Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №3 с углубленным изучением отдельных предметов»
МНОГОГРАННИКИ
(реферат)
Выполнила:
Киреева Надежда,
ученица 8б класса
Руководитель:
Войтикова Н.В. –
учитель математики
и информатики
Анжеро-Судженск
2007
Оглавление
Оглавление 3
Введение 4
Глава 1. Правильные многогранники 6
1.1. История правильных многогранников 6
1.2.Моделирование правильных многогранников 10
1.3. Леонард Эйлер и его знаменитая теорема 12
Глава 2. Звездчатые многогранники 14
2.1 Тела Архимеда и Кеплера – Пуансо 14
2.2 Моделирование звездчатых и полуправильных многогранников 19
Заключение 21
Список литературы 22
Введение
Однажды обыкновенный английский мальчик
Джеймс, увлекшись изготовлением многогранников,
написал в письме отцу: «…я сделал тетраэдр,
додекаэдр и два эдра, для которых не знаю
правильного названия».
Эти слова знаменовали рождение в пока ничем
не примечательном мальчике,
великого физика Джеймса Кларка Максвелла.
Первые упоминания о многогранниках известны еще у египтян и вавилонян за 3000 лет до нашей эры. Глубокие результаты в теории многогранников получены отечественными математиками: Б. Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым.
Эта теория тесно связана с другими разделами современной математики: топологией, теорией графов. Она имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики, например в алгебре, теории чисел, в естествознании.
Многогранники интересны и сами по себе. Они выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется, пожалуй, в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Многогранники имеют красивые формы, например правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с такими знаменитыми учеными древности, как Пифагор, Евклид, Архимед.
Со времён Пифагора геометрическим телам и фигурам отводилась, вероятно роль даже не модели, а образца и основы мировоззрения. Таким виделись Платону правильные многогранники – выпуклые многогранники, в вершинах которых сходится одинаковое число ребер, а грани которых – равные друг другу правильные многоугольники. Таких многогранников (иногда их называют Платоновыми телами) всего пять: правильный тетраэдр, куб, правильные октаэдр, додекаэдр и икосаэдр
Куб и октаэдр, додекаэдр икосаэдр называют двойственными многогранниками. Тетраэдр двойствен самому себе – у него столько же вершин сколько граней.
Отсутствие других правильных многогранников, кроме названных,
их связь – двойственность, правильность и симметричность – побуждали
видеть в них таинственную основу построения Вселенной. Огонь и земля, вода и воздух уподоблялись Платоном этим многогранникам, «прекраснейшим из всех, которые не подобны друг друга перерождаться». А «пятое многогранное построение, - объяснял он, - Бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»
Цель работы: Изучить некоторые свойства правильных многогранников, рассмотреть виды звездчатых и полуправильных многогранников и способы их построения.
Задачи:
- Изучение и подбор литературы по теме «Многогранники»
- Изучение некоторых видов звездчатых и полуправильных многогранников.
- Изучение различных способов построения многогранников.
В реферате рассмотрены правильные многогранники и тела Архимеда и Кеплера – Пуансо; описано одно из ярких свойств Платоновых тел, которое формулируется в теореме Эйлера. Так же представлены некоторые способы построения правильных многогранников, усеченного тетраэдра и малого звездчатого додэкаэдра.
Глава 1. Правильные многогранники 1.1. История правильных многогранников
К акие правильные многогранники вы знаете? Сколько их? На рис.1 представлены все пять видов правильных многогранников: правильный тетраэдр, куб или гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
Рис. 1
Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Так, тетраэдр имеет четыре грани, в переводе с греческого «тетра» - четыре, «эдрон» - грань, вот и получается четырехгранник – тетраэдр. Гексаэдр (куб) имеет шесть граней, «гекса» - шесть; октаэдр – восьмигранник, «окто» - восемь; додекаэдр – двенадцатигранник, «додека» - двенадцать; наконец, икосаэдр имеет двадцать граней, «икоси» - двадцать.
Какой же многогранник называется правильным?
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте, сначала, перечислим свойства правильных многогранников. Итак:
Все рёбра равны.
Все плоские углы равны.
