РАЗДЕЛ III. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Тема 21. Линейное и нелинейное программирование в планировании производства.
Постановка задачи линейного и нелинейного программирования в общем виде. Оптимизация выпуска продукции. Двойственность и условия ценообразования. Линейная производственная функция и эффективность использования запасов в производстве. Эквивалентная замена ресурсов. Условия оптимальности первого и второго порядка.
Тема 22. Моделирование сферы потребления.
Потребительские предпочтения. Модель оптимального поведения потребителя. Функция полезности, ее виды (функция с полным взаимодополнением благ, функция с полным взаимозамещением благ, функция неоклассического типа) и свойства. Кривые безразличия и их свойства. Предельная норма замещения благ. Бюджетное ограничение. Равновесие потребителя. Функция спроса и ее свойства. Реакция потребителя на изменение цен и дохода. Уравнение Слуцкого. Эффекты дохода и замены. Классификация благ. Индивидуальный и рыночный спрос. Эластичность спроса по ценам и доходу потребителя. Построение функции спроса по опытным данным. Методы построения и анализа индивидуального спроса (инструменты нелинейного программирования, стохастические методы в оценке индивидуальных предпочтений, модель Эрроу, статистические методы оценки функций спроса).
Тема 23. Моделирование производственных процессов и издержек.
Факторы производства. Неоклассическая производственная функция (ПФ) и ее свойства. Предельные и средние продукты факторов производства. Эластичность выпуска по факторам производства. Изокванты и изоклинали. Предельные нормы и эластичность замещения факторов производства. Основные виды ПФ выпуска: Кобба-Дугласа, Солоу (с постоянной эластичностью замещения ресурсов), с постоянными пропорциями, линейная. Равновесие производителя. Отдача от масштаба (однородность ПФ).
Функция затрат и её свойства. Связь средних и предельных затрат. Эластичность затрат по выпуску. Функция затрат для однородной производственной функции выпуска.
Тема 24. Модели поведения фирмы в условиях конкуренции.
Модель поведения фирмы в условиях совершенной конкуренции. Исследование модели в зависимости от показателя степени однородности производственной функции. Модели поведения фирмы в условиях несовершенной конкуренции. Монополия и монопсония. Конкуренция среди немногих. Олигополия. Модели дуополии.
Тема 25. Модели общего экономического равновесия: Вальраса, в долгосрочном периоде.
Спецификация модели. Составление и решение системы уравнений модели. Функция избыточного спроса. Закон Вальраса. Система равновесных цен. Оптимальность по Парето равновесия Вальраса. Функция общественного благосостояния.
Факторы валового национального продукта (ВНП) и его представление при помощи производственной функции макроэкономического анализа. Распределение ВНП по факторам производства. Функция потребления. Инвестиционная функция. Структурная форма модели общего экономического равновесия в долгосрочном периоде. Равновесие и ставка процента.
Тема 26. Моделирование экономического роста. Односекторная модель экономической динамики Солоу.
Формализация макроэкономического состояния, прогнозирование динамики развития, проблемы адекватности, сценарные подходы
Предложение товаров и производственная функция. Функция потребления и тождество национальных счетов. Устойчивый уровень фондовооружённости. Стационарная траектория. Изменение основных переменных модели на стационарной траектории. Оптимальная норма производственного накопления. Уровень фондовооружённости и «золотое» правило. Устойчивый уровень фондовооружённости при росте населения. Устойчивый уровень фондовооружённости при технологическом прогрессе.
Тема 27. Статическая и динамическая модели межотраслевого баланса. Магистральные модели экономики.
Коэффициенты прямых материальных затрат. Достаточное условие продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Структурная форма линейной модели баланса межотраслевых материально-вещественных связей. Приведённая (функциональная) форма статической модели межотраслевого баланса. Мультипликатор Леонтьева (матрица коэффициентов полных материальных затрат). Коэффициенты прямых затрат труда. Баланс трудовых ресурсов. Статическая модель межотраслевого баланса, расширенная балансом труда. Коэффициенты полных затрат труда. Коэффициенты фондоёмкости отраслей. Баланс основных производственных фондов. Статическая модель межотраслевого баланса, расширенная балансом основных производственных фондов.
