Тема урока: «Сумма n -первых членов арифметической прогрессии»

Предмет: алгебра Тема урока: «Сумма n-первых членов арифметической прогрессии». Тип урока: ОНЗ Автор: Угарова Ю.Г., учитель математики МБОУ ООШ № 20 п. Никель Мурманской области Основные цели урока. Предметные: 1) формировать умение строить формулы на примере формулы нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии; 2) организовать работу по получению информации учащимися об истории возникновения и бывшего названия суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Личностные: 1) развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа арифметической прогрессии, вывода формул; 2) с помощью решения задач исследовательского характера и самостоятельного вывода учащимися формул, развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость, способность к оценочным действиям, обобщению. Метапредметные: 1) формируем умение фиксировать шаги учебной деятельности; 2) формировать умение проводить самопроверку и самооценку своей деятельности; 3) тренировать умение фиксировать затруднение в деятельности, фиксировать причину возникшего затруднения; 4) формировать умение ставить цель деятельности, отбирать средства для ее реализации; 5) прививать учащимся интерес к предмету посредствам применения информационных технологий (с использованием компьютера), решения исторических задач; 6) формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи. Оборудование: компьютер, проектор, экран. Раздаточный материал: чистые листы, таблицы, листочки для рефлексии. Ход урока: 1. Мотивация к учебной деятельности Учитель читает высказывание: Считать несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию. Ян Амос Коменский (чешский педагог, живший в 17 веке) − Я хочу, чтобы этот час, который длится урок, стал для вас счастливым, принес много открытий, опыта и хорошего настроения. − Какую тему вы начали изучать? («Числовые последовательности».) − С каким особым видом числовой последовательности познакомились? (С арифметической прогрессией.) − Что вы научились находить в арифметической прогрессии?(n-ый член арифметической прогрессии по формуле.) − Сегодня вас ждут новые открытия в мире последовательностей. Как вы выясняете, что не знаете? (Повторяем необходимое, подводим итог повторения, работаем с пробным заданием, если оно не получается, фиксируем своё затруднение, находим место и причину затруднения.) − Что вы сейчас повторили? (Шаги учебной деятельности.) − А если вы сами определяете, что вы не знаете, находите способ, чтобы снять затруднение, какая же функция будет у меня? (Организовывать нашу работу и помогать.) − Чему вы ещё учитесь на уроках? (Учимся учиться.) − Молодцы! В добрый путь! 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии. − А теперь давайте проверим, насколько вы готовы двигаться дальше. Учащимся предлагается самостоятельно выполнить следующие задания с последующей самооценкой: Являются ли арифметическими прогрессиями следующие последовательности чисел: а) 1; 2; 3;4; 5; 6; .. , б) 5; 5; 5; 5; 5; .. , г) 1; 2; 22; 23; 43; 44; … Выписать первые пять членов последовательности (сn), если с1 = 3, сn+1 = сn + 4. Дана последовательность чисел (хп): 1, 4, 7, 10, 13, 16, …. Назовите третий, пятый, первый, восьмой, шестой члены последовательности. Последовательность задана первыми членами: 1, 5, 9… Задайте формулу общего вида. Последовательность (аn), задана формулой аn = 2n + 3. Является ли членом последовательности число 9? − Сверьте свои решения с эталоном. − Что вы сейчас повторили? (Мы повторили понятие арифметической прогрессии, рекуррентную формулу, формулу n-го члена.) − Какое следующее задание я вам предложу? (Задание для пробного действия.) −С какой целью вам предлагается пробное задание? (Чтобы понять, что нового сегодня будет на уроке.) − Перенесемся в мир Древнего Египта, страны великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. На этом слайде мы видим, как создавалась пирамида. Египетские пирамиды были построены благодаря не только упорному труду, но и математической мысли. Достижения Египетских математиков непостижимы не только по своему совершенству, но и по точности математических расчетов. Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали их на стенах храмов или на папирусах. − Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца 18–17 веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи. Когда его расшифровали, то узнали такую вещь. Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом». Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, …, а сумма этих камушков образует треугольное число − Обозначим его Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n. Где n – это n-й член этой последовательности. И в зависимости от количества членов можно находить любое треугольное число. А какая у нас получилась последовательность? (Арифметическая прогрессия.) − Что же такое треугольное число? Это и есть сумма n-первых членов арифметической прогрессии. В современной математике нет такого понятия, как треугольное число, в современной науке его называют сумма n-первых членов арифметической прогрессии. − Сформулируйте тему урока. (Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.) − Так мы и назовем тему нашего урока. Запишите ее в тетради. − И так задание. Пусть членов последовательности будет 100. Нужно найти сотое треугольное число или, другими словами, сумму n-первых членов арифметической прогрессии: S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100. − Что вы теперь будете делать с этим заданием? (Мы попробуем выполнить его.) − С какой целью вы будете пробовать? (С целью понять, где у нас затруднение, а может быть найти способ для выполнения задания.) На работу отводится 1 минута. После истечения времени. − У кого нет ответа? Сформулируйте своё затруднение. (Я не смог найти сумму 100 первых членов арифметической прогрессии.) − У кого есть результат, покажите. Вы можете доказать, что вы правильно выполнили задание, т.е. вы можете предъявить правило нахождения сумму n-первых членов арифметической прогрессии? (Нет.) − Сформулируйте затруднение. (Мы не можем доказать правильность своего решения.) − Вы хотите разобраться, почему так произошло? (Да.) 3. Выявление места и причины затруднения – Что вы должны были сделать? (Найти быстро значение выражения.) − Как вы действовали? (…) – Почему у вас возникло затруднение? (У нас нет быстрого, простого способа нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии.) 4. Построение проекта выхода из затруднения − Уточните цель своей деятельности. (Надо составить алгоритм, вывести формулу, с помощью которой, быстрее можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии.) − Чем же можно воспользоваться, чтобы упростить вычисления? (Переместительным, сочетательным, распределительным законами сложения чисел.) − Как вы будете реализовывать цель? 5. Реализация построенного проекта − Сегодня вы будете работать в группах. На выполнение 3 минуты. После выполнения, группы представляют результат работы. Одна из групп по желанию выставляет свою версию на доске с помощью магнитов или скотча, и обосновывает её. Остальные группы работают на дополнение и уточнение. Задача учителя на данном этапе – организовать согласование всех полученных версий. После этого он выставляет собственный вариант, и учащиеся сравнивают его со своими версиями. Результатом работы групп, должен быть получен алгоритм и значение выражения, найденных с помощью нового способа действий. Можно также провести фронтальную беседу. − Может быть, вам эта задача кажется не такой уж и легкой, но эта задача уже однажды была решена, причем 9-ти летним мальчиком. Историческая справка Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса. Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные. Давайте попробуем повторить этот опыт. − Рассмотрим, как с этим справился маленький Карл: (слайд) Учащимся предлагается еще одна возможность. − Найдите в этой задаче 20-е треугольное число, т.е. что нужно сделать? (Найти сумму 20-первых членов арифметической прогрессии.) − Проанализировав решение двух задач, выведите общую формулу. (…) − Если значение последнего члена суммы не известно? (Можно воспользоваться формулой n-го члена арифметической прогрессии.) − Совместите обе формулы и выведите еще одну формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии. − Достигли вы цели? (Да.) − Уточните вывод. (Если надо найти суммы n-первых членов арифметической прогрессии, то можно использовать одну из формул.) Учитель вывешивает на доску эталон. − Какой следующий шаг вы должны выполнить? (Научиться применять новые знания.) 6. Первичное закрепление во внешней речи Интересный факт: ямб и хорей (слайд) − Найдите сумму десяти первых четных чисел натурального ряда. Является ли данная последовательность арифметической прогрессией? (Да). − Назовите первый член и разность этой арифметической прогрессии. (2; 2.) − Известен ли последний член этой арифметической прогрессии? (Нет.) − Какой формулой удобнее воспользоваться? (Второй формулой.) Один из учеников выходит к доске и выполняет − Выполните задания в парах Найдите сумму шестидесяти первых членов арифметической прогрессии (an), если а1 = 3, а60 = 57. Вычислите сумму девяти первых членов арифметической прогрессии (bn), если b1 = −17, d = 6. Задание выполняется в парах, с проверкой результатов по образцу. 1) 2) 7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону − Выполните самостоятельно: найдите сумму пятидесяти первых нечетных чисел натурального ряда. Учащиеся сверяют работу по эталону для самопроверки. Проводится анализ и коррекция ошибок. Желательно, что бы дети, допустившие ошибки объяснили причину, по которой они не правильно выполнили задание. − В каком месте была допущена ошибка? − Почему у вас возникли затруднения? 8. Включение в систему знаний и повторение Задача 1. Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобиться для 7 рядов? a1 = 3, d = 2, Ответ: 63 плитки. Задача 2. За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на три коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в последний день? a1=7, a16=7+15*3=52 Ответ: 52 коралла. Задача 3. Том Сойер красил забор длиной 105 м, причем день за днем количество выкрашенного за день уменьшалось на одну и ту же величину. За сколько дней был выкрашен забор, если за первые три дня Том выкрасил 36 м забора, а за последние три дня – 27 м? Решение Обозначим через n искомое количество дней, а через количество (в метрах) выкрашенного в k-ый день. Тогда – арифметическая прогрессия, в которой , , Далее имеем: , , , Ответ: 10 дней. Задача 4. За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 у.е., а за каждое следующее кольцо платили на 2 у.е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того в конце работы заплатили еще 40 у.е.. Сколько колец в колодце, если потом выяснили, что средняя стоимость одного кольца оказалась у.е? Решение: а1 = 26, d = −2, аn = 28 − 2n, Sn = 27n − n2, , 9n2 − 41n – 360 = 0, n = 9 (n  N) Ответ: 9 колец 9. Рефлексия деятельности на уроке − Какое новое число вы открыли сегодня? (Треугольное число или сумму n-первых членов арифметической прогрессии) − Какую цель вы ставили в начале урока? − Вы достигли поставленной цели? − Что вам помогло достичь цели? − Какие формулы вывели? − Эти формулы подходят для любой числовой последовательности? − Какой формулой, когда пользоваться удобнее? Домашнее задание: − Начать заполнение таблицы. Продолжим её заполнение на последующих уроках. Выучить формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Придумать задачи на применение каждой формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Таблица: "Арифметическая и геометрическая прогрессии". Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Примеры Определение Рекуррентная формула Формула n-го члена Характеристическое свойство Общий вид формулы n-го члена Формула суммы n первых членов. − Возвращаясь к эпиграфу нашего урока, я хочу узнать, стал ли для вас этот час счастливым, прибавили ли вы что-то к своему образованию? − У каждого из вас на столе карточки (розовая, зелёная, жёлтая). Уходя из класса, прикрепите на дверь одну из них. До свидания! Спасибо за урок! Карточка розового цвета обозначает: “Я удовлетворён уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке, я понимал всё, о чём говорилось и что делалось на уроке”. Карточка желтого цвета обозначает: “Урок был интересен, я понимал практически всё, о чём говорилось и что делалось на уроке, но при решении задач не все получилось”. Карточка зеленого цвета обозначает: “Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чём идёт речь, мне это не очень нужно, домашнее задание я не понял, к ответу на уроке я был не готов”. Литература: Макарычев, Ю.Н., Миндюк, Н.Г. Алгебра 9 / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 2004. Баврин И.И., Фрибус Е.А.: Старинные задачи: Книга для учащихся / И.И. Баврин, Е.А. Фрибус. – М.: Просвещение, 1994. Сборник задач по алгебре для 7-9 кл./М.:Просвещение, 2007 - 2008. / М. В.Ткачёва, Р.Г.Газарян. Алгебра: Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе./Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др.-М.: Просвещение, 2006-2008. Текстовые задачи ЕГЭ (В13) и ГИА http://ru.wikipedia.org http://raal100.narod.ru

Похожие:

	Конспект урока по алгебре в 9-м классе по теме "Формула суммы n первых... Определение арифметической прогрессии. Формула n-члена арифметической прогрессии		Конспект урока Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула... Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.»
	Конспект урока по теме:"Прогрессии" цель урока: обобщить и систематизировать... Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.»		Урока: комбинированный тема урока Дидактические продолжить формирование у учащихся умений применять формулы n –ого члена, суммы n первых членов арифметической прогрессии,...
	Конспект урока арифметическая прогрессия фио (полностью) Головина Надежда Геннадьевна Цель: обеспечить условия для усвоения учащимися знаний об арифметической прогрессии, её свойствах и основных формулах. Ввести характеристическое...		План-конспект урока арифметическая прогрессия Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.»
	Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии (обобщающий урок) Определение арифметической прогрессии. Формула n-члена арифметической прогрессии		«Средняя общеобразовательная школа №2» Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.»
	Домашнее задание по алгебре Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.»		Таблично-графическая схема рабочей программы по математике для 9 класса(175ч) Тема «Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.»
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (an), заданной формулой аn = 2n – 3		Домашнее задание с 5 по 11 февраля 2013 года Оглавление П. 2, стр. 127-128,прочитать, выписать и выучить формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии. №639, 640
	Класс: 9 класс. Продолжительность урока Определение арифметической прогрессии. Формула n-члена арифметической прогрессии		Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии Цель урока: Формирование понятия геометрической прогрессии через понятие арифметической прогрессии
	Отчет о результатах применения технологии самоорганизации познавательных коммуникаций Определение арифметической прогрессии. Формула n-члена арифметической прогрессии		Тема урока: Формула суммы п-первых членов геометрической прогрессии Введение. Алгоритм. Программа. Язык программирования Паскаль. Техника безопасности