Статьи

Скачать 326.27 Kb.

Название	Статьи
страница	2/3
Дата публикации	18.07.2014
Размер	326.27 Kb.
Тип	Программа

100-bal.ru > Математика > Программа

1 2 3

ТЕМА 2. Целые рациональные уравнения.
Определение 1. Уравнение f(x) = g(x), где функции f(x) и g(x) заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением.

О.Д.З. этого уравнения – множество всех действительных чисел.Т.к. любое целое рациональное выражение с помощью тождественных преобразований можно представить в виде многочлена , то данное уравнение равносильно уравнению Р(х) = Q(X), где Р(х) и Q(x)– некоторые многочлены с одной переменной х.Перенося Q(x) в левую часть, получим равносильное уравнение Р(х) – Q(x) = 0.

Степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, называют степенью целого рационального уравнения .Решение целого рационального уравнения сводится к нахождению корней многочлена, стоящего в левой части уравнения. Многочлен степени n не может иметь более, чем n различных корней, поэтому всякое целое рациональное уравнение степени n имеет не более n корней.

Нам известны формулы нахождения корней линейных и квадратных уравнений. Процесс решения других уравнений заключается в сведении данного уравнения к вышеназванным уравнениям. Для этого применяют два основных метода : 1) разложение на множители, 2) введение новой переменной.

1). Метод разложения на множители.
Теорема 1. Уравнение f(x)  g(x) = 0 определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений f(x) = 0 и g(x) = 0.

Согласно теореме 1 решение уравнений тесно связано с разложением его левой части на множители. Этот метод позволяет свести решение целого уравнения степени n к решению целых уравнений меньшей степени.
ПРИМЕР 1. Решить уравнение 2х³ – 3х²– 8х + 12 =0

Решение: Разложим многочлен, стоящий в левой части, на множители методом группировки:

2х³– 3х²– 8х + 12 = х²( 2х-3)- 4(2х – 3) = ( 2х – 3)( х² -4).

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению (2х–3)(х²-4) =0, которое по теореме1 равносильно совокупности уравнений 2х – 3 =0 и х² – 4 =0. Решая их, получим : х₁= 1,5, х₂ = 2, х₃ = - 2.

Ответ : -2 ; 1,5 ; 2.
ТЕОРЕМА 2. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.

Теорема 3. Если х= - решение уравнения f(x) = 0,

то f(x)=( x-) f₁(x).

Данное уравнение равносильно совокупности х= и f₁(x)=0, где f₁(x)=0 – уравнение степени n-1, т.е. более низкой степени. ПРИМЕР 3. Решить уравнение х⁴ – 4х³ – 13х² + 28х +12 =0.

Решение. Делителями свободного члена являются

- 1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12.

По схеме Горнера проверим, нет ли среди этих чисел корней данного уравнения.

	1	-4	-13	28	12	Вывод
1	1	-3	-16	12	24≠0	Х=1 – не корень
2	1	-2	- 17	-6	0	Х=2 – корень
3	1	-1	-16	-20	≠0	Х=3 – не корень
-3	1	-5	-2	0		Х=-3 – корень

Данное уравнение представим в виде : (х-1)(х+3)( х² - 5х -2 ) =0.

Отсюда следует, что х₁=2, х₂=-3, х_з=, х₄= .

ОТВЕТ: х₁=2, х₂=-3, х_з=, х₄= .

2).Метод замены переменной.
Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x)=0 вводят новую переменную у= q(x) и выражают f(x) через у, получая новое уравнение, решив которое, возвращаются к исходной переменной.
ПРИМЕР 4. Решить уравнение ( 3х +2)⁴ – 13(3х+2)² +36 = 0.

Решение. Полагая у= (3х+2)² , получим уравнение

У² – 13у +36 =0

Находим его корни: у₁= 4, у₂= 9, и решаем уравнения

( 3х +2)² = 4 и ( 3х +2)² = 9

получаем ответ : х_{1 =}0, х₂ = -, х₃ = , х₄ = - .

ПРИМЕР 5. Решить уравнение ( х+1)(х+2)(х+3)(х+4) = 24

Решение. Раскроем скобки, группируя первый множитель с последним, а второй с третьим: ( х² + 5х + 4)( х² + 5х + 6) = 24.

