Планы семинарских занятий.
1 СЕМЕСТР
Модуль 1.
Элементы теории множеств. Понятие множества и подмножества. Операции: объединение, пересечение, дополнение. Метод математической индукции. Нахождение граней числовых множеств.
Последовательности. Примеры. Понятие предела последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей. Определение числа е. Бесконечно малые последовательности. Связь со сходящимися последовательностями. Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные пределы. Неопределенности. Определение подпоследовательности. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.
Числовые функции, характеристика общих свойств числовых функций. Обзор элементарных функций. Определение предела функции в точке в терминах окрестностей, неравенств (Коши) и последовательностей (Гейне). Теорема об эквивалентности этих определений. Односторонние пределы. Пределы функции в бесконечности. Арифметические свойства функций, имеющих пределы (конечные или бесконечные) в точке или в бесконечности. Неопределенности. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о вынужденном пределе. Теорема о пределе сложной функции. Первый и второй замечательные пределы.
Определение непрерывности функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность основных элементарных функций. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши).
Модуль 2
Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал. Геометрический и механический смысл. Критерий дифференцируемости функций. Правила дифференцирования. Дифференцирование обратной функции и сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Дифференцирование элементарных функций и таблица производных. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя вычисления предела функции. Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена в формуле Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений функции.
Приложения дифференциального исчисления к исследованию свойств функций. Условия монотонности функции на промежутке. Локальные экстремумы функции. Достаточные условия локального экстремума в терминах первой производной, второй производной и высших производных. Глобальные экстремумы функции. Выпуклые функции. Точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и перегиба. Асимптоты.
Модуль 3
Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Евклидово n-мерное пространство. Основные определения. Внутренние, внешние, граничные точки множества в метрическом пространстве. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Непрерывные, дифференцируемые функции в Rn. Частные производные. Дифференцирование сложной функции. Производные по направлению. Градиент. Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Экстремумы функций многих переменных. Локальный экстремум функции многих переменных. Условный экстремум функций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум.
2 СЕМЕСТР
Модуль 1.
Первообразная и неопределенный интеграл. Понятие первообразной функции, определенной на интервале, и неопределенного интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица интегралов. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций, тригонометрических и других трансцендентных функций
Определенный интеграл. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Суммы Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке. Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, площади криволинейного сектора в полярных координатах, вычисление объемов.Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Понятия абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла.
Модуль 2
Дифференциальные уравнения первого порядка. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Понятия их порядка и решения. Задача Коши для уравнения первого порядка. Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли).
Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Модуль 3
Числовые ряды. Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Признаки Дирихле и Абеля. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Умножение абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана для условно сходящихся рядов.
Функциональные ряды. Функциональные последовательности, их сходимость в точке и на множестве. Функциональные ряды,определение. Равномерная сходимость функциональных последовательностей, критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей. Равномерная сходимость функционального ряда, критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Разложение функций функции в степенные ряды.. Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Необходимое и достаточное условия сходимости ряда Тейлора для заданной функции к заданной функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ООП.
Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ООП.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях, развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического материала, предусмотренного учебным планом ООП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу, предложенную в разделе 11 данной рабочей программы. В указанном разделе расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые интернет-ресурсы.
При подготовке к контрольным работам и коллоквиумам рекомендуется использовать учебно-методические комплексы [2,3,4] из списка дополнительной литературы. В указанных комплексах содержится подробное описание контрольных работ, коллоквиумов, приводится решение образца варианта контрольной работы по каждому модулю, а также варианты для самостоятельного решения. Указанная литература имеется в библиотеке ТюмГУ, а также на кафедре математического анализа и теории функций Института математики, естественных наук и информационных технологий.
Примерная тематика реферативных работ
Реферат - это самостоятельная научно-исследовательская работа студента, где автор раскрывает суть исследуемой проблемы; приводит различные точки зрения, а также собственные взгляды на нее. Содержание материала должно быть логичным, изложение материала носит проблемно-поисковый характер. Следует отметить, что самостоятельный выбор студентом темы реферата или направления исследования только приветствуется. Прежде чем выбрать тему реферата, автору необходимо выяснить свой интерес, определить, над какой проблемой он хотел бы поработать, более глубоко ее изучить и получить консультацию преподавателя.
1 семестр
Основные понятия математического анализа в трудах Л.Эйлера.
Концепция предела у Ж. Даламбера, Л.Карно, С.Люилье, С.Гурьева
Обоснование математического анализа в работах О.Коши.
М.В.Остроградский и его работы в области математического анализа.
Проблемы обоснования математического анализа в трудах Б.Больцано и К.Вейерштрасса.
семестр
1.Вычисление интегралов методом Монте-Карло.
2. Метод Симпсона вычисления интегралов.
3. Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры.
4. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода баллов в оценки следующая:
Таблица 8.
Баллы
|
Экзамен
|
0 – 60
|
Неудовлетворительно
|
61 – 75
|
Удовлетворительно (зачтено)
|
76 – 90
|
Хорошо
|
91 – 100
|
Отлично
|
Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать экзамен. Экзаменационные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу дисциплины за семестр и три практических задачи.
Вопросы к экзамену
1 семестр
Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества. Понятие переменной величины и функции (отображения).
Действительные функции одной действительной переменной. Область определения. Сложная, обратная функция. Элементарная функция. Основные элементарные функции.
Понятие окрестности. Предел функции в точке. Определение, графическая иллюстрация. Доказательство единственности предела.
Доказательство ограниченности функции, имеющей конечный предел. Доказательство теоремы о сохранении знака функции, имеющей конечный предел.
Бесконечно малые функции, их свойства (доказательство теорем о сумме и произведении бесконечно малых). Следствия. Теорема о связи бесконечно малой и функции, имеющей предел.
Бесконечно малые функции.
Доказательство арифметических свойств пределов функций.
Первый замечательный предел (доказательство). Односторонние пределы. Бесконечно большие функции. Доказательство теоремы о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций.
Предел функции на бесконечности. Предел последовательности. Второй замечательный предел.
Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке (доказать). Классификация точек разрыва.
Сравнение функций. Эквивалентные функции. Функции одного порядка. Понятие "о-малой", главной части.
Сравнение функций. Основные определения. Доказательство теоремы о применении эквивалентных при вычислении пределов (случай суммы, произведения, частного).
Производная функции в точке. Геометрический смысл. Доказательство теоремы о непрерывности функции, имеющей производную.
Производная функции в точке. Доказательство правил дифференцирования (случай суммы, произведения, частного).
Производная сложной и обратной функции (доказательства). Производная параметрически заданной функции.
Вывод формул таблицы производных. Производная показательно-степенной функции. Логарифмическое дифференцирование.
Производные высших порядков. Дифференцируемость функции. Доказательство теоремы о дифференцируемости функции. Дифференциал.
Приближенное вычисление значений функции. Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
Теорема Ролля (доказательство).
Доказательство теоремы Лагранжа. Теорема Коши.
Правило Лопиталя-Бернулли (доказательство).
Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Применение формулы Тейлора в вычислениях с заданной точностью.
Монотонность, экстремумы. Необходимое и достаточные (с доказательствами) условия экстремума.
Исследование поведения функции. Доказательство теоремы о выпуклости, вогнутости графика функции. Асимптоты.
Определение функций нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Понятие окрестности и области на плоскости.
Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.
Частные производные. Геометрический и физический смысл.
Полный дифференциал функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
Производные и дифференциал сложной функции. Дифференциал сложной функции.
Неявные функции и их дифференцирование (теоремы существования, вывод формул).
Касательная плоскость и нормаль к поверхности(вывод формул). Геометрический смысл дифференциала функции 2 переменных.
Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.
Экстремумы функций двух переменных. Доказательство необходимого и достаточного условия существования. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Производная по направлению. Доказательство теоремы о существовании производной по направлению.
Градиент. Геометрический смысл. Доказательство теоремы о связи производной по направлению с градиентом.
Условный экстремум.
|
