Исследовательская работа Метод неопределенных коэффициентов

Скачать 166.86 Kb.

Название	Исследовательская работа Метод неопределенных коэффициентов
Дата публикации	18.07.2014
Размер	166.86 Kb.
Тип	Исследовательская работа

100-bal.ru > Математика > Исследовательская работа

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №53 г. Брянска»

Научно-практическая конференция школьников

«Первые шаги в науку»

Исследовательская работа
Метод неопределенных коэффициентов

Математика

Выполнила:

ученица 11 класса

Лукашова Анастасия Геннадьевна

Руководитель:

учитель математики

Драп Людмила Стальевна
Брянск 2013

Цель работы:

Научится решать уравнения методом неопределенных коэффициентов.
Задачи работы:

-изучить теоретический материал по данной теме;

-узнать алгоритм метода неопределённых коэффициентов;

-разобрать примеры, иллюстрирующие использование этого метода;

-применить изученный материал для уравнений, не решенных этим методом.
Введение

В школе мы узнаём что-то новое, проводим исследования и эксперименты, так как полученные знания пригодятся нам в будущем. В начальной школе на уроках математики мы выясняли, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрим как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В 8 классе мы познакомились с решением квадратных уравнений с одной переменной.

В этом учебном году при подготовке к ЕГЭ я столкнулась с задание, в котором нужнол было найти значения a и b при, которых равенство

выполняется при всех допустимых значениях переменной x. Приводя в правой части равенство дроби к общему знаменателю и учитывая, что знаменатели в левой и правой частях равны, получим: 5x+31=ax+2a+bx-5b. Так как многочлены в левой и правой частях равны, то получаем систему

. Решив эту систему, я получила a=8, b=-3. Значит равенство верно при a=8, b=-3. Метод решения, который был применен при выполнении этого задания, называется методом неопределенных коэффициентов. Из дополнительного материала известно, что метод неопределенных коэффициентов применяется для представления дроби в виде суммы дробей. Появилось желание узнать больше про данный метод и при решении каких заданий его можно применять. Так была определенна тема моей работы «Метод неопределенных коэффициентов».

Метод неопределенных коэффициентов.

Существуют различные способы и методы решения задач и наиболее удобным, простым и понятным всем является метод неопределённых коэффициентов. Метод неопределённых коэффициентов – это метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен.

Этот метод впервые применил французский философ Рене Декарт (1596-1650) в своей книге «Рассуждение о методе»(1637). Для Декарта самым ясным и точным языком для выражения научных истин был язык математики. Он стремился и в философии, и в науке найти математические законы, свести каждый вопрос или каждую задачу к математической. Декарт хотел создать такой универсальный математический метод, который позволил бы всякому, овладевшему им, решать любую задачу. Таким и стал, разработанный им метод неопределённых коэффициентов.

Теоретической основой метода неопределённых коэффициентов являются следующие теоремы:

Теорема 1 (о многочлене тождественно равном нулю). Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена A(x)=a₀+a₁x+a₂x²+….+a_nxⁿ, заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты a₀, a₁, a₂….an равны 0.

Теорема 2. Два многочлен равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты. A(x)=a₀+a₁x+a₂x²+….+a_nxⁿ

B(x)=b₀+b₁x+b₂x²+….+b_nxⁿ Для того чтобы A(x)=B(x) необходимо и достаточно чтобы a₀=b₀, a₁=b₁, a₂=b₂, ….a_n = b_n.

Итак, очевидно, что равные многочлены принимают при всех значениях x одинаковые значения. И наоборот, если значения двух многочленов равны при всех значениях x, то многочлены равны, то есть их коэффициенты при одинаковых степенях x совпадают.

Значит, идея применения метода неопределённых коэффициентов к решению задач состоит в следующем: пусть нам известно, что в результате некоторых преобразований получается выражение определённого вида и неизвестны лишь коэффициенты в этом выражении. Тогда эти коэффициенты обозначают буквами и рассматривают как неизвестные. Затем для определения этих неизвестных составляется система уравнений.
Примеры, иллюстрирующие использование метода неопределенных коэффициентов.

Представление дроби в виде суммы дробей.

