Государственное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Московской области
Профессиональный колледж «Московия»
Практико-значимый проект
«Применение информационных технологий при решении стереометрических задач»
Выполнила
Ефимова Олеся Игоревна
Преподаватель математики
ГАОУ СПО МО «ВПК»
г. Видное
Оглавление
Введение ………………………………………………………………………...…с.3-4
Примеры стереометрических задач в разных программах……….………….….с.5-7
Реализация проекта …………………………………………………………….…с.8
Обзор программных средств, разработанных для занятий по математике ………….с. 9
Практическое применение математического конструктора в обучении математике…..с. 10-15
Заключение………………………………………………………………………….с. 16
Литература…………………………………………………………………………..с.17
Введение
Ле Корбюзье говорил: «Человеку, сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны… все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка…
Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошелемлены, видя, что окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Всё вокруг – геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчётливо, с такой тщательностью и так уверенно».
Стремительное развитие информационных технологий в математике является одним из факторов, определяющий развитие мирового сообщества XXI века. Цивилизация неуклонно движется к построению информационного общества, где решающую роль играют информация и научные знания. Информационные технологии подразделяются:
1. Универсальные - текстовый редактор, табличный процессор, компьютерные презентации.
2. Специальные - электронные учебники, энциклопедии, тренажеры.
3. Интернет - виртуальные лаборатории, дистанционное обучение, виртуальные экскурсии
4. Подбор иллюстративного материала к занятию и для оформления стендов, аудитории (сканирование, Интернет; принтер, презентация).
5. Подбор дополнительного познавательного материала к занятию, обмен опытом, знакомство с периодикой, наработками других педагогов России и зарубежья.
6. Оформление классной документации, отчетов. Компьютер позволит не писать отчеты и анализы каждый раз, а достаточно набрать один раз схему и в дальнейшем только вносить необходимые изменения.
7. Создание презентаций в программе Рower Рoint для повышения эффективности урока.
Процесс организации обучения студентов с использованием информационных технологий позволяет:
• сделать этот процесс интересным, с одной стороны, за счет новизны и необычности такой формы работы для учащихся, а с другой, сделать его увлекательным и ярким, разнообразным по форме за счет использования мультимедийных возможностей современных компьютеров;
• эффективно решать проблему наглядности обучения, расширить возможности визуализации учебного материала, делая его более понятным и доступным для учащихся свободно осуществлять поиск необходимого студентам учебного материала в удаленных базах данных благодаря использованию средств телекоммуникаций, что в дальнейшем будет способствовать формированию у учащихся потребности в поисковых действиях;
• индивидуализировать процесс обучения за счет наличия разноуровневых заданий, за счет погружения и усвоения учебного материала в индивидуальном темпе, самостоятельно, используя удобные способы восприятия информации, что вызывает у учащихся положительные эмоции и формирует положительные учебные мотивы;
• раскрепостить студентов при ответе на вопросы, т.к. компьютер позволяет фиксировать результаты (в т.ч. без выставления оценки), корректно реагирует на ошибки;
• самостоятельно анализировать и исправлять допущенные ошибки, корректировать свою деятельность благодаря наличию обратной связи, в результате чего совершенствуются навыки самоконтроля;
• осуществлять самостоятельную учебно-исследовательскую деятельность (моделирование, метод проектов, разработка презентаций, публикаций и т.д.), развивая тем самым у студентов творческую активность.
Итак, использование информационных технологий повышает мотивацию обучения математике. Тем самым педагогические воздействия становятся менее авторитарными, более демократичными. Компьютерные технологии отличаются направленностью на личность студента. В их основе отсутствует принуждение, оно заменяется уважением к самостоятельности учащегося. Использование информационных технологий позволяет достичь свободы творчества участников педагогического процесса: студента и учителя. Преподаватель учит, воспитывает, но и стимулирует студента к развитию его задатков, развивает потребность к самостоятельной работе.