Полагая х² + 5х = у, получим уравнение второй степени ( у+4)(у+96)=24,решая которое, получим уравнение у² +10у =0, откуда у=0 или у= -10. Возвращаясь к исходной переменной х , получим два уравнения :

х² + 5х = 0 и х² + 5х = -10.

Первое уравнение имеет корни 0 и -5, второе – корней не имеет, так как его дискриминант D<0.

ОТВЕТ: -5 ; 0.
3)Возвратное уравнение
При решении многих уравнений трудно угадать, какую новую переменную нужно ввести, чтобы упростить уравнение. Поэтому рассматривают различные виды целых рациональных уравнений, для упрощения которых известна подстановка.

К таким уравнениям относятся возвратные уравнения, симметрические уравнения, однородные уравнения.

Возвратные уравнения четвертой степени имеют вид:

ах⁴ + вх³ + сх² +вх + а =0.

Введением новой переменной у= х + это уравнение приводится к квадратному.

Аналогично, вводя новую переменную у = х + , можно упрощать уравнения вида

ах⁴ + вх³ + сх² +kвх + k²а =0. Такие уравнения называют обобщенными возвратными уравнениями четвертой степени.
ПРИМЕР 6. Решить уравнение 3х⁴ -2х³ + 4х² -4х + 12 =0

Решение. Это обобщенное возвратное уравнение четвертой степени при к=2, т.к.3х⁴ - 2х³ + 4х² - 2∙2х + 3∙2² =0.

Так как х=0 не является корнем этого уравнения, то разделим обе части уравнения на х² ≠0 и сгруппируем равноотстоящие от концов члены уравнения

,

Положим

=у, тогда

=у², а потому

=у²–4, подставим в уравнение, получим квадратное уравнение : 3(у²-4) – 2у + 4 =0, откуда находим корни

у₁ = 2, у₂ =-.

Теперь задача свелась к совокупности уравнений :

=2 .

Эти уравнения не имеют действительных корней, а , значит, и заданное уравнение не имеет корней.

ОТВЕТ : корней нет.
Возвратное уравнение пятой степени имеет вид : ах⁵ + вх⁴ +сх³ + сх² + вх + а =0,

Шестой степени : ах⁶ + вх⁵ + сх⁴ + dx³ +cx² +вх + а =0 и т.д.

Леонард Эйлер ( 1707-1783) доказал, что любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень -1 и после деления такого уравнения на х+1 получается уравнение четной степени, которое тоже будет возвратным. Им же доказано, что каждое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем х= содержит и корень х = .
4)Однородное уравнение
Уравнение вида Р (u,v )=0 называется однородным уравнением степени k относительно u и v , если Р(u,v) –однородный многочлен степени k. Однородные уравнение степени k относительно u и v Обладает тем свойством, что если разделить все члены уравнения на k-ю степень одной из переменных, то оно превращается в уравнение степени k с одной переменной.
ПРИМЕР 8. Решить уравнение

( х² + х + 1)³ + 2х⁴( х² + х +1) – 3х⁶ =0

Решение. Введем новые переменные u= х² + х + 1, v= х² , получим однородное уравнение u³ + 2uv² 3v³ =0. Проверив, что х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим полученное уравнение на v³=x⁶.

Получим уравнение + 2 -3 =0.

Положим , решим уравнение у³ +2у – 3 =0.

Легко видеть, что у=1 – корень , поэтому, разделив многочлен

у³ +2у – 3 на (у-1), перейдем к равносильному уравнению

(у-1)(у²+у +3 ) =0, которое имеет единственный действительный корень у=1.

Значит , осталось решить уравнение .

Решая это уравнение, находим единственный корень х=1.

ОТВЕТ: 1.
5)Применение метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений.

Пример 9. Решим уравнение х⁴+ х³- 4х²- 9х- 3 = 0.

Решение: Предположим, что корни уравнения - целые числа, тогда их надо искать среди чисел ±1;±3.

Если х = 1, то

если х = -1, то

если х = 3, то

если х = -3, то

Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.

