Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования государственныйуниверсите т

Примерные вопросы для домашнего задания

1. 
   Алгебраические структуры: группы относительно сложения и умножения, кольца и поля (определения, примеры, свойства).
   
2. 
   Линейная зависимость векторов. Базис, размерность, координаты векторов.
   
3. 
   Связь между базисами линейного пространства. Матрица перехода от старого базиса к новому, если базисные вектора заданы своими координатами по отношению к искомому базису.
   
4. 
   Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
   
5. 
   Матрица линейного преобразования. Связь матрицы одного и того же линейного преобразования в разных базисах.
   
6. 
   Характеристические корни матрицы и линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
   
7. 
   Общий вид линейной формы в п-мерном пространстве. Преобразование коэффициентов линейной формы при изменении базиса.
   
8. 
   Общий вид билинейной формы в п-мерном линейном пространстве. Матрицы билинейной и симметричной билинейной форм.
   
9. 
   Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.
   
10. 
    Знакоопределение квадратичной формы. Критерий Сильвестра определённости квадратичной формы.
    

1. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

1. 
   Определение комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы комплексного числа.
   
2. 
   Геометрическая интерпретация, модуль, аргумент.
   
3. 
   Операции над комплексными числами: сложение, умножение, возведение в степень, извлечение корня.
   
4. 
   Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.
   
5. 
   Определение матрицы, ее характеристики. Виды матриц.
   
6. 
   Линейные операции над матрицами: сложение вычитание, умножение на действительное число.
   
7. 
   Умножение матриц, свойства.
   
8. 
   Транспонированная матрица, свойства.
   
9. 
   Обратная матрица, свойства, способы нахождения обратной матрицы.
   
10. 
    Обратная матрица. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями.
    
11. 
    Определители второго и третьего порядков, свойства.
    
12. 
    Миноры и алгебраические дополнения.
    
13. 
    Определители п-го порядка, свойства.
    
14. 
    Вычисление определителя разложением по строке (столбцу), методом приведения к треугольному виду, по теореме Лапласса.
    
15. 
    Ранг матрицы, ранг ступенчатой матрицы.
    
16. 
    Элементарные преобразования матрицы.
    
17. 
    Критерий линейной независимости системы строк (столбцов).
    
18. 
    Совместная и несовместная системы линейных уравнений.
    
19. 
    Определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
    
20. 
    Равносильность (эквивалентность) системы линейных уравнений.
    
21. 
    Матрица и расширенная матрица системы.
    
22. 
    Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса.
    
23. 
    Решение системы линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы.
    
24. 
    Общее решение системы линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные.
    
25. 
    Решение системы линейных уравнений с помощью определителей (теорема Крамера) неоднородной системы линейных уравнений.
    
26. 
    Матричные уравнения. Нахождение решения матричного уравнения с помощью обратной матрицы.
    
27. 
    Межотраслевой баланс, модель Леонтьева. Методы решения.
    
28. 
    Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на действительное число. Длина вектора.
    
29. 
    Операции с векторами, заданными своими координатами.
    
30. 
    Базис. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.
    
31. 
    Линейная зависимость векторов.
    
32. 
    Скалярное произведение векторов. Свойства.
    
33. 
    Угол между векторами.
    
34. 
    Трёхмерное векторное пространство. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Ортонормированный базис.
    
35. 
    Векторное произведение векторов. Свойства. Следствия.
    
36. 
    Смешанное произведение векторов. Свойства. Следствия.
    
37. 
    Афинная и прямоугольная системы координат.
    
38. 
    Формулы преобразования координат при переходе от явной системы координат к другой.
    
39. 
    Полярные координаты.
    
40. 
    Метод координат на плоскости и его применение.
    
41. 
    Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнения прямой с угловым коэффициентом и в отрезках. Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
    
42. 
    Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
    
43. 
    Расстояние от точки до прямой. Расстояние между прямыми.
    
44. 
    Угол между двумя прямыми.
    
45. 
    Общее уравнение плоскости.
    
46. 
    Взаимное расположение двух и трёх плоскостей.
    
47. 
    Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
    
48. 
    Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между плоскостями.
    
49. 
    Уравнение прямой в пространстве.
    
50. 
    Взаимное расположение прямых в пространстве.
    
51. 
    Углы между прямыми в пространстве.
    
52. 
    Взаимное расположение прямой и плоскости.
    
53. 
    Угол между прямой и плоскостью.
    
54. 
    Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между прямыми в пространстве. Расстояние между прямой и плоскостью.
    
55. 
    Кривые второго порядка, общий вид. Уравнение окружности, ее характеристики.
    
56. 
    Уравнение эллипса, его характеристики.
    
57. 
    Уравнение гиперболы, ее характеристики.
    
58. 
    Уравнение параболы, ее характеристики.
    
59. 
    Алгебраические структуры: группы относительно сложения и умножения, кольца и поля (определения, примеры, свойства).
    
60. 
    Линейная зависимость векторов. Базис, размерность, координаты векторов.
    
61. 
    Связь между базисами линейного пространства. Матрица перехода от старого базиса к новому, если базисные вектора заданы своими координатами по отношению к искомому базису.
    
62. 
    Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
    
63. 
    Матрица линейного преобразования. Связь матрицы одного и того же линейного преобразования в разных базисах.
    
64. 
    Характеристические корни матрицы и линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
    
65. 
    Общий вид линейной формы в п-мерном пространстве. Преобразование коэффициентов линейной формы при изменении базиса.
    
66. 
    Общий вид билинейной формы в п-мерном линейном пространстве. Матрицы билинейной и симметричной билинейной форм.
    
67. 
    Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.
    
68. 
    Знакоопределение квадратичной формы. Критерий Сильвестра определённости квадратичной формы.
    
69. 
    Евклидовы пространства и операторы в них. Основные понятия, определения.
    
70. 
    Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.
    
71. 
    Ортогональность векторов. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
    
72. 
    Построение ортонормированного базиса ортогонализации произвольного базиса.
    
73. 
    Матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе.
    
74. 
    Ортогональные матрицы.
    
75. 
    Ортогональные преобразования евклидова пространства.
    
76. 
    Линейные операторы в евклидовом пространстве.
    
77. 
    Сопряженность операторов. Матрица сопряженных оператор. Самосопряженные операторы, их собственные векторы и собственные значения, ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора.
    

9. Порядок формирования оценок по дисциплине

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

   1. Базовый учебник

1. Основная литература

1. 
   Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: ИНФРА-М, 2008.
   
2. 
   Шипачев В.С. Задачи по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2009.
   

11.3. Дополнительная литература

1. 
   Беклемышев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1977.
   
2. 
   Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988.
   
3. 
   Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – М.: Наука, 1977.
   
4. 
   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. – М.: Высш. шк., 1999.
   
5. 
   Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2000.
   
6. 
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984.
   
7. 
   Скорняков Л.А. Элементы линейной алгебры. Учебное пособие. – М.: Наука, 1980.
   
8. 
   Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы мат. анализа (под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича). – М.: Наука, 1981.
   
9. 
   Шевцов Г.С. Линейная алгебра. – Пермь: ПГУ, 2003.
   

11.4. Справочники, словари, энциклопедии

5. Программные средства

11.6.. Дистанционная поддержка дисциплины

11. Материально-техническое обеспечение дисциплины