Урок – это основная форма организации обучения. Поэтому он должен быть продуман во всех деталях, чтобы они следовали одна за другой, чтобы учащиеся понимали, почему, что и зачем они делают на занятии.
При проведении занятий по математике использую мультимедийные презентации.. Использование информационных технологий дает возможность для:
• повышения мотивации обучения;
• индивидуальной активности;
• направленность на личность студента;
• формирование информационной компетенции;
• свобода творчества;
• интерактивность обучения.
Целью проекта является использование информационных технологий при разработке решений стереометрических задач в рамках учебного процесса в среднем профессиональном образовании на примере ГБОУ СПО МО «Видновский профессиональный колледж» с целью повышения качества знаний, умений и навыков студентов. Особенностью проекта является сочетание дисциплин «Математика» и «Информатика».
Задачи проекта:
Повысить уровень познавательных способностей студентов через использование информационных технологий.
Повысить интерес и мотивацию студентов к изучению математики.
Развивать навыки самостоятельной деятельности студентов.
Разработать методику и структуру интерактивного курса для подготовки учащихся к ЕГЭ.
Экспериментально проверить результативность разработанной методики.
Повысить эстетическую привлекательность занятия.
Ресурсы - кабинет математики и информатики, Интернет, мультимедийный проектор, учитель – предметник.
Глава 1. Примеры стереометрических задач в разных программах
Задача №1. Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной 8 см, и острым углом 60 . Двугранные углы при основании пирамиды содержат по  . Вычислить объем и площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:
Объем пирамиды равен V=  . Площадь основания ромба ABCD равна  , где а – сторона ромба. Для нахождения высоты H проведем в основании пирамиды через точку О FE . Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная SE, т.е. линейный угол двугранного угла при основании и  , а прямоугольный треугольник SOE равнобедренный: SO = OE.Так как OE равна половине высоты ромба EF, то  . Итак, объем пирамиды равен  . Так как все двугранные углы при основании равны (по 45 , то
 . При 
Ответ:
Задача №2:
В правильную пирамиду вписан куб так, что его четыре вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а остальные четыре – в плоскости ее основания. Определить ребро куба, если высота пирамиды равна 16 см, а боковое ребро 20 см.
Решение:
Обозначим сторону куба  . Из подобия треугольников  и  , очевидно в силу того, что  , следует:  .
Здесь  ,  O=H, 
(половине диагонали квадрата  ,  , где  боковое ребро,  высота пирамиды. Следовательно,  . Решая уравнение, найдем  и при  20 см,  16 см вычислим 
Ответ:  см.
Задача №3. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной к основанию и делящей две стороны основания пополам. Определить объем отсеченной пирамиды, если даны сторона  основания первоначальной пирамиды и двугранный угол  при основании.
Решение. Для построения искомого сечения через середины сторон АВ и АС проведем среднюю линию MN. Из точки D, где MN пересекает высоту основания AE , проведем DK параллельно высоте OS, т.е. DK перпендикулярна плоскости основания. Искомое сечение есть MKN, так как плоскость MKN проходит через перпендикуляр KD к плоскости основания ABC и перпендикулярна последней на основании признака перпендикулярности плоскостей. Двугранный угол при основании измеряется линейным углом AES (OE , т.е.  .
Площадь основания отсеченной пирамиды – равносторонний треугольник AMN равна  . Для нахождения высоты KD воспользуемся отношением, вытекающим из подобия треугольников AKD и ASO - KO = AD  Так как AD =  AE, AO =  (центр равностороннего треугольника – точка пересечения медиан делит их в отношении 2 то KD  , т.е. KD =  Отрезок OS находим из треугольника OSE, в котором OE =  , а  , т.е. OS =  . Итак, объем пирамиды равен 
Глава 2. Реализация проекта
Принцип наглядности.
Позволяет использовать на любом занятии иллюстративный материал, аудиоматериал, ресурсы редких иллюстраций. Наглядность материала повышает его усвоение студентами, т.к. задействованы все каналы восприятия студентов - зрительный, механический, слуховой и эмоциональный.
Принцип природосообразности.
Использование материалов Интернет вызывает интерес студентов. Использование мультимедийных презентаций и математического конструктора целесообразно на любом этапе изучения темы и на любом этапе занятия. Подача учебного материала в виде мультимедийной презентации или математического конструктора сокращает время обучения, высвобождает ресурсы здоровья студентов.
Принцип прочности.
Использование уроков-презентаций и программы математический конструктор технически позволяет неоднократно возвращаться к изученному или изучаемому материалу. Использование обучающих программ позволяет на одном уроке вызывать материал предыдущих уроков.
Принцип научности: преобразование этого принципа при мультимедиа обучении получает более фундаментальную основу.
Принцип доступности: данная технология интегрируется с технологией дифференцированного обучения и позволяет одновременно на занятии выводить на монитор или экран разноуровневые задания, контрольно-тестовые задания, задания повышенной сложности.
Принцип системности: использование уроков - презентаций и математического конструктора позволяет разработать систему занятий по одной теме, а также выводя на экран элементы предыдущих занятия, объяснять новое.
Принцип последовательности: как и на традиционных занятиях, учебный материал запоминается в большем объеме и более прочно.
Практикую проведение таких занятий как при изложении нового материала, так и при повторении пройденного.
Среди источников информации следует особо отметить сеть Интернет, рекомендую студентам сайты, где собран теоретический материал, а также сайты, где ученики могут самостоятельно проверить уровень своей подготовки, тесты в режиме он-лайн.
Глава 3. Обзор программных средств, разработанных для занятий по математике
Потребность сопроводить задачу иллюстрацией – одна из наиболее простых, но и наиболее часто возникающих на практике. В чем преимущество использования «Математического конструктора» для рисования таких иллюстраций?
Чертеж в до-компьютерном понимании – это рисунок на бумаге или классной доске. Если делать его быстро – «от руки и на глаз», то страдает аккуратность, которая зачастую бывает существенна, точное же построение с помощью чертежных инструментов требует больших затрат времени. В любом случае такие иллюстрация трудно править, не переделывая заново.
Рисование в растровых компьютерных графических редакторах (простейший из них – Paint). Точности достичь проще, но что-либо исправить в нем все равно трудно – придется стирать и рисовать заново.
Рисование в векторных графических редакторах (такой редактор встроен в MS Word и MS PowerPoint; есть и многочисленные специализированные пакеты – CorelDraw, Adobe Illustrator и др.). Чертежи получаются качественные, все объекты легко редактируются. Однако векторные графические редакторы не обладают важнейшим свойством программ динамической геометрии – сохранением зависимостей между объектами.
Чертеж, построенный в «Математическом конструкторе», принципиально отличается от чертежа, нарисованного в графическом редакторе, который при изменении одного элемента автоматически изменяет и элементы, с ним связанные – перпендикуляр к прямой останется перпендикуляром, биссектриса угла – биссектрисой, вписанная окружность – вписанной и т.д. Это свойство динамических чертежей открывает безграничный простор для разнообразных применений.
Важно отметить, что любой чертеж, построенный в «Математическом конструкторе», можно экспортировать в качестве изображения, т.е. сохранить как отдельный файл-картинку, или скопировать чертеж в буфер обмена и вставить его в другое приложение (MS Word, MS PowerPoint, Paint, CorelDraw, Adobe Illustrator и др.).
Практическое применение математического конструктора в обучении математике
Задача №1.
Через середину ребра AA1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 проведена плоскость, параллельная скрещивающимся диагоналям боковых граней AB1 и A1C. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC основания призмы, если AB = 4, AA1 = 2
Достроим призму до параллелепипеда ABDCA1B1D1C1.
Диагональ B1D грани BB1D1D параллельна диагонали A1C, и поэтому плоскость AB1D параллельна искомой плоскости, проходящей через середину точку М – середину ребра AA1. Таким образом, строить саму плоскость сечения не нужно – построенная плоскость будет образовывать с плоскостью основания призмы такой же угол, что и искомая плоскость.
Так как треугольник ABC равносторонний, то основание параллелепипеда – ромб. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому BH AD, где H – точка пересечения диагоналей.
Ребро BB1 перпендикулярно плоскости основания, поэтому оно перпендикулярно любой прямой этой плоскости, в частности, прямой BC. Отсюда следует, что B1H и угол B1HB – линейный угол двугранного угла между плоскостями.
Следовательно, 
Ответ: 
Задача №2. Сторона основания правильной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна  . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Обозначим H – серединой ребра BC. Так как треугольник ABC равносторонний, а треугольник A1BC - равносторонний, отрезки AH и A1H перпендикулярны BC. Следовательно,  A1HA – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1
Из треугольника A1AB найдем: AA1 = 1
Из треугольника AHB = 
Из треугольника HAA1 найдем: tgA1HA =  = 
Искомый угол равен 30
Ответ: tgA1HA = 30
Задача №3. Основание равнобедренного треугольника равно 24, а его площадь равна 108. Найдите расстояние между центром описанной около треугольника окружности и центром окружности, вписанной в этот треугольник.
Пусть в треугольнике ABC AB = BC, AC = 24. Поскольку площадь S треугольника равна 108, то высота BH =  . В прямоугольном треугольнике ABH AH = 12, BH = 9, следовательно, AB =  и  .
По следствию из теоремы синусов  , где R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Получаем: R = 12,5. Радиус r окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r =  , где p – полупериметр этого треугольника. Поскольку  и p = 27, ТО r = 4. Расстояние между центрами рассматриваемых окружностей ОО1 = r = 4 и BH = 9.
Получаем OO1 = 12,5 – 9 + 4 = 7,5
Ответ: OO1 = 7,5
Заключение
Приведенная модель не только дает хороший чертеж, но и позволяет экспериментально убедиться в справедливости теоремы, варьируя треугольник, а также показывает построение по шагам и может быть использована на уроке.
Разумеется, при изучении геометрии не всегда нужно выполнять чертеж тщательно, доказательства можно проводить и при помощи эскизов, выполненных палочкой на песке. И все же удобный инструмент для создания аккуратных геометрических чертежей, которые порой способны подсказать студенту путь решения задачи, помешать не может.
Может использоваться как дома, так и в колледже при различных формах проведения занятий и при различной компьютерной оснащенности аудитории. Позволяет быстрее и эффективнее освоить программу по математике, повышает запоминаемость материала. Обеспечивает возможность изучения математики на основе деятельностного подхода за счет внедрения элементов эксперимента и исследования в учебный процесс. Повышает степень эмоциональной вовлеченности студентов в занятия математикой, обеспечивает возможность постановки творческих задач и организации проектной работы. Демонстрирует, как современные технологии эффективно применяются для моделирования и визуализации математических понятий. Интерактивные динамические системы признаны во всем мире наиболее эффективным средством обучения математике с применением информационно-компьютерных технологий. Чертеж, созданный с помощью динамической системы, – это модель, сохраняющая не только результат построения, но и его исходные данные, алгоритмы и зависимости между объектами. Все эти данные легко доступны для редактирования (можно перемещать мышью точки, варьировать размеры, вводить с клавиатуры новые значения числовых данных и т.п.) – причем изменения сразу, в динамике, отражаются на экране компьютера.
Литература
Т.А. Корешкова, Ю.А. Глазков, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелева «Математика» типовые тестовые задания, Москва 2009 г.
Федеральный институт педагогических измерений «Единый государственный экзамен» универсальные материалы для подготовки учащихся, Интелект - центр 2010 г.
Н.Ш. Кремер, о.г. Константинова, А.С. Протасова и др. «Математика для поступающих в экономические вузы» коллектив авторов 1996 г.
Интернет – ресурсы.
|