Алгоритм:

Разложить знаменатель на множители.
Раскладываемую дробь представить в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
Привести полученную сумму дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю.
сгруппировать в числителе слагаемые с одинаковыми степенями.
Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.
Решить систему уравнений и найти неопределенные коэффициенты.
Записать ответ.

Рассмотрим на примере:

Представим дробь

в виде суммы дробей. Отношение многочленов раскладывают на простейшие дроби, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе.

Решение:

Во-первых, раскладываем знаменатель на множители x³-x=x(x²-1)=x(x-1)(x+1). Во-вторых, раскладываемую дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами

, a, b и c – коэффициенты, которые необходимо найти. В-третьих, приводим полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях x.

.

Пришли к равенству:

При x≠0, x≠±1 это равенство сводится к равенству двух многочленов. (a+b+c)x²+(b-c)x-a=2x²-5x-1. Два многочлена являются равными тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях одинаковые. В-четвертых, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x. Таким образом, получаем систему линейных уравнений с неопределенными коэффициентами в качестве неизвестных.

В-пятых, решаем полученную систему уравнений, находим неопределенные коэффициенты. Так как, а=1, то получаем

итак, a=1, b=-2, c=3. Следовательно,

. В данной дроби степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе. Как быть, если степень многочлена числителя больше степени многочлена в знаменателе. В этом случае сначала проводят деление многочлена числителя на многочлен знаменателя, а уже затем проводят представление правильной дробно-рациональной дроби.

Деление многочлена на многочлен.

Алгоритм:

Записать формулу деления многочленов с остатком.
Подставить в формулу деления многочленов с остатком частное и раскрыть скобки.
Приравнять многочлен-делимое, к формуле деления многочленов с остатком.
По теореме о равных многочленах составить систему.
Решить систему.
Записать ответ.

Рассмотрим на примере:

Разделить многочлен A(x)=x³-2x²+x-1 на многочлен B(x)=x-2.

Решение:

Запишем формулу деления многочленов с остатком x³-2x²+x-1=(x-2)Q(x)+r. В этой формуле Q(x) – это многочлен второй степени, потому что при умножении на х дает х³. Значит, Q(x) = ax²+bx+c, где a, b, c – неопределенные коэффициенты.

Что нам известно об r? – это число, так как его степень не может превышать степень делителя. Значит,

x³-2x²+x-1= (x-2)(ax²+bx+c)+r=ax³+bx²+cx-ax²-2bx-2c+r=ax³+(b-2a)x²+(c-2b)x-----2c+r

По теореме о равных многочленах получаем систему уравнений

Ответ: x³-2x²+x-1=(x-2)(x²+1)+1.

Представление произведения в виде многочлена стандартного вида.

Алгоритм:

Найти к какой степени многочлена принадлежит произведение.
Найти свободный член.
Приравнять исходное произведение к многочлену.
Найти значения переменной.
Получить систему уравнений и решить ее.
Записать ответ.

Рассмотрим на примере:

Не выполняя действий, представить произведение (x-1)(x+3)(x+5) в виде многочлена стандартного вида.

Решение:

Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене (x³) равен 1, а свободный член равен (-15). Значит,

(x-1)(x+3)(x+5)=x³+ax²+bx-15, где a и b неизвестные коэффициенты.

Так как многочлены тождественно равны, то они равны при всех значениях переменной.

Пусть х=1 и х=-3, тогда получаем:

Значит (x-1)(x+3)(x+5)=x³+7x²+7x-15.

Ответ: x³+7x²+7x-15

Разложение многочлена на множители.

Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (так же многочленов) определяется путем перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменных.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.

Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.

Любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Алгоритм:

Записать в каком виде будем искать разложение.
Раскрыть скобки и сгруппировать по одинаковым степеням слагаемые в разложении.
Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях.
Найти из каких чисел нужно искать корни.
Перебор корней.
Записать ответ.

Рассмотрим на примере:

Дан многочлен

Разложить его на множители, если известно, что все его корни – целые числа.