Открытая и замкнутая динамические модели. Сбалансированная траектория развития экономики в линейной модели с продуктивной матрицей коэффициентов прямых материальных затрат.
Магистральная модель накопления основных производственных фондов в конце планового периода. Модель фон Неймана расширяющейся экономики.
Тема 28. Стохастические методы моделирования динамики. Марковские случайные процессы. Моделирование систем массового обслуживания.
Случайные процессы. Потоки событий. Процессы гибели и размножения. Ветвящиеся и циклические процессы
Понятие системы и множества её состояний. Примеры экономических систем. Понятие случайного процесса. Марковский дискретный случайный процесс и его свойство отсутствия памяти. Граф состояний. Реализация случайного процесса. Марковская цепь. Переходные вероятности. Вероятности состояний. Поток событий. Пуассоновский поток событий. Процесс гибели и размножения. Система уравнений Колмогорова.
Понятие системы массового обслуживания (СМО). Структура и классификация СМО. Входящий поток заявок, каналы обслуживания, выходящий поток заявок. Многоканальная СМО с отказами, её параметры и характеристики функционирования. Размеченный граф состояний, предельные вероятности состояний, вероятность отказа, среднее время обслуживания.
Тема 29. Моделирование процессов на финансовом рынке.
Цели моделирования процессов на финансовом рынке. Показатели эффективности финансовых инструментов и способы их количественного описания. Прогноз динамики финансовых индексов. Диверсификация деятельности на финансовом рынке, способы моделирования эффективных решений.
Количественный анализ потока платежей. Определение наращенной суммы и современной стоимости аннуитета постнумерандо и пренумерандо. Определение наращенной суммы и современной стоимости p – срочных и m – срочных рент. Определение наращенной суммы и современной стоимости двустороннего потока платежей.
Количественный анализ основных финансовых инструментов. Классификация облигаций по способу выплаты дохода. Оценка облигаций и расчет полной доходности. Характеристики поступления средств от облигаций. Средний срок. Дюрация. Модели оценки привилегированных акций. Модели оценки обыкновенных акций.
Модели формирования оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Вероятностные характеристики доходностей бумаг. Вероятностные характеристики портфеля ценных бумаг. Модель Марковица. Зависимость «риск-доходность» для рискового портфеля. Модель Тобина. Зависимость «риск-доходность» для комбинированного портфеля.
Тема 30. Методы математического моделирования рисковых ситуаций.
Риск и неопределенность в экономической деятельности. Место методов математического моделирования в общей схеме управления риском. Основные механизмы управления риском — прямое воздействие на факторы риска и диверсификация. Цели моделирования механизмов управления риском. Методы моделирования неопределенности и риска экономической деятельности. Риск в игровых моделях. (Теория игр и оценка риска в игровых моделях. Игры с природой. Принятие решений в условиях риска.)
Страновые риски. Классификация рисков – различные подходы. Систематический риск. Риск, связанный с изменением процентной ставки, изменением валютного курса инфляционный риск, политический риск. Несистематический риск. Отраслевые, деловые, финансовые риски. Показатели, используемые для измерения риска. Внутренняя и внешняя доходность. Внутренний и внешний риск.
Тема 31. Основные понятия и инструменты технического анализа. Аналитические инструменты отслеживания тенденций развития фондового рынка.
Линейный график. График отрезков. График «крестиков и ноликов». Японские свечи. Понятие котировки. Установление цены на аукционе. Формы двойной и тройной вершин. Ценовые модели технического анализа. Основные разворотные фигуры. Модель «голова и плечи» Модели двойной и тройной вершин.
Технические индикаторы. Назначение и типы скользящих средних: простое, треугольное, переменное, взвешенное, экспоненциальное. Комбинация двух скользящих средних. Суть методов двойного и тройного пересечения. Назначение и использование осцилляторов в техническом анализе. Интерпретация осцилляторов. Наиболее важные случаи использования осцилляторов. Изменение темпа и скорости движения цен. Индекс товарного знака.
Тема 32. Актуарные расчеты.
Предмет и цели актуарных расчетов. Общие принципы построения моделей расчета себестоимости страховой услуги – модели индивидуального, коллективного рисков, динамические модели разорения. Моделирование условий разделения риска с его субъектом и перестраховочной компанией.
Тема 33. Моделирование процессов социального обеспечения.
Цели и основные проблемы моделирования социальных процессов. Показатели уровня жизни и экономического развития общества. Способы прогнозирования социально-экономической динамики в средней и долгосрочной перспективе.
Тема 34. Моделирование конфликтов в финансово-экономической сфере. Игры с природой.
Основные понятия и определения теории игр. Классификация игр. Решение матричных игр с седловой точкой. Решение матричных игр без седловой точки. Смешанные стратегии. Теорема Дж. Фон Неймана о существовании решения в смешанных стратегиях. Методы теории игр в построении экономико-математических моделей (формализация конфликта, оптимизация поведения и решение игры, классы игровых моделей и их прикладные возможности).
Понятие игры с природой. Оптимальная стратегия в игре с природой при известном распределении её состояний. Максиминный критерий Вальда выбора стратегии в игре с природой при неизвестном распределении её состояний. Критерий минимаксного риска Сэвиджа выбора стратегии в игре с природой при неизвестном распределении её состояний. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица выбора стратегии в игре с природой при неизвестном распределении её состояний.
Тема 35. Сетевое планирование и управление.
Понятие сетевой модели и схема её построения. Критический путь и методы его определения. Резервы, содержащиеся в некритических работах. Оптимизация сетевой модели: форсирование критических работ, перераспределение резервов, высвобождение средств за счёт пролонгирования работ.
Тема 36. Имитационное моделирование экономических систем.
Сущность имитационного моделирования. Понятие модельного времени. Этапы построения имитационных моделей. Средства имитационного моделирования. Испытания имитационной модели. Исследование свойств имитационной модели. Планирование вычислительных экспериментов. Эксплуатация модели.
РАЗДЕЛ IV. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Тема 37. Моделирование как метод научного познания. Развитие математических методов экономических исследований.
Понятия модели и моделирования. Элементы и этапы процесса моделирования. Виды моделирования. Особенности математического моделирования экономических объектов. Производственно-технологический и социально-экономический уровни экономико-математического моделирования. Особенности экономических наблюдений и измерений. Формализация экономических задач. Случайность и неопределенность в экономико-математическом моделировании. Проверка адекватности моделей.
Экономическая таблица Ф. Кенэ. Схемы расширенного воспроизводства К. Маркса. Математическая школа экономической теории. Статистическое направление экономических исследований. Математическое программирование. Эконометрика.
Тема 38. Классификация моделей в экономике.
Признаки классификации. Теоретико-аналитические и прикладные модели. Детерминистские и стохастические модели. Статистические и динамические модели. Открытые и замкнутые модели. Макро- и микроэкономические модели. Процессы построения и использования экономико-математических моделей.
Тема 39. Использование векторов, матриц, системы линейных алгебраических уравнений в линейных экономико-математических моделях.
Определение, свойства вектора. Операции над векторами. Скалярное и векторное произведение. Линейная зависимость, базис и ранг системы векторов. Координаты вектора. Примеры использования векторов в ЭММ.
Определение матрицы. Транспонирование и умножение матриц. Ранг матриц. Обращение матриц. Определитель квадратной матрицы и его свойства. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Матрицы Леонтьева-Пенроуза.
Системы линейных алгебраических уравнений. Системы алгебраических уравнений в задаче прогноза выпуска продукции. Модели Леонтьева многоотраслевой экономики («Затраты-выпуск»).
Тема 40. Математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление в моделировании социально-экономических процессов.
Множества и операции над ними. Предел последовательности. Функции одной переменной. Предел функции. Бесконечно малые величины. Непрерывность функции. Сложная и обратная функции. Примеры экономико-математических моделей.
Экстремумы функций одной переменной. Предельные показатели в экономике и их приближенное вычисление при помощи операции дифференцирования. Экономические приложения дифференциального исчисления.
Неопределенный и определенный интеграл функции одной переменной. Правила интегрирования. Экономические приложения интегрального исчисления.
Тема 41. Ряды в моделировании социально-экономических процессов.
Ряды с неотрицательными членами. Сходимость рядов. Ряд Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье. Использование рядов в построении экономико-математических моделей.
Тема 42. Использование функций нескольких переменных при построении экономико-математических моделей.
Предел, непрерывность и дифференцирование функций нескольких переменных. Экстремумы. Необходимые и достаточные условия экстремума функций. Метод множителей Лагранжа. Прибыль от производства товаров разных видов.
Тема 43. Обыкновенные дифференциальные уравнения в моделировании социально-экономической динамики.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Методы решения. Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения в моделях экономической динамики. Модель экономического роста. Динамическая модель Кейнса. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.
Тема 44. Применение общей теории множеств (элементов функционального анализа) в построении экономико-математических моделей.
Метрические, линейные и нормированные пространства. Эвклидово пространство. Гильбертово пространство. Линейные векторные пространства и линейные преобразования. Линейные операторы и функционалы в линейных нормированных пространствах.
Тема 45. Оптимизационные методы решения, многокритериальная оптимизация, гладкая оптимизация при решении экономических задач.
Классическая постановка задачи оптимизации. Оптимизация функций. Оптимизация функционалов. Общая постановка задачи. Стохастическая оптимизация. Примеры задач оптимизации в экономике.
Методы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной. Метод уступок. Методы определения уровня предпочтений. Способы поиска паретовского множества альтернатив.
Понятие градиента. Седловая точка. Условие Куна-Таккера. Двойственные задачи оптимизации.
Тема 46. Градиентные методы гладкой оптимизации, выпуклая оптимизация, математическое программирование в решении социально-экономических задач.
Общая идея градиентного спуска (подъема). Пропорциональный градиентный метод. Полношаговый градиентный метод. Метод сопряженных градиентов.
Условие выпуклости. Субградиентный метод выпуклой оптимизации. Метод растяжения пространства. Метод эллипсоидов.
Экономические задачи, моделируемые методами математического программирования. Задача математического программирования в общем виде. Этапы формализации. Ограничения, допустимые множества, целевая функция задачи. Классификация задач математического программирования. Экономические приложения математического программирования.
Тема 47. Линейное, нелинейное и динамическое программирование в решении социально-экономических задач.
Общая постановка задачи линейного программирования. Этапы формализации. Двойственность в линейном программировании и экономическая интерпретация. Примеры линейных оптимизационных моделей в экономике. Задачи целочисленного программирования. Методы решения задач целочисленного программирования. Параметрическое линейное программирование. Примеры параметрических оптимизационных моделей в экономике. Методы решения задач линейного программирования.
Общая постановка задачи нелинейного программирования. Этапы формализации. Выпуклое программирование. Методы решения задач нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа, экономическая интерпретация множителей Лагранжа. Экономические приложения нелинейного программирования.
Общая постановка задачи динамического программирования. Этапы формализации. Методы решения задач динамического программирования. Рекуррентные соотношения Беллмана. Экономические приложения динамического программирования.
Тема 48. Математические методы финансового анализа.