Все грани – равные правильные многоугольники.
Все двугранные углы равны.
Все многогранные углы равны.
Все многогранные углы имеют одно и то же число граней, и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.
Какие же свойства правильных многогранников отнести к определению правильного многогранника? При этом необходимо помнить, что определения должны удовлетворять следующие требования:
I. Определение должно быть полным, т.е. перечисленные в нём свойства должны полностью определять данное понятие. Другими словами, любое свойство данного понятия выводится из свойств, перечисленных в определении.
II. Определение должно быть экономным – оно не должно содержать лишних свойств, т.е. ни одно из перечисленных свойств не должно выводиться из остальных.
И  стория правильных многогранников уходит в глубокую древность. Мы уже упоминали, что правильными многогранниками увлекались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях о существе мира. (Первоосновам бытия – огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра. А вся вселенная имела форму додекаэдра рис.2).
Земля
Огонь
 
Рис.2
Позже учение пифагорейцев изложил в своих трудах другой древнегреческий учёный, философ-идеалист Платон (427-347г.г. до н.э.). Платон не был математиком и не получил никаких результатов в этой науке, но в своих многочисленных произведениях любил говорить о математике и часто ссылался на неё. Например, в трактате «Пир» Платон говорил: «Бог (творец) занимался постоянно Геометрией». В сочинении «Государство» Платон пишет, что необходимыми предметами изучения должны быть: Арифметика, Логистика, Геометрия, Стереометрия, Астрономия и Гармоника. Обратите внимание: названия наук написаны с большой буквы, а под геометрией подразумевается только планиметрия. Именно Платону обязана своим дальнейшим развитием стереометрия, которая до него далеко отставала от планиметрии. До Платона знали теоремы относительно положения прямых и плоскостей в пространстве, о многогранниках, шаре, но о цилиндрах, конусах практически ничего не было известно. В трактате «Тимей» Платон изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.
Правильным многогранникам посвящена последняя книга XIII знаменитых «Начал» Евклида. Существует версия, согласно которой Евклид написал первые двенадцать книг для того, чтобы читатель понял написанную в XIII книге теорию правильных многогранников, которую историки математики назвали «венцом «Начал». Здесь установлено существование всех пяти типов правильных многогранников путём их построения и доказано, что других правильных многогранников не существует. На доказательстве этих теорем мы подробно остановимся ниже.
В средние века учение о правильных многогранниках возродил в своих трудах знаменитый Иоганн Кеплер (1571-1630г.г.).
Еще в молодые годы Кеплером овладела идея поиска симметрии или гармонии мира. В первой же работе « Тайна мироздания» (1597) Кеплер, опираясь на геометрию, решил вывести число орбит, их относительные размеры и характер движения планет, т.е. проникнуть в замысел самого творца. Любопытно заметить, кстати, что название работы, как было принято в те времена, было несколько длиннее приведённого, а именно: «Предвестник космографических исследований, содержащих тайну мироздания относительно чудесных пропорций между небесными кругами и истинных причин, числа и размеров небесных сфер, а также периодических движений, изложенных с помощью пяти правильных тел Иоганном Кеплером из Вюртемберга, математики достославной провинции Штирии». Эта работа принесла Кеплеру большой успех и широкую известность. В ней ученый вывел свой геометрический принцип, по которому с помощью пяти правильных Платоновых тел объясняется число известных тогда планет и относительные размеры их орбит. Геометрия Солнечной системы, по Кеплеру, заключалась в следующем построении: «Земля есть мера всех орбит. Вокруг неё опишем додекаэдра, сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия».
Эти идеи Кеплер развил в более позднем своём пятитомном труде «Гармония мира», первый вариант которого был закончен в 1618 году. Модель гелиоцентрической системы мира получила название «космический кубок»
1.2.Моделирование правильных многогранников
Мы познакомились с красивыми правильными многогранниками. Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочётов.
Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильных многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочетов.
Модели этих многогранников являются хорошим украшением кабинета математики в школе, а так же их можно использовать вместо традиционных елочных украшений (хлопушек и фонариков), т.е. изготовить геометрические игрушки. И если вы потрудитесь над их изучением и изготовлением, то наверняка они доставят вам радость и удовольствие.