Решение: Будем искать разложение в виде:

полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует искать среди чисел

Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -2, -5, 1 и 3. Следовательно х⁴+ 3х³ - 15х² - 19х + 30 = (х - 1)(х - 3)(х + 2)(х + 5)

Ответ: (х - 1)(х - 3)(х + 2)(х + 5)

Заключение.

Рассмотренные в работе примеры могут быть решены и другими способами. Но цель работы заключалась в том, чтобы решить их методом неопределённых коэффициентов, показать универсальность этого метода, его оригинальность и рациональность, не отрицая того, что в некоторых случаях он приводит к громоздким, но не сложным преобразованиям.

Теперь я знаю, в каких случаях можно применять метод неопределённых коэффициентов. Я чаще смогу применять метод неопределённых коэффициентов для решения заданий.

Список используемой литературы.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений.―М.: Просвещение, 2009.

Глейзер Г.И.. История математики в школе.―М.: Просвещение, 1983

Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х.. Пособие по математике.―М.: Наука, 1972.

Халлиуллин А.А.. Можно решать проще // Математика в школе.― 2003. -№8

Ресурсы интернета.

Приложение.

Практическая деятельность.

Решение уравнений методом неопределенных коэффициентов.

Задание 1:

Выполнить деление многочлена х⁵ – 6х³ + 2х² -4 на многочлен х² – х + 1.

Ответ: Q(x) = x³ + x² - 6x - 5, R(x) = x + 1.

Задание 2:

Представить в виде многочлена стандартного вида произведение

(х - 1)(х + 3)(х + 5).

Ответ: х³ +7х² + 7х – 15.

Задание 3:

Выполнить деление многочлена х⁷ –1 на многочлен х³ + х + 1

Ответ: Q(x) = x⁴ - x² - x + 1, R(x) = 2x² – 2.

Задание 4:

Разложить на множители многочлен 3x ³ – x ² –3x +1

Ответ: (x –1)(3 x ²+ 2x –1)

Задание 5:

Решить уравнение:(x² + 4x – 2)² + 4(x² + 4x – 2) – 2 = х

Ответ: x₁=

; x₂=

; x₃=

; x₄=

.

Задание 6:

Разложить дробь

на простейшие.

Ответ:

Решения.

Задание 1:

Выполнить деление многочлена х⁵ – 6х³ + 2х² -4 на многочлен х² – х + 1.

Решение:

Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х⁵ – 6х³ + 2х²-4 = (х² – х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х² – х + 1). Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 5 – 2 = 3.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:

Q(x) = q₃x³ + q ₂x² + q ₁x + q₀,
R(x) = r ₁x + r₀.
Подставим Q(x) и R(x): х⁵ – 6х³ + 2х² -4 = (х² – х + 1)( q ₃x³ + q ₂x² + q ₁x + q₀) + r ₁x + r₀.

Раскроем скобки в правой части равенства:

х⁵ – 6х³ + 2х² -4 = q ₃x ⁵ + q ₂x⁴ + q ₁x³ + q ₀x² – q ₃x⁴ - q ₂x³ - q ₁x² –q ₀ x + q ₃x³ + q ₂x² + q ₁x + q ₀ + r ₁x + r₀ = q ₃x ⁵ + (q₂– q₃) x⁴ + (q₁ - q ₂ + q₃) x₃ + (q₀ - q ₁ + q₂) x² + (q₁ – q₀ +r₁) x + q₀ +r₀.

Для отыскания неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений:

q₀ +r₀. = - 4, решая которую, получаем q₃=1, q₂=1, q₁=-6, q₀=-5, r₁ = 1, r₀ = 1.

Ответ: Q(x) = x³ + x² - 6x - 5, R(x) = x + 1.

Задание 2:

Представить в виде многочлена стандартного вида произведение

(х - 1)(х + 3)(х + 5).

Решение: Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен (- 15), тогда запишем:

(х - 1)(х + 3)(х + 5) = х³ + ах² + вх - 15, где а и в - неизвестные коэффициенты.

Для вычисления их положим х = 1 и х = - 3, тогда получим:

откуда а =7, в = 7.

Ответ: х³ +7х² + 7х - 15.

Задание 3:

Выполнить деление многочлена х⁷ –1 на многочлен х³ + х + 1.

Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х⁷ –1 = (х³ + х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х³ + х + 1).

Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 7– 3 = 4.

Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид: Q(x) = q ₄x⁴ + q ₃x³ + q ₂x² + q ₁x + q₀,
R(x) = r ₂x² + r ₁x + r0.

Подставим Q(x) и R(x):

х⁷ –1 = (х³ + х + 1) (q ₄x⁴ + q ₃x³ + q ₂x² + q ₁x + q₀ ) + ( r ₂x² + r ₁x + r₀ ).

Раскроем скобки в правой части равенства:

х⁷ –1= q ₄x ⁷ + q ₃x⁶ + q ₂x⁵ + q ₁x⁴ + q ₀x ³ + q ₄x⁵ + q ₃x⁴ + q ₂x³ + q ₁x² + q ₀ x + q ₄x⁴ + q ₃x³ + q ₂x² +q ₁x + q ₀ + r ₂x² +r ₁x + r₀.
х⁷ –1= q ₄x ⁷ + q ₃x⁶+(q₂ + q₄) x⁵+(q₁+ q₃) x⁴+(q₀ + q ₂ + q₃) x³+(q₁ + q₂ +r₂) x² +(q₀ +r₁) x+( q₀ +r₀).

Получаем систему уравнений:

из которой получаем: q₄=1, q₃ = 0, q₂= -1, q₁ = -1, q₀ =1, r₂ = 2, r₁ =0 , r₀ = -2.

Ответ: Q(x) = x⁴ - x² - x + 1, R(x) = 2x² - 2.

Задание 4:

Разложить на множители многочлен 3 x3 – x2 – 3 x + 1.

Решение.

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены

x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство

3

x3 – x2 – 3 x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap) x2 + (c – bp) x – pc. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов:

a=3

b−ap=−1

c−bp=−3

−pc=1.

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1.

Итак, многочлен 3 x3 – x2 – 3 x + 1 разлагается на множители:

3 x3 – x2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x2 + 2 x – 1).

Ответ: ( x – 1)(3 x2 + 2 x – 1).

Задание 5:

Решить уравнение:(x² + 4x – 2)² + 4(x² + 4x – 2) – 2 = х.

Решение:

Данное уравнение преобразуется к виду

x⁴ + 8x³ + 16x² – x – 6 = 0.

Оно не имеет рациональных корней.

Левая часть уравнения является многочленом четвертой степени. Этот

многочлен раскладывается в произведение двух квадратных многочленов:

(х²+px+q)(х²+bx+c). Задача состоит в отыскании коэффициентов p, q, b, c.

Имеем:

x⁴ + 8x³ + 16x² – x – 6 =(х²+px+q)(х²+bx+c)

М

ногочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны. Приравнивая их коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений:

p
(1)
+b=8 (1)

q+c+pb=16 (2)

pc+qb=-1 (3)

qc=-6 (4)

Попробуем найти некоторое целочисленное решение этой системы. Из последнего уравнения системы следует, что для q (как и для c) возможны следующие целые значения:

Начинаем перебор корней:

Пусть q=1, c= - 6. В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

p

(2)
b=21

-6p+b=-1

Для b получаем уравнение: b²+b-126=0

D=1- 4

(-126) = 505, т.к. корень из 505 не извлекается, то целых решений не будет.
П

(3)
усть q=-1, c=6. В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

pb=11

6p-b=-1
Для b получаем уравнение: b²+b-66=0

D=1-4

(-66)= 1+264=265, т.к. корень из 265 не извлекается, то целых решений не будет.
П

(4)
усть q=2, c=-3. В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

pb=17

-3p+2b=-1

Для b получаем уравнение: 2b²-b-51=0

D=1-4

(-51) = 409, т.к. корень из 409 не извлекается, то целых решений не будет.

П

(5)
усть q=-2, c=3. В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

pb=15

3p-2b=-1

Для b получаем уравнение: -2b²-b+45=0

D=1-4

(-2)

45=361, корень извлекается

b₁=

b₂=

Уравнение имеет целый корень b=-5, тогда из первого уравнения системы (1) получим p=13.

