Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2

ЗАКОНЫ ДЕ МОРГАНА.




ЗАКОНЫ ЗАМЕНЫ ИМПЛИКАЦИИ.

ЗАКОНЫ ЗАМЕНЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.

Высказывания с кванторами.

Мы выяснили, что среди математических предложений есть высказывания и высказывательные формы. Для того, чтобы высказывательную форму преобразовать в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Однако существуют и другие способы получения высказываний из высказывательных форм.

Определение: Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общно­сти по переменной х и обозначается символом х. Запись х, (А(х)) означает: «для всякого значения х предложение А(х) - истинное высказывание».

Определение: Выражение «существует х такое, что ...» в логике называется квантором существования по переменной х и обозначается символом х. Запись х, (А(х)) означает: «существует такое значение х, что А(х) -истинное высказывание».

Замечание : Если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Заметим, что в математике наряду со словом «всякий» употребля­ют слова «каждый», «любой», а со словом «существует» использу­ют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Задача 1. Установить, истинны или ложны следующие высказы­вания:

а) х{0, 1, 4}, значение выражения (4 - х):(2х + 1) есть число целое. – ИСТИННО.

Действительно, чтобы убедиться в истинности данного выска­зывания, достаточно показать, что при подстановке каждого числа из множе­ства {0, 1, 4} в выражение (4-х):(2х + 1) получается целое число. Пусть х = 0, тогда (4-0):(2-0 + 1) = 4; если х = 1,то (4-1):(2-1 + 1) = 1; если х = 4,то (4-4):(2-4 + 1) = 0.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

Докажем методом математической индукции.

– Пусть x = 1, тогда x*(x+1) = 1*2 = 2 – кратно 2.

– Пусть x = n, и пусть выражение n*(n+1) тоже кратно 2.

– Пусть x = n+1. Покажем истинность утверждения. (n+1)(n+2) = n²+3n+2 = (n²+n)+(2n+2) = (n*(n+1))+(2(n+1)). n*(n+1) кратно 2 согласно вышеописанному. 2(n+1) – кратно 2, и это очевидно. сумма кратных чисел также кратно. Что и требовалось доказать.

в) Всякое натуральное число делится на 5. – ЛОЖНОЕ.

Убедиться в этом можно, назвав натуральное число, которое не де­лится на 5, например число 12.

Утверждение 1: Истинность высказывания с квантором общности устанав­ливается путем доказательства. Показать ложность таких высказы­ваний можно, приведя контрпример.

Задача 2. Установить, истинны или ложны следующие высказы­вания:

а) Среди треугольников есть прямоугольные. – ИСТИННО.

Чтобы убедиться в истинности такого высказывания, достаточно привести пример. В данном случае прямоугольный треугольник можно начертить.

б) Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторон­ними. – ЛОЖНО.

Если треугольник прямоугольный, то в нем один угол равен 90°, а в равностороннем все углы 60°. Следовательно, ни один прямоугольный треугольник не может быть равносторонним. Поэтому данное высказывание ложное.

Утверждение 2: Истинность высказывания с квантором существования уста­навливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в лож­ности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

Домашнее задание:

1. Выделите квантор и высказывательную форму в высказываниях: «всякий прямоугольник является четырехуголь­ником», «хотя бы одно из чисел первого десятка состав­ное» Переформули­руйте высказывания, заменив квантор его синонимом.

3. Прочтите следующие записи, заменив символические обозначе­ния кванторов общности и существования их словесными выражениями: а)xR,x²-1=(x-1)(x+1); б)yZ, 5-y=5; в)xZ, y+3>0; г)xQ, x+3<0.

4. Запишите следующие предложения, используя символические обозначения кванторов:

а) Существует такое натуральное число х, что х + 5 = 9; б)Каково бы ни было число х, х + 0 = х;

в)Уравнение ах² + Ьх + с = 0 имеет хотя бы один корень.

5. Запишите, используя символы, следующие высказывания и оп­ределите их значения истинности: а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль; б) Произведение любого числа и единицы равно этому числу; в) При делении нуля на любое другое число получается нуль; г) Квадрат любого числа неотрицателен.

6. Установите, какие из высказываний истинны, а какие ложны. а)При делении некоторых натуральных чисел на 5, в остатке получается 7; б)существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти; в) во всяком четырехугольнике диагонали равны

7. Докажите или опровергните высказывания: а) существуют уравнения, множество решений которых пусто; б) Сумма двух четных чисел есть число четное; в) Всякое целое число является натуральным; г) Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения х=2.

8. Приведите по три утверждения высказываний с квантором общности и по три утверждения с квантором существования из курса алгебры и геометрии. Докажите или опровергните эти утверждения.