
Скачать 121.14 Kb.
|
| ГОУ Гимназия №1505 «Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория» Реферат Геометрические фракталы Автор: ученица 9 класса «А» Гаврилова Юлия Руководитель: Ветюков Д.А. Москва 2014 Оглавление
А) Определение и свойства………………………………………………………………..4 Б) Размерность……………………………………………………………………………..5 В) Виды математических фракталов……………………………………………………..6 2.2. Глава 2. Геометрические фракталы………………………………………………………7 2.3. Глава 3. Фрактальные принципы и структуры в жизни………………………………...9 3. Заключение……………………………………………………………………………………..11 4. Список литературы…………………………………………………………………………….12 Введение Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бес конечным повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. Такое явления можно причислить к тем, что обладают фрактальной структурой, являются фракталом. Своей популярностью в последние десятилетия фракталы в значительной степени обязаны появлением в 1983 году книги сотрудника исследовательского центра имени Томаса Дж. Уотсона корпорации IMB франко-американского математика Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». Мандельброт ввел в 1975 году термин «фрактал» от латинского слова fractus – изломанный, дробный. Целью моего реферата является знакомство с фракталами. Центральным предметом изучения являются фракталы геометрические. Вопрос, который я ставила в начале написания реферата – это «что такое фрактал (в частности, геометрический фрактал)?» и «где и зачем используют фрактальные структуры и принципы?». В основе своей источниками литературы в моем реферате являются интернет ресурсы, так как достаточно сложно найти «доступную» печатную литературу по данной теме. Фракталы, как сложный геометрический объект для своего описания требуют достаточно сложной математики, которая не упрощается в книгах. Но существуют сайты с пояснением работы фрактальных структур, не требующие знаний высшей математики. Основная часть Глава 1 А) Определение и свойства фракталов Понятие фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Так что такое фрактал? Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — это геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Фракталы обладают рядом следующих свойств: 1. Имеют структуру во всех масштабах. Т.е. при любом увеличении фигура будет иметь какую-либо структуру. В пример возьмем фрактал «Множество Мандельброта». На рисунке 1 мы видим фигуру целиком (zoom=0), а на рисунке 2 мы можем увидеть часть фигуры (zoom=10). В обоих случаях фигура обладает структурой. Это и есть первое свойство.   Рис.2 Рис.1 2. Являются самоподобными или приближенно самоподобными. Т.е. часть фигуры будет подобна целой фигуре. Рассмотрим это свойство на примере фрактала «Множество Жюлиа». Как видно на рисунке 4, фрактал похож по форме на звезду. Точнее мы видим на картинке несколько звезд разных размеров, расположенных в определенном порядке. Приблизим одну из звезд. Наблюдаем, что это не просто звезда, а несколько звезд расположенных в том же определенном порядке. Это называется самоподобием.   Рис.4 Рис.3 3. обладают нецелой размерностью, т.е. дробной или метрической. Б) Размерность фракталов Третье свойство фракталов указывает, что у большинства фигур, которые мы называем фракталами, размерность нецелая. Что, вообще, такое размерность? Для полного понимания «понятия фрактал» необходимо разобраться с данным аспектом. Размерность – число координат, необходимых для задания положения точки внутри фигуры. Так, любая линия (пример: окружность и прямая) одномерна — достаточно всего одной координаты, чтобы точно указать точку. Фигуры на плоскости двумерны (пример: треугольник, квадрат, ромб). Трехмерные объекты, «3D объекты» – это, например, шар и пирамида.  Рис.5 Но при использовании термина «размерность фрактала» нельзя пользоваться вышеприведенным определением. Рассмотрим определение размерности по Минковскому. Для того чтобы разобраться с фрактальной размерностью, возьмем фигуру F, расположенную на плоскости, размерность которой необходимо найти. Плоскость будет покрыта сеткой из квадратов со стороной равной p (на нашем рисунке равна 2 у.е). Через N (p) найдем число квадратов, которые пересекаются с фигурой F (4 квадрата). Объединение всех квадратов, пересекающихся с F, содержат себе данную фигуру. Число N (p) зависит от размера квадратов: чем меньше квадраты (на втором рисунке [рис.7] р=1 у.е., т.е. в 2 раза меньше чем на 1 рисунке [рис.6]), тем большее их количество необходимо использовать для покрытия фигуры (при р=2 нужно 4 квадрата, при р=1 нужно 16 квадратов; количество квадратов 4 => 42 <=> 16). Если выразить данную зависимость степенным законом: число N (p) пропорционально некоторой степени (1/p)D, то будем считать, что фигура F имеет размерность D (в нашем случае: размерность=2). Число D быть не целым, как это бывает в случае с фракталами.  Рис.7 Рис.6  В) Виды фракталов Существует 3 вида фракталов: геометрические, алгебраические и стохастические.  Алгебраические (динамические) фракталы получают с помощью нелинейных функций (функций, аргументы которых очень сильно влияют на ее значение). Очень малое изменение аргументов приводит к сильному изменению значения функции. Наиболее изучены и известны функции двух аргументов (x,y). На рисунке 8 (справа) можете увидеть фрактал «Бассейны Ньютона». Рис.8  Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе (итерационный процесс - это процесс, который повторяется до тех пор, пока не будет выполняться некоторое условие) случайным образом менять какие-либо его параметры. Собственно говоря, это алгебраические или геометрические фракталы при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры. (Плазма, рисунок 9, слева). Рис.9 Геометрические фракталы в двумерном случае получают с помощью некоторой ломанной (или поверхности в трехмерном случае). За один шаг алгоритма каждый из отрезков заменяется ломаной линией в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал (на рисунке 10 изображен «Н-фрактал» и его построение). Подробнее про геометрические фракталы я расскажу в следующей главе.  Рис.10 Глава 2 Геометрические фракталы «Именно с этого вида фракталов началась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к ним применяют набор правил, который преобразует их в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований, то получим геометрический фрактал»1. Рис.11 Прямая Коха Один из фрактальных объектов – триадная кривая Коха. Постороение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.11) – это 0-е поколение кривой Коха. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рисунке через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Коха. В первом поколении – это кривая из четырех звеньев, каждое из которых длиной 1/3. Для получения третьего поколения проделываются те же действия – каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения все звенья следует заменить уменьшенным образующим элементом. На рисунке 11 представлены пять поколений кривой. При n стремящемя к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом.  Треугольник Серпинского Рис.12 Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке 12 показаны первые три шага.  ___________________________________ 1 Режим доступа: http://sakva.net/old/fractals_rus/. Данные соответствуют 12.04.14. Драконова ломаная Драконова ломаная относится к классу самоподобных рекурсивно порождаемых геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла. При этом каждый первый угол оказывается "вывернутым" наружу, а каждый второй - вовнутрь.  Рис.14 Рис.13  Глава 3 Фрактальные принципы и структуры в жизни Фрактальны структуры можно встретить во многих сферах научной деятельности: от математики до биологии и экономики, в буквальном смысле этого. Применение и образование фракталов поистине обширно. «В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как, турбулентное течение жидкости. Фракталы используются при моделировании пористых материалов в нефтехимии»2. В биологии они применяются при моделировании популяций и для описания системы кровеносных сосудов. В радиотехнике мы можем встретить такой пример рассматриваемых нами структур, как фрактальные антенны (создателем системы стал американских инженер Натан Коэн). Фрактальные структуры также находят свое применение в информатике. «Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. В данном случае мы наблюдаем признак фракталов – самоподобие. Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей, побережья и так далее. Так же существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений»3. Интересно заметить, что фрактальные структуры можно встретить даже в экономике. А.А.Алмазов в своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки?» предложил способ использовать фрактальную геометрию при анализе курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков, в частности – на рынке Форекс. В живой и неживой природе можно встретить великое множество разнообразных фрактальных структур. Они не будут абсолютно соответствовать каждому признаку фрактальности, так принадлежат к реальному миру, где мы доходим до мельчайших частиц (электронов, протонов, нейтронов) и останавливаемся. Примерами объектов живой природы, обладающих фрактальной структурой, являются кораллы, морские звезды и ежи, морские раковины, цветы и растения (конкретно, капуста Романеско), плоды (ананас), кроны деревьев и листья растений, кровеносная система и бронхи людей и животных. В неживой природе фрактальной структурой обладают границы географических объектов (стран, областей, городов), береговые линии, горные хребты, снежинки, облака, молнии и кристаллы. Даже мятый лист бумаги будет обладать фрактальной структурой. Фрактальные принципы как способ упаковки информации можно встретить и в живой природе, а точнее в клетках нашего организма. «Большой коллектив американских ученых показал, что ДНК в клеточном ядре упакована по фрактальному принципу. Генетическая информация живых существ закодирована в ДНК. У организмов, обладающих ядром (эукариоты) ДНК хранится именно там. Отдельные нити ДНК соединены с определенными белками и образуют хромосомы. Большую часть времени хромосомы в ядре присутствуют не как отдельные тела: ДНК частично раскручена и может простираться на значительные расстояния. Как именно расположены в ядре такие петли ДНК, исследователям до конца не ясно. Очевидно, что упаковка не является случайной, так как в этом случае нити неизбежно запутывались бы. Существует несколько гипотез, объясняющих пространственную организацию ДНК в ядре, однако все они требуют дополнительного подтверждения. Для того чтобы определить, как расположены нити ДНК в ядре, авторы новой работы обрабатывали клеточные ядра формальдегидом. Это вещество способствует образованию сшивок между находящимися в непосредственной близости фрагментами ДНК. Ученые выделяли такие сшитые участки и определяли их последовательность. Зная последовательность, исследователи могли найти место этих участков на хромосомах. Используя полученные данные, специалисты построили трехмерную модель ядра. Оказалось, что внутренняя организация ядра представляет собой фрактал. Такой способ упаковки предохраняет нити ДНК от запутывания и образования узлов, а также обеспечивает плотную упорядоченную упаковку информации»4. Фрактальные принципы как способ упаковки информации встречается не только в природе, но и в сети (еще одно использование фрактальных принципов в информатике). «Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а, следовательно, максимально устойчивую работу всей сети»5. _________________________ 2 Режим доступа: http://www.myshared.ru/slide/790349/. Данные соответствуют 12.04.14. 3 Режим доступа: http://www.graphicon.ru/oldgr/library/our_publications/fractal/algcomp3.htm. Данные соответствуют 12.04.14. 4 Режим доступа: http://lenta.ru/news/2009/10/09/genome/. Данные соответствуют 12.04.14. 5 Режим доступа: http://www.myshared.ru/slide/790349/. Данные соответствуют 12.04.14. Главной темой 3 главы было показать, насколько востребованы в мире фрактальные принципы и структуры, а ярчайшим и наиболее наглядным примером фрактальных свойств являются геометрические фракталы, про которые я подробно рассказала во 2 главе. Заключение Большой интерес к фракталам, как и вообще к нерегулярным функциям и множествам, объясняется, прежде всего, тем, что они гораздо лучше обеспечивают представление многих природных явлений, нежели объекты классической геометрии. В заключении я хотела бы повторить свойства фракталов. Фигуру можно назвать фракталом, если она обладает структурой в любом масштабе, самоподобна или приближенно самоподобна, и размерность этой фигуры должна быть нецелая. В общем, фрактальные принципы используются во многих областях науки и техники. А фрактальные структуры окружают нас всюду. Список литературы
|
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Реферат Алгебраические фракталы Кто хотя бы раз видел фракталы – удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заинтересовался этим научным... |  | Реферат ученицы 10 класса «Б» Киракосовой Таисии по теме: «Множество Жулиа и Мандельброта» В настоящее время фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов. Так же используются... |
| Фракталы в медицине и биологии Учащаяся: Сизых Ю. А. Шишкина Н. А. Шадринск Приложение №1 Универсальная методика взамен устаревшей технологии | | Учебный модуль К графическим объектам Word относятся рисунки, геометрические фигуры автофигуры, фигурный текст. Эти объекты предоставляют дополнительные... |
| Реферат На тему: «геометрические построения» Цель реферата: на примере ряда задач показать, что при решении задач на построение можно обходиться только одним инструментом, познакомиться... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Применять на практике: проводить моделирование в среде графического редактора; создавать меню типовых мозаичных форм; создавать геометрические... |
| Реферат на тему: «Геометрические решения экстремальных геометрических задач» Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Фракталы. Венок сонетов» (геометрия – литература, автор Борисова Н., 11 класс, моу одинцовский лицей №6 им. А. С. Пушкина). Материал... |
| «Сопряжение» Данный урок является продолжением темы: «Геометрические построения, необходимые при выполнении чертежей» | | Анализ посещенного урока Наименование прорабатываемой на занятиях темы геометрические построения и правила вычерчивания контуров технических деталей |
| Анализ посещенного урока Наименование прорабатываемой на занятиях темы Геометрические построения и правила вычерчивания контуров технических деталей | | Руководство по лётной эксплуатации самолёта як-52 Москва, 2001 Основные геометрические, регулировочные весовые и центровочные данные самолета 42 |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Оборудование: геометрические фигуры, числовой ряд от 1 до 10, клей, цветной картон | | Урок математики во 2 классе. Тема: «Сложение и вычитание чисел в пределах 100. Закрепление» Цели: 1 Совершенствовать вычислительные навыки и умения решать текстовые и геометрические задачи |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Оборудование: геометрические фигуры(из цветного картона), счетные палочки, цветная бумага | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Формировать умения составлять простейшие геометрические фигуры из палочек на плоскости стола |