Итак имеем:

x⁴ + 8x³ + 16x² – x – 6 =(х²+13x-2)(х²-5x+3)

С

ледовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности квадратных уравнений:

х²+13x-2=0 (1)

х
(2)
²-5x+3=0 (2)

Решим первое уравнение:

х²+13x-2=0

D= 169-4

(-2)=169+8=177

x₁=

x₂=

Решим второе уравнение:

х²-5x+3=0

D=25-4

3=25-12=13

x₃=

x₄=

Таким образом, мы получили 4 корня уравнения.

Ответ: x₁=

; x₂=

; x₃=

; x₄=

.

Задание 6:

Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то производить деление нам не придется. Переходим к разложению знаменателя на множители. Выносим x за скобки, получаем:

.

Находим корни квадратного трехчлена

(например, по теореме Виета):

Следовательно квадратный трехчлен можно записать:

Знаменатель примет вид:

.

При данном знаменателе, исходная дробь раскладывается в сумму трех простейших дробей с неопределенными коэффициентами:

Полученную сумму приводим к общему знаменателю:

Таким образом, пришли к неравенству:

Для нахождения неопределенных коэффициентов, начинаем подставлять в полученное равенство «частные значения», при которых знаменталь обращается в ноль.

При x=0 имеем

При x=2 имеем:

При x=3 имеем:

Ответ:

Добавить документ в свой блог или на сайт

	Научно-исследовательская работа Научно-исследовательская работа Научно-исследовательская... Научно-исследовательская работа (нир) относится к циклу «Практики и научно-исследовательская работа» магистерской программы «Русский...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ...
	Исследовательская работа «Тайна имени». Выполнила ученица 6 класса... Научно-исследовательская деятельность в Мокрушинской школе Канского района Красноярского края		Исследовательская работа школьников. 2007 №3 «Ученику необходимо... Леонтович А. В. Исследовательская деятельность учащихся в современном образовательном пространстве: итоги научно-практической конференции....
	Фи ученика Исследовательские работы школьников были представлены следующими жанрами: исследовательский реферат – 2, исследовательская работа...		Список учащихся, рекомендованных на участие в городской научно практической... Тип работы (исследовательский реферат, исследовательская работа, проектно-исследовательская работа)
	Метод проектов 6 Учебно-исследовательская работа учащихся с использованием... Концептуальная основа экспериментальной технологии обучения астрономии в средней школе 1		Лабораторная работа Учитель орагнизует деятельность и помогает в осуществлении задания. Так же используется частично-поисковый метод, метод проблемного...
	Научно-исследовательская работа студентов, встроенная в учебный процесс... Инновационные технологии в обучении графическим дисциплинам. Метод проблемного обучения		Реферат «Я хочу рассказать о…Юрии Борисовиче Левитане». 8-в класс... Проектно – исследовательская работа «Вихрь чувств в романе А. С. Пушкина «Евгений Онегин»
	Поисково-исследовательская работа в школьном музее (методические рекомендации) Поисково-исследовательская работа – важнейшее направление деятельности школьного музея, которое способствует его развитию, обеспечивает...		1 Конференция проводится в форме (конкурсных) презентаций ученических... Школьном этапе традиционной краевой межкадетской научно-практической конференции «Дети в мире науки»
	Общая характеристика нир ученическая научно-исследовательская работа-... Ученическая научно-исследовательская работа это целенаправленная и результативная творческая работа ученика (группы учеников), выполненная...		Среднего профессионального образования Самостоятельная работа студентов – это планируемая учебная, учебно-исследовательская, научно-исследовательская работа студентов,...
	Жанры исследовательских работ школьников Описание оценки жанров "реферат", " Исследовательский реферат ", " Исследовательская работа ", " Проектно-исследовательская работа"....		Педагогический проект «Проектная и научно-исследовательская работа... Поэтому необходимо внедрять в учебный процесс новые современные технологии, например метод проектов, как один из методов, который...

Исследовательская работа Метод неопределенных коэффициентов

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений.―М.: Просвещение, 2009.

Глейзер Г.И.. История математики в школе.―М.: Просвещение, 1983

Похожие: