Логика и методология науки

Это представление также стало одной из мишеней критики Брауэра. С его точки зрения, законы классической логики возникли в результате рассмотрения конечных совокупностей, при работе с которыми доказательство чистого существования заведомо может быть дополнено эффективным способом построения искомого объекта — полным перебором. При переходе же к рассмотрению бесконечных совокупностей эти законы становятся недостоверными, поскольку полного перебора таких совокупностей мы провести уже не можем.

Появление антиномий (типа парадоксов Рассела) можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает.

В чем отличие интуиционистской логики от классической?

Любое суждение считается осмысленным, только если оно выражает возможность некоторого умственного построения, и считается истинным, только если исследователю удалось выполнить соответствующее построение.

Примеры: утверждение, начинающееся с квантора существования, означает наличие способа мысленного построения искомого объекта.

дизъюнкция суждений A и B означает возможность непосредственно указать среди этих суждений верное. С этой точки зрения, суждение вида может и не быть истинным, если проблема A не решена к настоящему времени. Отсюда видно, что закон исключённого третьего неприемлем в интуиционистской математике в качестве логического принципа.

Соотношение теоретико-множественной (ТММ) и интуиционистской математик (ИМ) с точки зрения допускаемых логических средств и абстракций может быть охарактеризовано следующей таблицей:

Напомним, что означают все эти теоремы и принципы.

Закон исключенного третьего: из двух высказываний — «А» или «не А» — одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут быть одновременно истинными, одно из них необходимо истинно (либо ложно).

Закон двойного отрицания:   А А.

Принцип Маркова: Пусть для некоторого свойства имеется алгоритм , выясняющий для всякого натурального числа N, обладает ли N свойством . Если опровергнуто предположение о том, что ни одно натуральное число не обладает свойством , то имеется натуральное число со свойством .