МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
по дисциплине «Теория информации»
Специальность 230102.65 - Автоматизированные системы
обработки информации и управления
Форма подготовки - очная
г. Владивосток
2011
Целями проведения лабораторно-практических работ являются:
− установление связей теории с практикой в форме экспериментального подтверждения положений теории;
− обучение студентов умению анализировать полученные результаты;
− контроль самостоятельной работы студентов по освоению курса;
− обучение навыкам профессиональной деятельности
Цели практикума достигаются наилучшим образом в том случае, если выполнению эксперимента предшествует определенная подготовительная внеаудиторная работа. Поэтому преподаватель обязан довести до всех студентов график выполнения лабораторных работ с тем, чтобы они могли заниматься целенаправленной домашней подготовкой.
Перед началом очередного занятия преподаватель должен удостовериться в готовности студентов к выполнению работы путем короткого собеседования и проверки наличия у студентов заготовленных протоколов проведения работы.
Лабораторные работы (36 час.)
Лабораторная работа № 1 Расчет вероятностей информационных состояний (12 час)
Вариант 1.
1. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий – с вероятностью 0,75. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
2. Ожидается прибытие трех судов с фруктами. Статистика показывает, что 1% судов привозит товар, непригодный к пользованию. Найти вероятность того, что
а) хотя бы два судна привезут качественный товар;
б) ни одно судно не привезет качественный товар.
3. В среднем 5% студентов финансово-кредитного факультета сдают экзамен по высшей математике на «отлично». Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на «отлично»:
а) два студента;
б) не менее пяти студентов.
4. Законы распределения случайных величин X и Y заданы таблицами:
Х:
|
xi
|
0
|
1
|
|
Y:
|
yi
|
-1
|
2
|
3
|
pi
|
?
|
0,4
|
|
pi
|
0,3
|
?
|
0,5
|
Найти:
а) вероятности P(X = 0) и P(Y = 2);
б) закон распределения случайной величины Z = X – Y;
в) дисперсию D(Z).
5. Объем продаж в течение месяца – это случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами а = 500 и = 120. Найти вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600.
Вариант 2.
1. Среди 20 одинаковых по внешнему виду тетрадей 16 в клетку. Наудачу взяли 4 тетради. Найти вероятность того, что из них
а) две тетради в клетку;
б) хотя бы одна тетрадь в клетку.
2. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение доли изделий первого сорта среди отобранных от 0,85 не превосходило 0,01 (по абсолютной величине).
3. Из поступивших в магазин телефонов третья часть белого цвета, однако, определить цвет можно только после вскрытия упаковки. Найти вероятность того, что из шести распакованных телефонов
а) два аппарата белого цвета;
б) хотя бы один аппарат белого цвета.
4. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
xi
|
-4
|
-1
|
1
|
3
|
4
|
6
|
pi
|
0,1
|
0,2
|
0,1
|
0,1
|
0,4
|
0,1
|
Необходимо:
а) составить законы распределения случайных величин Y = 2X и Z = X2 ;
б) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y;
в) построить график функции распределения случайной величины Z.
5. Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной, среднее квадратическое отклонение которой равно 10000 л. Оценить вероятность того, что расход воды в этом пункте в течение дня отклонится от математического ожидания не более чем на 25000 л (по абсолютной величине).
Лабораторная работа № 2 «Информационные статистические задачи» (12 час)
По данным задачи 1, используя критерий 2 - Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – сумма вклада – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
. Распределение 250 пар, вступивших в брак, по возрасту мужчин Х (лет) и женщин Y (лет) представлено в таблице:
y
x
|
15 - 25
|
25 - 35
|
35 - 45
|
45 - 55
|
55 - 65
|
Итого:
|
15 - 25
|
7
|
3
|
|
|
|
10
|
25 - 35
|
52
|
110
|
13
|
1
|
|
176
|
35 - 45
|
1
|
14
|
23
|
2
|
|
40
|
45 - 55
|
|
1
|
4
|
6
|
1
|
12
|
55 - 65
|
|
|
|
3
|
6
|
9
|
65 - 75
|
|
|
|
|
3
|
3
|
Итого:
|
60
|
128
|
40
|
12
|
10
|
250
|
Необходимо:
1) Вычислить групповые средние  , построить эмпирические линии регрессии.