Модели финансовых потоков. Эквивалентность денежных сумм во времени. Текущая (приведенная) величина потока. Будущая (наращенная) величина потока. Приближенные формулы для внутренней доходности ренты. Облигации и их характеристики. Теоремы об облигациях. Дюрация облигации и ее свойства. Теорема об иммунизации портфеля облигаций.
Тема 49. Теория вероятностей и математическая статистика в экономико-математическом моделировании.
Дискретные и непрерывные случайные величины в экономико-математических моделях. Случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Система двух случайных величин. Примеры в экономике.
Непрерывные случайные величины в экономико-математических моделях. Основные распределения непрерывных случайных величин. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Многомерные случайные величины и их числовые характеристики. Понятия о случайных процессах. Примеры в экономике.
Методы математической статистики в построении моделей в экономике. Основные направления применения методов математической статистики в экономике. Выборки и их типы. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Эмпирические моменты, асимметрия и эксцесс. Оценки параметров. Выборочные распределения.
Проверка статистических гипотез. Уровень значимости. Правило Неймана-Пирсона отбора критериев для простых гипотез. Критерии значимости. Доверительная область. Нормальное распределение. Критерий согласия Пирсона.
Основы корреляционного анализа. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Функциональная и статистическая корреляция. Выборочный коэффициент корреляции. Корреляционное отношение как мера корреляционной связи.
Тема 50. Регрессии. Эконометрика.
Линейная регрессия для системы двух случайных величин. Основные аспекты множественной регрессии. Нелинейная регрессия. Построение регрессионных моделей (Этапы построения модели, гипотезы модели, оценка параметров, прогнозирование, проверка адекватности.) Метод наименьших квадратов.
Основные понятия эконометрического моделирования. Основные проблемы эконометрического моделирования. Математико-статистический инструментарий эконометрики. Анализ временных рядов как одна из основных задач эконометрики. (Понятие временного ряда. Построение моделей временных рядов. Анализ временных рядов.) Этапы построения эконометрических моделей. (Спецификация ЭММ. Сбор статистических данных об объекте-оригинале. Настройка (оценивание) ЭММ. Проверка адекватности ЭММ. Исследование построенной модели с целью получения информации об объекте-оригинале.) Методы статистического оценивания параметров эконометрических моделей (постановка задача, статистики, свойства статистических оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность, функция правдоподобия, метод моментов, интервальные оценки, общая логика Байесовского метода оценивания). Применение методов статистической проверки в эконометрическом моделировании (гипотезы о виде распределения, о значениях параметров генеральной совокупности, о виде модели, логическая схема статистического критерия, принцип отношения правдоподобия, характеристики статистического качества, критерии согласия, Пирсона, Стьюдента).
Тема 51. Основные положения теории систем. Основы оптимального управления. Основы системного анализа.
Определение системы. Свойства системы Классификация систем. Модели экономических систем. Закономерности функционирования и развития. Рождение и гибель системы. Роль противоречий в системе. Переходные процессы. Адаптивные системы. Устойчивость системы.
Роль теории систем в научном познании. (Латентный период развития теории систем. Предмет, объект, аксиоматика и исследовательский аппарат теории систем. Кибернетика – фундамент теории систем. Взаимосвязь теории систем с математическим программированием, теорией игр, теорией массового обслуживания, теорией вероятности и другими научными направлениями. Теория систем и теория катастроф. Синергетика - дальнейшее обобщение и развитие теории систем.)
Экономические процессы и их формализованное представление. Управление и управляющие воздействия. Общая постановка задачи оптимального управления. Принцип обратной связи.
Формулировка проблемы. Определение целей. Формирование критериев. Генерирование альтернатив. Выбор оптимальной альтернативы. Интерпретация и анализ ожидаемых результатов.
Тема 52. Применение методов теории графов в экономико-математическом моделировании.
Графы и их свойства. Основные этапы формализации задач с использованием графов. Задачи в экономике, решаемые с помощью теории графов.
|
