 «Развитие у учащихся умений обобщать и систематизировать средствами алгебры (иррациональные уравнения)»
г. Хабаровск,
МБОУ «Математический лицей»,
учитель математики
Ирина Александровна Зотова
Систему знаний учащихся общеобразовательной школы по школьным дисциплинам, в том числе по математике, в настоящее время нельзя считать вполне удовлетворительной. Несмотря на значительное время, отведенное учебным планом на изучение основных школьных дисциплин, знания учащихся все же остаются формальными и быстро забываются.
Становление личности и развитие творческого мышления - основная цель современного образования, она же является приоритетной и при обучении математике. Активная позиция человека в процессе овладения знаниями предполагает использование методов научного познания. Их удачное приложение к процессу обучения в школе находится в центре внимания многих исследователей.
Чтобы понять предмет, нужно быть знакомым с фактами, которые его характеризуют. Переход от фактов существования предметов к раскрытию их сущности, к обобщающим выводам проходит при помощи ряда умственных и практических действий, составными элементами которых являются умственные операции. К ним относятся: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, конкретизация, классификация, систематизация.
Обобщение-это мысленное объединение предметов и явлений по их общим существенным признакам.
Систематизация - мыслительная операция, которая выражается в расположении отдельных предметов, фактов, явлений, мыслей в определенном порядке – пространственном, временном, логическом.
Систематизация учебного материала может выражаться в приведении частей целого в какой-то порядок, в определенную систему, в которой отдельные части, располагаясь в известных отношениях друг к другу, составляют единое целое.
По результатам ЕГЭ, 60% учащихся 11 класса не решают иррациональные уравнения, включенные в часть “C”, чтобы помочь учащимся преодолеть неуверенность в подходах к решению иррациональных уравнений, в статье рассматриваются различные способы решения уравнений. Все вышесказанное определяет актуальность темы.
Проблема состоит в разрешении противоречия между многофункциональными возможностями решения иррациональных уравнений и недостаточной изученностью этих возможностей в процессе обучения учащихся.
Знать школьный курс математики значит владеть материалом, изучаемым в средней школе, быть в состоянии актуализировать любой из них в любое время.
Чтобы достичь этого, нужно систематически обращаться к каждому из них. Иначе на итоговых уроках по систематизации и обобщению знаний мы будем возлагать на умы учащихся неподъемную тяжесть, толкать их, как заметил, У. Джеймс, на зубрение, влекущее за собой бесследное исчезновение вызубренного в скором времени.
Рассмотрим ряд ситуаций, дающих возможность осуществлять «наложение» направлений друг на друга, их взаимодействие, обеспечивать перманентную востребованность каждого из них.
Решение устных задач, в которые входят задачи многих направлений.
Рассмотрение более сложных, комплексных задач, подобранных таким образом, что решение каждой из них требует обращения ко многим направлениям, а все задачи из каждого (малочисленного) набора в совокупности отражают все направления.
Проведение исследований. Составление наборов таких задач, при решении которых явным образом используются:
основные мыслительные операции – анализ и синтез, индукция и дедукция, сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация;
общие методы решения, их классификация – мощные средства скрепления основных направлений курса.
Приложения математических знаний в других областях (физика, черчение, биология, география, астрономия, социология).
Испытание ученика переходом «от школярства» к исследованию может оказаться судьбоносным, а потому необходимо. Известно, что если материал усваивается слишком легко, то интерес к нему у многих учеников постепенно исчезает.
Систематизирующее воздействие перечисленных ситуаций будет эффективнее, если придерживаться следующих положений:
перед каждой темой проводить вводные уроки, открывающие перспективу ее изучения, а после изучения темы – уроки систематизации, обобщения, углубления математических знаний;
постоянно включать в контрольные работы задачу по выбору из ранее изученных материалов, практиковать систематически работы с задачами из многих направлений;
искать и использовать разнообразные основания для обсуждения и объединения разнородных направлений в одну укрупненную дидактическую единицу;
использовать принцип отсроченной строгости. Он состоит в следующем: с помощью правдоподобных рассуждений выдвигаем гипотезу. Если ее доказательства сложные и требуют много времени, откладываем ее на будущее. Полагаем, что гипотеза истина. Исследуем, какие следствия из этого вытекают, какие содержательные задачи порождаются. Наблюдаем, не приходим ли к какому – либо противоречию, и отмечаем, что принятие гипотезы в качестве истинного утверждения резко расширяет круг решаемых задач.
Содержательно-методическая линия уравнений является в школьном курсе математики одной из ведущих. В каждом классе учащиеся решают уравнения, пополняют запас их видов, так и методов их решения. Впервые с определением квадратного корня учащиеся знакомятся в 8 классе, простейшие иррациональные уравнения решают в 9 классе ( возведение обеих частей в квадрат ; введение новой переменной). Если учащиеся изучают курс алгебры и начала анализа по учебникам А.Н.Колмогорова, или С.М.Никольского, или Н.Я.Виленкина, т.е. математические классы, то основательное изучение темы «Иррациональные уравнения» рассматривается в 11 классе.
Изучение темы можно начать с вводной лекции, напомнить теоретический материал, необходимый для решения уравнений :
Определение иррационального уравнения.
Область допустимых значений уравнения.
Корень уравнения.
Что значит решить уравнение.
Следствие одного уравнения из другого.
Равносильность уравнений.
Преобразования, которые можно выполнять над уравнениями.
Тождественные преобразования, на первый взгляд совершенно безобидные, в действительности приводят к неравносильным уравнениям, так как они изменяют ОДЗ, так, например, заменив  на (х+4) в решении иррационального уравнения, сразу же расширяем ОДЗ, в результате появляются посторонние корни. Поэтому замена одной формулы на другую приводит к расширению или сужению ОДЗ.
Если в процессе преобразований уравнения посторонние корни могли появиться только за счет расширения ОДЗ, то корнями исходного уравнения, будут те и только те из них, которые входят в ОДЗ.
Вместо непосредственной подстановки полученных значений переменных в данное уравнение, можно применять проверку на вхождение в ОДЗ, но только в том случае, когда посторонние корни появились за счет расширения ОДЗ.
Посторонние корни могут появиться в процессе решения иррациональных уравнений при возведении обеих частей в квадрат, в этом случае второе уравнение является следствием первого, но не наоборот.
Если обе части уравнения неотрицательны на некотором множестве значений аргумента, то при возведении в квадрат получим уравнение, равносильное исходному на этом множестве.
Рассмотрим некоторые методы решения иррациональных уравнений.
Решение уравнений методом введения двух переменных.
Решить уравнение:
 + = 5
1 способ: пусть =а; а  0;
=в; в 0;
   , =3, х=2.
Ответ: х=2
2 способ: =5-
   │х=2
Ответ: х=2
3 способ: т.к. = возрастает на ОДЗ: х≥2/3,  = возрастает на
множестве х + возрастает на ОДЗ,
y=5 - постоянная функция, значит уравнение имеет один корень х=2,
т.к.  + =5 5=5
Ответ: х=2
Решение уравнения первым способом приводит к несложной системе уравнений, которую просто решить с помощью метода подстановки, второй способ занимает много времени, т.к. связан с двукратным возведением в квадрат и решением квадратного уравнения с многозначными коэффициентами. Наиболее рационален третий способ – использование монотонности функций.
Решите уравнение:
 - =1
Решение:
Пусть   ,  
   х= при а≥1, если а , то решений нет
Ответ: при а≥1 х=,
при а решений нет.
Обычно уравнения такого вида решают двукратным возведением в квадрат, при этом возникает необходимость отсеять приобретенные в результате возведения в квадрат посторонние корни, что при наличии в уравнении параметра оказывается довольно сложной задачей, поэтому рациональнее перейти к системе.
Решите уравнение:
 -  -1=0
Решение: пусть   
 
и =1
  , значит х=(1+ )/2
Ответ: х=(1+)/2
Тригонометрическая замена в решении иррациональных уравнений.
1.Если в уравнение входит , то полезно сделать замену: х=а , где 
или х=а  , где   .
2.Если в уравнение входит  , то полезно сделать замену: х=а  , где
или х=а ctg , где t  (0; ).
3. Если в уравнение входит  , то полезно сделать замену: х=а/ ,  ,
 или х=а/, где , 
Использование всей теории в решении иррациональных уравнений не всегда целесообразно, в процессе решения необходимо стремиться к самому рациональному, простому решению.
Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что разработана система иррациональных уравнений для учащихся 11 классов, направленная на формирование у старшеклассников умений решать иррациональные уравнения.
Внедрение результатов исследования в практику обучения учащихся 11 классов осуществлялось через: самостоятельные работы, уроки-семинары, «математические бои», графические диктанты, тесты, контрольные работы, зачеты.
Итоги контрольных работ и ЕГЭ подтверждают правильность выбранной методики. |