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содержательную интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости α = 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний возраст мужчин, имеющих супруг в возрасте 30 лет.
Образец выполнения Лабораторной работы №2
Вариант 1.
1. Решение.
От интервального распределения перейдем к дискретному, взяв в качестве представителя интервала его середину  .
Для расчета выборочной средней и выборочной дисперсии составим таблицу.
Сумма вклада, тыс. руб.
|
Количество вкладов, ni
|
Середина, хi
|
хi - C
|
|
|
|
50 - 150
|
14
|
100
|
-200
|
-2
|
-28
|
56
|
150 - 250
|
24
|
200
|
-100
|
-1
|
-24
|
24
|
250 - 350
|
35
|
300
|
0
|
0
|
0
|
0
|
350 - 450
|
20
|
400
|
100
|
1
|
20
|
20
|
450 - 550
|
7
|
500
|
200
|
2
|
14
|
28
|
Суммы
|
100
|
|
|
|
-18
|
128
|
С = 300 - середина интервала с наибольшей частотой;
k = 100 - величина интервала.
Выборочное среднее найдем по формуле 
 282 тыс. руб.
Выборочная дисперсия
 ,
 12476.
Выборочное среднее квадратическое отклонение
 111,696.
а) Средняя квадратическая ошибка среднего значения признака для бесповторной выборки  .
Число всех вкладов N = 2000, объем выборки n = 100
 10,8868.
Вероятности β = 0,9488 соответствует t = 1,95, так как Ф(1,95) = 0,9488.
Предельная ошибка  1,95 10,8868 21,2270.
Нижняя граница  282 - 21,227 = 260,773,
верхняя граница  282 + 21,227 = 303,227.
С вероятностью 0,9488 средняя сумма всех вкладов в сберегательном банке заключена в границах от 260,773 до 303,227 тыс. руб.
б) Вероятности Р = 0,9 соответствует t = 1,64, так как Ф(1,64) = 0,9.
Число вкладчиков, которых надо обследовать для повторной выборки
  74,912.
Для бесповторной выборки
 72,207. Округляем до большего целого 73.
Чтобы с вероятностью 0,9 гарантировать те же границы для средней суммы всех вкладов в сберегательном банке, что и в п. а) объем бесповторной выборки должен быть равным 73 вкладам.
в) Выборочная доля вкладчиков, у которых сумма вклада больше 250 тыс. руб., равна  0,62.
Средняя квадратическая ошибка доли для бесповторной выборки
   0,0473 0,047.
Предельная ошибка Δ = 0,1.  0,1 / 0,0473 2,11.
Находим требуемую вероятность P = Ф(tβ) = Ф(2,11) = 0,9651
Вероятность того, что доля всех вкладчиков, у которых сумма вклада больше 250 тыс. руб., отличается от доли таких вкладчиков в выборке не более чем на 0,1(по абсолютной величине), приближенно равна 0,9651.
2. Решение.
Проверяется гипотеза Н0: случайная величина Х – сумма вклада – распределена по нормальному закону. Функция плотности вероятности и функция распределения имеют вид
  , где а, - параметры распределения.
В качестве оценок этих параметров возьмем выборочное среднее значение и дисперсию.
 282; =  111,696.
Тогда  и  .
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле
 , где
m - число интервалов; ni - частота (эмпирическая); n - объем выборки; pi - теоретическая
вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал; npi - теоретическая частота.
Вероятность pi попадания случайной величины Х в интервал (xi ; xi+1 ) найдем по формуле
pi = P (xi < X < xi+1) =
 .
= 0,5 (Ф(-1,18) - Ф(-2,08)) = 0,5 (-0,7620 + 0,9625) = 0,1002.
= 0,5 (Ф(-0,29) - Ф(-1,18)) = 0,5 (-0,2282 + 0,7620) = 0,2669.
= 0,5 (Ф(0,61) - Ф(-0,29)) = 0,5 (0,4581 + 0, 2282) = 0,3432.
= 0,5 (Ф(1,50) - Ф(0,61)) = 0,5 (0,8664 - 0,4581) = 0,2041.
= 0,5 (Ф(2,40) - Ф(1,50)) = 0,5 (0,9836 - 0,8664) = 0,0586.
Для расчета составим вспомогательную таблицу
i
|
Интервал (xi ; xi+1)
|
Эмпирические частоты ni
|
Вероятность pi
|
Теоретические частоты npi
|
ni - npi
|
(ni - npi)2
|
(ni - npi)2 / npi
|
1
|
50 - 150
|
14
|
0,1002
|
10,020
|
3,980
|
15,8404
|
1,5809
|
2
|
150 - 250
|
24
|
0,2669
|
26,690
|
-2,690
|
7,2361
|
0,2711
|
3
|
250 - 350
|
35
|
0,3432
|
34,320
|
0,680
|
0,4624
|
0,0135
|
4
|
350 - 450
|
20
|
0,2041
|
20,410
|
-0,410
|
0,1681
|
0,0082
|
5
|
450 - 550
|
7
|
0,0586
|
5,860
|
1,140
|
1,2996
|
0,2218
|
|
Суммы
|
100
|
0,9730
|
97,300
|
|
|
2,0955
|
 2,0955.
Найдем по таблице критическое значение критерия  , k = m – s – 1 , m = 5 - число интервалов, s = 2 - число параметров распределения, = 0,05 - уровень значимости, k = 5 - 2 - 1 = 2,  = 5,99.
Сравниваем наблюдаемое значение критерия с критическим 
2,0955 < 5,99. Это означает, что наблюдаемое значение не попало в критическую область. Поэтому гипотеза о нормальном распределении размера кредита согласуется с данными выборки и должна быть принята.
Гистограмма - это совокупность прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы (xi; xi+1], а высота которых равна  .
ki = xi+1 - xi - длина частичного интервала, ki = 100, n ki = 100 100 = 10000
 ,  ,  ,  ,
 .
Для построения графика нормальной кривой отметим точки (xi; pi/k), где xi - середина интервала, pi - вероятность попадания в интервал.
Вершина при х = а = 282.
 0,0574.
p1 / k = 0,1002 / 100 = 0,0010 p2 / k = 0,2669 / 100 = 0,0027
p3 / k = 0,3432 / 100 = 0,0034 p4 / k = 0,2041 / 100 = 0,0020
p5 / k = 0,0586 / 100 = 0,0006
3. Решение.
По исходным данным составим корреляционную таблицу, где интервалы представлены своими серединами.
yj
xi
|
20
|
30
|
40
|
50
|
60
|
ni
|
20
|
7
|
3
|
|
|
|
10
|
30
|
52
|
110
|
13
|
1
|
|
176
|
40
|
1
|
14
|
23
|
2
|
|
40
|
50
|
|
1
|
4
|
6
|
1
|
12
|
60
|
|
|
|
3
|
6
|
9
|
70
|
|
|
|
|
3
|
3
|
nj
|
60
|
128
|
40
|
12
|
10
|
250
|
1) Найдем групповые средние по Y по формуле  .
x1 = 20  (20 7 + 30 3) / 10 = 230 / 10 = 23,000
x2 = 30  (20 52 + 30 110 + 40 13 + 50 1) / 176 = 4910 / 176 = 27,898
x3 = 40  (20 1 + 30 14 + 40 23 + 50 2) / 40 = 1460 / 40 = 36,500
x4 = 50  (30 1 + 40 4 + 50 6 + 60 1) / 12 = 550 / 12 = 45,833
x5 = 60  (50 3 + 60 6) / 9 = 510 / 9 = 56,667
x6 = 70  60 3 / 3 = 60,000
Составим таблицу 2.
|
|
|
|
|
Таблица 2
|
xi
|
20
|
30
|
40
|
50
|
60
|
70
|
|
23,000
|
27,898
|
36,500
|
45,833
|
56,667
|
60,000
|
По точкам (хi; ) построим эмпирическую линию регрессии Y на X. Эти точки расположены вблизи прямой с уравнением y = ax + b, где a и b неизвестные параметры и их нужно определить.