Совокупность многоугольников, соответственно равных граням некоторого многогранника, вместе с указанием того, как их нужно склеивать (какие их стороны и вершины представляют собой одни и те же рёбра и вершины многогранника), называются развёрткой этого многогранника (рис.3)
  
 
Рис. 3
Для изготовления моделей многогранников необходимо:
- иметь набор многоугольников, которые служат гранями некоторого многогранника;
- знать, какие их стороны следует склеивать между собой.
При изготовлении развёрток многогранников из бумаги и картона можно выделить следующие основные этапы работы:
Начертить развёртку многогранника (с клапанами для склеивания).
Вырезать развёртку.
Согнуть по линиям сгиба (предварительно по линиям сгиба аккуратно по линейке провести лезвием).
Склеить.
Произвести окантовку рёбер или окрашивание граней, наклейку на грани многогранника тонкой цветной бумаги и т.д.
1.3. Леонард Эйлер и его знаменитая теорема
Современная теория многогранников берёт своё начало с работ Леонарда Эйлера (1707-1783) – одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитее многих разделов математики. Л.Эйлер был не только выдающимся математиком, но и крупной творческой личностью. Им написано около 760 научных статей для журналов, 40 книг, 15 работ для различных конкурсов. Поражает работоспособность учёного, росшая на протяжении всей жизни. Так, в первые 14 лет научной деятельности им было написано 80 работ объёмом около 4000 печатных листов. А в последние 14 лет жизни, несмотря на тяжелую болезнь-слепоту, опубликовано свыше 359 работ общим объёмом приблизительно 8000 печатных листов. Многие рукописи Эйлера сохранились до наших дней. Эйлер долгое время (с 1727 по 1741 год и с1766 года до конца жизни) жил и работал в России, был действительным членом Петербургской академии наук, академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы, на подготовку кадров учёных-математиков и педагогов России.
Работы Эйлера дали толчок к постановке и решению различных проблем, способствовали развитию многих разделов математики. Математики последующих поколений учились у Эйлера. Например, французский учёный П. С. Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, он учитель всех нас».
В 1752 году Эйлером была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и рёбер выпуклого многогранника. Она была помещена в работе «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».
Прежде чем рассматривать доказательство этой теоремы, обратимся к следующей таблице:
Таблица 1
-
Правильный многогранник
|
Число
|
Геометрия грани
|
Граней, Г
|
Вершин, В
|
Ребер, Р
|
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Гексаэдр
Додекаэдр
|
3(тетра)
8(окто)
20(икоси)
6(гекса)
12(додека)
|
4
6
12
8
20
|
6
12
30
12
30
|
|
Рассмотрим таблицу 1, зададимся вопросом «Нет ли здесь закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?». По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4+2=6; 6+2=8), а потом закономерность «провалилась» (8+2 12; 12+220). В столбце «вершины» так же нет закономерности. В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.
Но не будем сдаваться. Рассмотрим сумму чисел в двух первых столбцах (Г+В).
Составим новую таблицу.
Таблица 2
-
Правильный многогранник
|
Число
|
Г+В
|
Ребер
|
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Гексаэдр
Додекаэдр
|
4+4=8
8+6=14
20+12=32
6+8=14
12+20=32
|
6
12
30
12
30
|
Теперь хорошо видна закономерность.
«Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на два»: Г+В=Р+2.
Зададимся вопросом о том, почему правильных многогранников ровно пять.
Во-первых, определим, какие многогранники называются правильными:
Определение: Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники и все двугранные углы равны.
Покажем, что существует только пять видов правильных многогранников.
Грань правильного многогранника – это правильный п-угольник.
п=3 (треугольник), рассмотрим возможные многогранные углы:
 - тетраэдр;
 - октаэдр;
 - икосаэдр.
п=4 (квадрат)
 - гексаэдр (куб).
п=5 (пятиугольник)
 - додекаэдр.