Попробуем разложить многочлен

на множители в следующем виде:

, где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как bd = -3, то будем искать решения среди вариантов:

Проверим вариант № 2, когда b = -1; d = 3:

а= -2, с =3

Ответ;

Пример 10. Решить уравнение: х⁴ - 15х² + 12х+ 5= 0.

Решение: Разложим многочлен f(х) = х⁴ - 15х² + 12х + 5 на множители в следующем виде:

, где a, b, c и d -целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как , bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:

Системе удовлетворяет вариант №2, т.е а= 3, b = -1, c = -3, d = 5.

Итак,

Ответ:

6) Метод введения параметра
Одним из наиболее распространенных видов приема введения вспомогательной переменной являются различного рода обозначения чисел или числовых выражений с целью упрощения процесса вычислений или придания исходному выражению вида, более удобного для принятия решений.
ПРИМЕР 11. Решить уравнение и найти сумму всех его решений

Х⁴ -12 х² +16 х – 12 =0

Решение. Если ввести параметр =в , то исходное уравнение примет вид

Х⁴ – 6 в²х² + 8в³х – 3в⁴ =0,

или после преобразований ( х – в)²(х² +2вх -3в²)=0

Отсюда легко показать, что данное уравнение имеет два решения и -3 , а их сумма равна -2 .

ОТВЕТ: -2 .
ТЕМА2.Дробно-рациональные уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение с одной переменной f(x)=g(x), где f(x) и g(x) – рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь, называется дробно-рациональным.

Всякое дробно-рациональное уравнение можно 0

Если для всех действительных х многочлен Q(x) 0, то, учитывая, что дробь равна 0 лишь в том случае , когда ее числитель равен 0, переходим к равносильному целому рациональному уравнению Р(х)=0, найдя все корни которого, мы найдем и корни исходного уравнения.

Если же при некоторых значениях х Q(x)=0 , то уравнение Р(х)=0 является лишь следствием данного уравнения, поэтому все его корни надо подставить в многочлен Q(x) и отбросить те корни, для которых Q(x)=0.

Итак, всякое дробно-рациональное уравнение можно свести к целому рациональному уравнению. Однако не всегда это нужно делать сразу. В некоторых случаях целесообразно вначале применить метод разложения на множители или замены переменной.
ПРИМЕР 1. Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ. В обеих частях уравнения неправильные рациональные дроби. Выделим вначале целые части в каждой из дробей и затем перенесем все члены в левую часть:

Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению:

Перенося все члены в левую часть, получим равносильное уравнение

решая которое находим корни х₁=-1, х₂=0,25. Так как при этих значениях знаменатель дроби не обращается в ноль, то эти значения х являются корнями исходного уравнения.

ОТВЕТ: -1 ; 0,25.

Пример 2. Решить уравнение:

Заменим это уравнение равносильным ему прибавлением и вычитанием одного и того же выражения

Разложим числитель на множители

корнями которого являются х=±5.

Это уравнение можно решить другим способом, выполнив деление многочлена на многочлен.
Пример 3. Решить уравнение:

Разделив обе части уравнения на

, 0 не является решением данного уравнения):

Полагая, что

, получим уравнение (у-3)(у-4)=12; у²-7у=0

корнями которого являются у=0 и у=7.

Значит,

или

. Первое уравнение корней не имеет , а корни второго х=6 и х=1.

Данный пример показывает, что деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение с последующим введением замены позволяет понизить степень уравнения.

Пример 5. Решить уравнение:

Областью допустимых значений данного уравнения являются все числа, удовлетворяющие условию

Тогда,

Пусть

Решая данное дробно-рациональное уравнение, получим корни

Значит,

.

Решениями уравнений являются

Пример 6. Решить уравнение :

ОДЗ:

Пусть

t-1.

Выполняя преобразования, данное уравнение приводится к виду

.

Корни этого уравнения

следовательно,

ТЕМА4 Применение свойств функций при решении уравнений

²

1)Использование области определения.

Решите уравнение:.

Решение. Первый радикал определен при 1-х²≥0,т.е. -1≤х≤1.

Второй радикал определен при любых х. Выражение под третьим радикалом неотрицательно, если х²+2х-3≥0 Т е. при х≤-3 и х≥1.

Единственной точкой , в которой определены эти радикалы, является х=1. Легко проверить, что это число – корень уравнения.

Ответ;1

Решите уравнение :

.

Решение: 1) выпишем условие существование функции, стоящей в левой части уравнения:

. Решить данное неравенство довольно сложно.

2) Проверим правую часть: -1-2х²≥0,2х²≤-1. Последнее неравенство решений не имеет.

3) Значит, исходное уравнение тоже не имеет решений, так как левая часть его –неотрицательная функция.

Ответ: пустое множество.

2)Использование монотонности

Решить уравнение :

Решение: Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции, образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней нет. Сначала рассмотрим

. Исследуем ее на монотонность с помощью производной: .

Решаем биквадратное уравнение

,

поэтому

при всех значениях х., следовательно, функция f(x)- возрастающая.

Теперь исследуем функцию

. Как легко установить, она убывает при всех значениях х. Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень данного уравнения. Ответ: х=2

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве

(f), число a - любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Доказательство:

Рассмотрим возрастающую функцию f(x) (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию на множестве X существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b - единственный корень уравнения f(x)=a.

Допустим, что на множестве X есть еще число , такое, что f(c)=a. Тогда или c < b, или c > b. Но функция f(x) возрастает на множестве X, поэтому соответственно либо f(c) < f(b), либо f(c) > f(b). Это противоречит равенству f(c)=f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и на множестве X, кроме числа b, других корней уравненияf(x)=a нет.

Опираясь на это утверждение, можем решить уравнение

x⁵= 3 - 2x без чертежа, следуя следующему алгоритму:

заметим, что при x=1 выполняется равенство 1⁵=3-2·1,
значит, x=1 – корень уравнения (этот корень мы угадали);
функция у = 3 - 2x убывает, а функция у = x⁵возрастает,
значит, корень у заданного уравнения только один и
этим корнем является значение x=1.

Пример. Решите уравнение:

Решение: в начале запишем уравнение в виде

,

затем воспользуемся теоремой о корне.

При x=5 уравнение превращается в верное числовое равенство: ; 5=5 (т.е. угадали корень уравнения – x=5).
Заметим, что в левой части уравнения функция возрастает на D(у)=[3; +); значит, у заданного уравнения корень только один и этим корнем является значение x=5.

Ответ: 5.

3) Метод мажорант

Применим для задач в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенста имеют одну общую точку, являющуюся наибольшим значением одной части и наименьшим значением другой

Для решения таких задач привести уравнение к виду

Сделать оценку у обеих частей. Если существует число М из области значений такое, что

f(x)≤M и g(x)≥M, то уравнение заменяем равносильной системой двух уравнений

.
Решить уравнение :

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а) ,

так как ,х²+4х+13≥9 ,а

б)

, так как

.

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство:

. Ответ;2

Решите уравнение

Решение: Для решения уравнения оценим его части :

;

-сумма единицы и отрицательного числа , поэтому равенство возможно только при условии

/

Сначала решим второе уравнение ,,

,х²+х=0. Корни этого уравнения х=0 и х=-1.

Проверим справедливость первого равенства, поставив эти корни.

При х=0, получаем верное равенство, при х=-1 –неверное. Значит, данное уравнение имеет единственный корень х=0.

Приложение №2

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1) «Целые рациональные уравнения

х⁴ – 8х – 57 =0
4. х³ – х² -8х + 12 =0
х³ + 2х² + 3х =6
5. х³ –9 х² + 27х - 27 =0
х⁴ + 2х³ – 25 х² – 26х = -120
6. х⁴ + 2х³ – 16х² - 2х + 15 =0.
х³ -3х² – 3х +1=0.
( х +1)(х +3)(х +5)(х +7) =-15
.х⁴ – 3х² +2 =0
. 2( х² +х +1)² – 7 (х -1)² = 13(х³ – 1)
.х⁴ +4х³ – х² -16х – 12 =0
. х⁴ -5х³ + 10х² – 10х + 4 =0
( х² + х)² + 4(х² +х) -12 =0
( х +5)⁴ – 13 х²(х + 5)² + 36 х⁴ =0

Метод введения параметра

1. у⁴ - 2 у² – у + 3 - =0

2. ( у²+5у +1)² +6у( у²+5у +1) + 8у² =0

3. а² – 2( х² – 5х -1 )а + х⁴ – 10 х³ +22х² + 12х =0

2) «Применение свойств функций при решении уравнений»

1 уровень.

Решить уравнения:

1. (Ответ: 0);

2. (Ответ: 2);

3. (Ответ: 3);

4. (Ответ: 4);

5.

(Ответ: -2);

6. (Ответ: 1).

2 уровень.

Решить уравнения:

1. (Ответ: 1);

2.

(Ответ: -1);

3.

(Ответ: -2);

4.

(Ответ: 2)

5.

(Ответ: -3);

6.

(Ответ: -2);

7.

(Ответ: 2).

8.

ответ: π

10.

ответ; 0

11.

ответ:0,5

1 2 3

	Требования к оформлению материалов Объём статьи – до 10 страниц. Принимаются статьи на русском, иностранных и национальных языках. Информация об авторах, аннотация...		Предлагаем Вам разместить статьи в научно-практическом журнале «Управленческое... Автор(-ы) представляет в редакцию: распечатанный экземпляр статьи, подписанный автором, а также электронную версию статьи в формате...
	Юлий Борисович Харитон 4 Раздел I. Публикации трудов и статей 5 Ю.... Харитон юлий Борисович : Рекомендательный указатель литературы / мук цбс им. В. Маяковского. – Саров, 2009. – 37 с. 36		Приказ от 2 сентября 2014 г. N 3986 о создании условий для непрерывного... Московской области и в соответствии с пунктом девять части один статьи 8, статьей 16, статьей 76, частями первой-третьей статьи 89,...
	Правила для авторов, публикующих статьи в журнале Основной язык публикаций – русский, статьи на английском языке публикуются по согласованию с редколлегией журнала		Требования к рукописям В структуру изложения статьи должны входить: Индекс удк, Заглавие, Основной текст статьи, Аннотация в виде реферата, Ключевые слова,...
	Требования к оформлению статей Объем рукописи статьи не должен превышать 8000 знаков с пробелами, включая ссылки и сноски. Подстрочные и иные примечания к статье...		К. Л. Рудницкий. Михоэлс мысли и образы 5 Михоэлс: Статьи, беседы, речи. Статьи и воспоминания о Михоэлсе / Ред сост. К. Л. Рудницкий. 2 е изд испр и доп. М.: Искусство, 1981....
	Реферат объемом до 10 строк должен кратко излагать предмет статьи... В журнале «Современные проблемы науки и образования» публикуются научные обзоры, статьи проблемного и научно-практического характера...		Реферат (Приложение 4) Южно-Уральского государственного университета, утвержденного приказом №134 от 13. 10. 2003 ректора юурГУ, правом на получение патента...
	ScienceBg Style for Formatting Manuscripts Объем статьи, включительно заглавие, аннотация, текст, схемы, таблицы, диаграммы и литература, должен быть минимум 7 и не более 20...		Реферат статьи Устаревшие статьи: а Онлайновые показатели результатов научно-исследовательской деятельности; б Онлайновое будущее науки: наукометрическая...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Было задано: по рядам распределялся материал для пересказа статьи «Обрядовые песни» (при этом песню из своей статьи учить наизусть)...		Андрей Митрофанов /аспирант исторического факультета спбГУ/ Православная... И. А. Ильина, Г. П. Федотова, А. В. Карташева и т д. ? Однако то, как автор статьи пытается ответить на эти вопросы, а в особенности...
	Material science and technology Научные статьи, монографии, тезисы докладов и доклады на конференциях, депонированные тезисы докладов, статьи и доклады, отчеты		Игра искусства Перевод статьи выполнен по изданию: Gadamer H. G Редакция журнала и авторы Введения выражают благодарность издательству Mohr Siebeck GmbH & Co. Kg, г. Тюбинген за любезно предоставленное...

Статьи

Похожие: