УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ. ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ
Задача 1. Изобразите циклический процесс в координатах рТ
Задача 2. При сжатии газа его объем уменьшился на 2 л, а давление увеличилось в 2 раза. Найти первоначальный объем газа .
Дано:
ΔV = 2 л
P2/P1=2
|
V1 -?
|
Обозначим ΔV изменение объема газа, P1 и P2 – давления газа до и после сжатия.
Решение. Судя по условию задачи, здесь процесс изотермический. Правда следовало бы добавить, что процесс сжатия происходит медленно, потому что, если бы он происходил быстро, то это был уже адиабатный процесс, при котором температура газа тоже меняется. Но, как правило, при условии задач на газовые процессы об этом упомянуть забывают, поэтому мы и обратили на этот момент внимание.
Масса газа при сжатии не меняется, значит, можно применить закон Бойля-Мариотта Р1V1=P2V2, где V2=V1–ΔV и P2=2P1 , поэтому P1V1=2P1(V1–ΔV), V1=2V1–2ΔV, откуда V1=2ΔV
Произведем вычисления V1= 2·2л=4л
Ответ: V1=4л
Задача 3. В узкой откачанной и запаянной с двух концов горизонтальной трубке посредине находится столбик ртути длиной 0,3 м. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на 15 см. Определить давление в трубке до того, как из нее откачали воздух, если ее длина 1м.
Дано:
h=0,3м
l=15см=0,15м
H=1м
ρ=13,6·103кг/м3
|
P -?
|
Решение. По условию задачи температура газа остается постоянной, поэтому при решении задачи можно применить закон Бойля-Мариотта. Состояние воздуха в трубке в горизонтальном положении определялось параметрами: объемом V1 и давлением P. Выразим объем через поперечное сечение трубки S и высоту воздушного столбика , то есть 
При вертикальном положении трубки состояние газа в верхней части трубки определялось параметрами: объемом  и давлением P1. В нижней части трубки объем стал  и давление P2=P’+P1. Столбик ртути находился в равновесии, когда давление воздуха в нижней части трубки равно сумме давления воздуха в верхней части трубки и давление столбика ртути P’= ρgh.
Запишем закон Бойля-Мариотта для состояния газа в верхней части трубки
PV1=P1V2 (1)
и для нижней части трубки
PV1=P2V3, или PV1=(P1+P’) V3. (2)
Выражение P1, полученное из (1), подставим в (2)
В равенство (3) подставим значения
и найдем P
Задача 4. Газ массой 12·10-3 кг занимает объем 6·10-3 м3 при температуре 1800 С. При какой температуре плотность этого газа будет равна 6 кг/м3.
Дано:
m=12·10-3кг
V1=6·10-3м3
t1=180ºC
T1=453K
ρ2=6 кг/м3
|
t2 –?
|
Решение: Плотность газа при постоянном давлении и массе обратно пропорциональна объему, то есть
но при постоянном давлении объем прямо пропорционален абсолютной температуре  тогда  . Отсюда  , но  , окончательно получим
Задача5. Определить на сколько изменилась масса гелия, находящегося в баллоне объемом 0,25 м3 под давлением 106 Па при температуре 200С, если из баллона была выпущена часть массы газа, после чего давление понизилось до 105 Па, а температура уменьшилась до 100С.
Дано:
μ=4 кг/кмоль
V=0,25м3
t1=200C
T1=2930К
P1=106Па
Р2=105Па
t2=100C
T2=283K
R=8,3·103Дж/кмоль·град
|
Δm–?
|
Решение. До того как часть газа была выпущена из баллона его состояние определялось такими параметрами: давление Р1, объем V,масса m1, температура Т1. После того как часть газа была выпущена из баллона, состояние газа стало определяться параметрами:Р2, V, m2, T2.Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для первого и второго состояния газа
где V – объем газа, который по условию задачи остается неизменным; μ – молекулярный вес гелия. Выразим из этих уравнений m1 иm2 и найдем их разность Δm
тогда
Задача 6. Определить объем баллона со сжатым углекислым газом, находящимся под давлением в 100 атмосфер при температуре 270 С, если при нормальных условиях то же количество углекислого газа занимает объем 1,3 м3.
Дано:
t0=00C
T0=273K
t=270C
T=300K
V0=1,3м3
P=100атм=9,8·106Па
P0=1атм=9,8·104Па
|
V –?
|
Решение. При нормальных условиях состояние газа определяется параметрами: Т0, P0, V0. При данных условиях – параметрами Т, P, V. Так как масса газа не изменялась, то для решения задачи можно воспользоваться уравнением объединенного газового закона:
отсюда
Задача 7. При какой температуре находилось 100 г водорода в баллоне объемом 10 л, если давление при этом было 2.104 Па?
Дано:
m=100г=0,1кг
μ=2 кг/кмоль
V=10л=10-2м3
P=2·104Па
R=8,3·103Дж/кмоль·град
|
t–?
|
Решение. Из уравнения Менделеева-Клапейрона PV=m/µ·RT находим температуру:
Задача 8. Определить плотность азота при температуре 270 С и давлении 760 мм рт. ст.
Дано:
t=270C
T=300К
P=760мм рт. ст.»105Па
μ=28 кг/кмоль
R=8,3·103Дж/кмоль·град
|
ρ–?
|
Решение. Из уравнения Менделеева-Клапейрона найдем плотность азота PV=m/µ·RT откуда
Задача 9. Определить по графику зависимость объема от температуры. Характер изменения давления, под которым находился газ во время нагревания, показан на рисунке (а).
Решение. Для решения задачи необходимо из начала координат 0 провести изобары, на которых лежат точки 1 и 2 (см. рисунок (б)). Точка 1 лежит на изобаре, которая составляет с осью абсцисс меньший угол, чем изобара, проходящая через точку 2. Из уравнения газового состояния следует, что тангенс угла наклона изобары пропорционален 1/P. Тогда из рисунка видим, что давление газа убывает при переходе из состояния 1 в состояние 2. Нагревание производилось при уменьшающемся давлении газа.
Задача 10. В автомобильн6ой шине находится воздух под давлением 5,9·105 Па при температуре 293 К. Во время движения автомобиля температура воздуха повышается до 308 К. На сколько увеличится давление воздуха внутри шины? Объём шины считать постоянным.
Р1 = 5,9·105 Па;
Т1 = 293 К;
Т2 = 308 К.
|
ΔР – ?
|
Решение: объём шины остаётся постоянным, следовательно применим закон Шарля:
где Р2 – давление, при котором находится воздух в шине при температуре Т2.
Из закона Шарля: 
Увеличение давления определим как разность давлений при температурах Т2 и Т1:
 ;
Ответ: давление в шине увеличится на 3,02·104 Па.
Задача 11. Плотность газа при давлении 2·105 Па и температуре 27°С равна 2,4 кг/м3. Какова молярная масса этого газа?
ρ1 = 2,4 кг/м3;
Р = 2·105 Па;
Т = 27°С = 300 К;
R = 8,32 Дж/моль·К.
|
μ – ?
|
Решение: запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:
По определению плотность  где m – масса газа, V – его объём.
Тогда  откуда
Размерность:  .
Ответ: молярная масса газа равна примерно 3·10-2 кг/моль.
Задача 12. Определить плотность насыщенного водяного пара при 27°С, если известно, что его давление при этой температуре равно 26,7 мм рт. ст.
Т = 27°С = 300 К;
Р = 26,7 мм .рт.ст. = 3559 Па;
μ = 18·10-3 кг/моль;
R = 8,31 Дж/моль·К.
|
ρ – ?
|
Решение: запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:
.
Плотность вещества где m – масса пара, тогда:
 откуда
 .
Размерность:  .
Ответ: плотность водяного пара при 27°С равна 2,6·10-2 кг/м3.
Задача 13. Из сосуда откачивают воздух. Объём сосуда 3·10-3 м-3, объём цилиндра насоса 0,5·10-3 м-3. Каким будет давление воздуха в сосуде после пяти рабочих ходов поршня, если сосуд в начале содержал воздух при давлении 1,013·105 Па, а температура – постоянная.
V1 = 3·10-3 м-3;
V2 = 0,5·10-3 м-3;
P0 = 1,013·105 Па;
t° = const.
|
P5 – ?
|
Решение: температура в процессе откачки воздуха остаётся постоянной, следовательно, при решении задачи необходимо использовать закон Бойля-Мариотта.
Если первоначально воздух занимал объём V1, то в конце первого хода поршня воздух будет занимать объём V1 + V2 и иметь давление P1. По закону Бойля-Мариотта:
P0V1 = P1·(V1 + V2);
 .
В начале второго рабочего хода поршня объём и давление воздуха равны соответственно V1 и P1, в конце V1 + V2 и P2. Применив ещё раз соотношение Бойля-Мариотта получим:
P0V1 = P1·(V1 + V2);
 .
Вообще к концу n-го рабочего хода:
 .
Приведём размерность:  .
Подставляя числовые значения:
 .
Ответ: давление установится равным 0,469·105 Па.
Задача 14. Некоторую массу газа при постоянной температуре сжимают так, что его объём уменьшается в 4 раза. После этого при постоянном объёме охлаждают с 77°С до 7°С. Определите, во сколько раз изменилось давление газа.
 ;
t1 = 77°С, Т1 = 350 К;
t3 = 7°С, Т3 = 280 К.
|
|
Решение: в описанном процессе имеются три состояния, характеризующиеся параметрами: |P1; V1; T1|, |P2; V2; T2| и |P3; V3; T3|.
Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона:
Так как Т1 = Т2 и  , то  ,
откуда 
Ответ: давление возросло в 3,2 раза.
Задача 15. Открытый сосуд нагрет до температуры 450°С. Какая часть массы воздуха осталась в нём, по сравнения с тем количеством, какое в нём было при 27°С? Расширением сосуда пренебречь.
t1 = 27°С, Т1 = 300 К;
t2 = 450°С, Т2 = 723 К.
|
|
Решение: термодинамическое состояние газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона. Так как масса воздуха в сосуде меняется, то применим уравнение Менделеева-Клапейрона для каждой массы до и после нагревания:
1)  – до нагревания;
2)  – после нагревания,
где m1 и m2 – массы воздуха в сосуде, соответственно, до и после нагревания.
Поделив второе уравнение на первое, получим:
 .
Подставив значения:  .
Ответ: после нагревания осталась 0,415-я часть воздуха.
Задача 16. Определить плотность смеси, состоящей из 4·10-3 кг водорода и 32·10-3 кг кислорода при температуре 280 К и давлении 9,3·104 Па.
m1 = 4·10-3 кг;
m2 = 32·10-3 кг;
μ1 = 2·10-3 кг/моль;
μ2 = 32·10-3 кг/моль;
T = 280 К;
Рсм = 9,3·104 Па;
R = 8,31 Дж/моль·К.
|
ρсм – ?
|
Решение: плотность смеси определяется как отношение всей массы газа к объёму, занимаемому газом:
 ,
где m1 – масса водорода; m2 – масса кислорода; V – объём занимаемый смесью.
Объём занимаемый смесью можно определить, используя закон Дальтона, закон Менделеева-Клапейрона:
 ,
где P1 – парциальное давление воздуха в смеси;
P2 – парциальное давление кислорода в смеси.
Из полученного уравнения определяем объём, занимаемый смесью водорода и кислорода:
Таким образом, плотность смеси определяется соотношением:
Проверка единиц измерения:
Ответ: плотность смеси равна 0,48 кг/м3.
Задача 17. Из кислородного баллона емкостью 25 л при температуре 17°С израсходовали часть кислорода, причем давление в баллоне понизилось на 0,4 МПа. Определить массу израсходованного кислорода.
V = 25 л = 2,5·10-2 м3;
T = 17°С = 290 К;
ΔP = 0,4 МПа = 4·105 Па;
μ = 32·10-3 кг/моль.
|
|
Δm – ?
|
Решение: кислород имеет два состояния. Для первого состояния параметры газа:
 ,
для второго состояния:  .
Записываем уравнения для этих состояний, имея в виду, что если в первом состоянии масса m1, то во втором она равна:
m2 = m1 – Δm,
где Δm – масса израсходованного кислорода.
 ; P2 = P1 – ΔP;
 ; m2 = m1 – Δm.
Решаем систему, определяя Δm:
 ;
 ;
 .
Подставим числовые значения:
Проверим размерность:
Ответ: масса израсходованного кислорода Δm = 0,133 кг.
Задача 18. Какие изменения происходят с параметрами состояния идеального газа при переходе из состояния 1 в состояние 2? Масса газа постоянна.
Ответ: изохорное охлаждение (т.к. V = const, а P падает).
Задача №19. Резиновый мяч содержит 2 л воздуха, находящегося при температуре 20°С и под давлением 780 мм.рт.ст. Какой объем займет воздух, если мяч будет опущен в воду на глубину 10м? Температура воды 4°С.
t1 = 20°С, Т1 = 293 К;
V1 = 2 л = 3·10-3 м3;
Р1 = 780 мм.рт.ст. = 1,04·105 Па;
t2 = 4°С, Т2 = 277 К;
ρ = 103 кг/м3;
h = 10 м.
|
V1 – ?
|
Решение: давление воздуха под упругой оболочкой мяча, находящегося на глубине h, равно давлению в воде на этой глубине:
P2 = P1 + ρgh.
Подставляя это соотношение в уравнение состояния, получим:
 .
Откуда  ; V2 = 9,8·10-4 м3.
Ответ: воздух займёт объём 9,8·10-4 м3.
Задача 20. Баллон содержит сжатый воздух при 27°С и давлении 40 ат. Каково будет давление, когда из баллона будет выпущена половина массы газа и температура понизится до 12°С?
t1 = 27°С, Т1 = 300 К;
t2 = 12°С, Т2 = 285 К;
Р1 = 40 ат. ≈ 4·106 Па.
|
Р2 – ?
|
Решение: уравнение Менделеева-Клапейрона для каждого состояния газа имеет вид:
 , 
По условию:  .
Из этих уравнений:  ; Р2 = 1,9·105 Па.
Ответ: установится давление 1,9·105 Па.
Задача 21. На рис. а, дан график изменения состояния идеального газа в координатах P, V. Представить этот цикл в координатах Р, Т, обозначив соответствующие точки.
Решение: при решении этих задач используются газовые законы. Обозначим параметры каждого состояния:
1 – P1, V1, T1; 2 – P1, V2, T2;
3 – P2, V2, T3; 4 – P2, V1, T4.
Процесс 1 – 2: P = const,
.
С учетом этого процесс 1 – 2 в координатах P, T изображаем следующим образом: указываем координаты точки 1 (T1 – произвольно; P1 – из рис. а), координаты точки 2 ( , где V1, V2 из рис. а); затем эти точки соединяем (рис. б).
Процесс 2 – 3: V = const,  .
Координаты точки 3: T3 – на пересечении изохоры 2 – 3 (прямая через начало 0) и горизонтальной изобары P1; P2 – из рис. а.
Процесс 3 – 4: P = const,  .
Процесс 4 – 1: V = const,  .
Координаты точки 4: T4 – на пересечении изохоры 1 – 4 (прямая через начало 0) и изобары P1; P2 – из рис. а.
Тест
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ. ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ
|
При сжатии объем данной массы идеального газа уменьшился в 2 раза, давление уменьшилось в 2 раза. Абсолютная температура газа при этом
уменьшилась в 2 раза
уменьшилась в 4 раза
увеличилась в 2 раза
увеличилась в 4 раза
|
|
Из сосуда выпустили половину находящегося в нем газа. Как необходимо изменить абсолютную температуру оставшегося в сосуде газа, чтобы давление его увеличилось в 3 раза?
уменьшить в 3 раза
увеличить в 3 раза
уменьшить в 6 раз
увеличить в 6 раз
|
|
Плотность некоторого идеального газа при температуре 227°С и давлении 105 Па равна 192г/м3. Молярная масса этого газа равна
32 г/моль
16 г/моль
8 г/моль
4 г/моль
|
|
В сосуде объемом 30 л находится газ кислород массой 16 г при температуре 27°С . Давление кислорода в сосуде равно
42000 кПа
42 кПа
84 кПа
0, 042 кПа
|
|
Давление идеального газа в некотором процессе возросло в 2 раза, а плотность увеличилась в 3 раза. Как изменилась температура газа, если его начальная температура была равна 300 К?
увеличилась на 100К
уменьшилась на 100 К
увеличилась на 250 К
уменьшилась на 150 К
|
|
Шесть молей водорода находятся в сосуде при комнатной температуре и давлении p. Каким будет давление трех молей кислорода в том же сосуде и при той же температуре?
р/2
р
8р
16р
|
|
В сосуде под неплотно прилегающим поршнем находится идеальный газ массой m. В начальный момент времени объем газа равен V, его давление р, температура Т. В результате процесса, проведенного с газом, его объем уменьшился в 3 раза, давление возросло в 4 раза, а температура повысилась в 2 раза. Масса газа в сосуде оказалась равной
m
32 m
23 m
46 m
|
|
На рисунке показаны графики четырех процессов изменения состояния данной массы идеального газа. Изотермическим сжатием является процесс
3
2
4
1
|
|
При изобарном нагревании идеального газа от температуры 280К плотность его уменьшилась вдвое. Температура газа увеличилась на
280 К
200К
180К
300К
|
|
Идеальный газ сначала нагревался при постоянном объеме, потом его объем уменьшался при постоянном давлении, затем при постоянной температуре давление газа уменьшилось до первоначального значения. Какой из графиков в координатных осях p−V соответствует этим изменениям состояния газа? Масса газа постоянна.
|
|
1 моль идеального газа занимает сосуд объемом 22,6 л при давлении 1 атм. Какова при этом температура T газа?
|
|
В закрытом недеформируемом сосуде находится идеальный газ при температуре 10оС. Как надо изменить температуру газа, чтобы давление газа в сосуде увеличилось в 2 раза?
|
|
Каждому процессу из столбика 1 подберите соответствующие параметры из столбиков 2-4. Ответ дайте в виде сочетания букв и цифр
столбик 1
|
столбик 2
|
столбик 3
|
столбик 4
|
процесс
|
постоянная величина
|
закон
|
ученый, открывший закон
|
изобарный
изотермический
изохорный
|
температура
объем
давление
|
|
Бойль и Мариотт
Шарль
Гей-Люссак
|
|
|
На рисунке представлен график зависимости давления от температуры. Для каждого перехода из столбика 1 подберите соответствующее название процесса из столбика 2. Ответ дайте в виде сочетания цифры и буквы
Столбик 1
|
Столбик 2
|
переход
|
процесс
|
1→2
2→3
3→1
|
изотермическое расширение
изотермическое сжатие
изобарное расширение
изобарное сжатие
изохорное охлаждение
изохорное нагревание
|
|
|