Групповые средние по Х найдем по формуле  .
y1 = 20  (20 7 + 30 52 + 40 1) / 60 = 1740 / 60 = 29,000
y2 = 30  (20 3 + 30 110 + 40 14 + 50 1) / 128 = 3970 / 128 = 31,016
y3 = 40  (30 13 + 40 23 + 50 4) / 40 = 1510 / 40 = 37,750
y4 = 50  (30 1 + 40 2 + 50 6 + 60 3) / 12 = 590 / 12 = 49,167
y5 = 60  (50 1 + 60 6 + 70 3) / 10 = 620 / 10 = 62,000
Составим таблицу 3
|
|
|
|
Таблица 3
|
|
29,000
|
31,016
|
37,750
|
49,167
|
62,000
|
yj
|
20
|
30
|
40
|
50
|
60
|
По точкам (; yj) построим эмпирическую линию регрессии X на Y. Эти точки расположены вблизи прямой с уравнением x = cy + d, где c и d неизвестные параметры и их нужно определить.
Для получения уравнений прямых регрессий вычислим выборочные средние
 и  .
 33,72
 31,36
Выборочные дисперсии находим по формулам  и 
 1214
 1214 – 33,722 = 76,9616.
 1076,8
 1076,8 – 31,362 = 93,3504.
Вычислим средние квадратические отклонения
 8,7728;  9,6618.
Вычислим  по формуле  .
= (20 20 7 + 20 30 3 + 30 20 52 + 30 30 110 + 30 40 13 + 30 50 1 +
+ 40 20 1 + 40 30 14 + 40 40 23 + 40 50 2 + 50 30 1 + 50 40 4 +
+ 50 50 6 + 50 60 1 + 60 50 3 + 60 60 6 + 70 60 3) / 250 – 33,72 31,36 =
= 281000 / 250 – 1057,4592 = 1124 – 1057,4592 = 66,5408.
Вычислим коэффициенты регрессии по формулам
 66,5408 : 76,9616 0,8646 0,865;
 66,5408 : 93,3504 0,7128 0,713.
а) Составим уравнение регрессии X на Y 
x – 33,72 = 0,713 ( y – 31,36 ) или x = 0,713 y + 11,366.
Прямую проведем через точки (33,72; 31,36) и (11,366; 0,00).
Уравнение регрессии X на Y показывает средний возраст мужчины, вступившего в брак с женщиной возраста y.
Содержательный смысл коэффициента регрессии 0,713 состоит в том, что при увеличении возраста женщины, вступающей в брак, на 1 год возраст супруга увеличивается в среднем на 0,713 года.
Составим уравнение регрессии Y на X 
y – 31,36 = 0,865 (x – 33,36) или y = 0,865 x + 2,206.
Прямую проведем через точки (33,72; 31,36) и (0,00; 2,206).
Уравнение регрессии Y на X показывает средний возраст женщины, вступившей в брак с мужчиной возраста х.
Содержательный смысл коэффициента регрессии 0,865 состоит в том, что при увеличении возраста мужчины, вступающего в брак, на 1 год возраст супруги увеличивается в среднем на 0,865 года.
б) Коэффициент корреляции  0,7850.
Для проверки значимости коэффициента корреляции вычислим наблюдаемое значение
 ;  19,958.
Критическое значение для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = n–2= = 250 -2 = 248 находим по таблице t1- 0,05;248 = t0,95;248 = 1,97.
Получили |tнабл| > tкр, так как 19,958 > 1,97.
Следовательно, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.
Коэффициент корреляции r = 0,7851 > 0 и попадает по абсолютной величине в интервал 0,7 - 0,99. Следовательно, между возрастом вступающих в брак мужчины (Х) и женщины (Y) существует прямая сильная корреляционная связь. При увеличении (уменьшении) значения одной величины соответственно увеличивается (уменьшается) среднее значение другой.
в) Используем уравнение прямой регрессии Х на Y x = 0,713 y + 11,366.
При y = 30 х = 0,713 30 + 11,366 = 32,756.
Средний возраст мужчин, имеющих супруг в возрасте 30 лет, равен 32,756 лет.
|