Глава 2. Звездчатые многогранники 2.1 Тела Архимеда и Кеплера – Пуансо
Мы рассмотрели правильные Платоновы тела и доказали, что их существует не более пяти типов. У правильных многогранников все грани – одноимённые равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные, но разноимённые правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые такие многогранники такого типа открыл и описал Архимед (287- 212 гг. до н. э.). Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого учёного были названы телами Архимеда.
Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников – Платоновых тел, можно получить так называемые звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И.Кеплером (1571 – 1630), а два других были построены спустя почти двести лет французским математиком и механиком, профессором Политехнической школы Луи Пуансо (1777 – 1859). Именно поэтому правильные звёздчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. Итак, что же они из себя представляют?
В работе « О многоугольниках и многогранниках» (1810) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звёздчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6 , 8 , 12 , 20.
Ответ на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звёздчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путём продолжения их граней или рёбер; исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звёздчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звёздчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звёздчатую форму.
Покажем это. Термин «звёздчатый» имеет общий корень со словом «звезда» и указывает на происхождение многогранника. Существуют звёздчатые многоугольники и звёздчатые многогранники. На плоскости правильные невыпуклые или звёздчатые многоугольники можно получить из правильных выпуклых многоугольников путём продолжения их сторон до самопересечения.
Начнём с простейшего многоугольника – равностороннего треугольника. Если продолжить все его стороны, то этими прямыми не будет ограничена никакая новая часть плоскости, продолжение сторон будет расходиться (рис.4, а).
Аналогично если мы будем продолжать стороны квадрата, то построенные прямые будут параллельны и не пересекутся, как бы их ни продолжали (рис.4, б).
Однако продолжения сторон пятиугольника пересекаются во внешней по отношению к пятиугольнику части плоскости и добавляют к пятиугольнику новые части. В результате получается хорошо известная пятиконечная звезда, иначе называемая пентаграммой (рис.4, в).
а
Рис.4
) б) в)
Пентаграмма была известна в глубокой древности, например, пифагорейцы, считали её символом здоровья. Продолжения сторон шестиугольника приводят к появлению шестиугольной звезды, или гексаграммы (её можно рассматривать не как единый многоугольник, а как соединение двух разносторонних треугольников; рис.5, а).
Аналогично правильный восьмиугольник (октагон) приводит нас к восьмиугольной звезде - октаграмме (рис.5,б), правильный десятиугольник (декагон) – к десятиугольной звезде, или декаграмме (рис 5,в). Пентаграмму, октаграмму и декаграмму можно рассматривать как нераспадающиеся единые многоугольники соответственно с 5, 8, и 10 сторонами.
  
а
Рис.5
)
Обратимся теперь к аналогическому процессу в пространстве. Здесь придётся продолжать не только рёбра, но и грани многогранника.
Возьмём правильные многогранники и продолжим их рёбра или несмежные грани до самопересечения. Естественно, не приведёт к цели продолжение рёбер треугольных граней и параллельных рёбер и граней.
Таким образом, из тетраэдра, у которого все грани треугольные и смежные, октаэдра – у него все грани треугольные, несмежные грани параллельны, куба – у него все смежные грани и рёбра параллельны – не получится звёздчатых правильных многогранников.
Р  ассмотрим додекаэдр. Продолжение его рёбер приведёт к замене каждой грани звёздчатым правильным пятиугольником (рис.6,а). Получим многогранник, который называется малым звёздчатым додекаэдром (рис.6, б).
Рис.6
При положении граней правильного додекаэдра (каждая грань продолжается до пересечения с пятью несмежными и непараллельными ей гранями) возникают две возможности.
Во-первых, при этом можно рассматривать правильные выпуклые пятиугольники (рис.7, а). Получим многогранник, который называется большой додекаэдр (рис. 7, б).
 
Рис.7
Во-вторых, в качестве граней можно рассматривать звёздчатые пятиугольники (рис.,8, а). Получим многогранник, который называется большой звёздчатый додекаэдр (рис.8, б).
 
Рис. 8
Таким образом, правильный додекаэдр имеет три типа правильных звёздчатых многогранников.
Р
Рис. 9
ассмотрим теперь правильный икосаэдр. Так как гранями правильного икосаэдра являются треугольники, то продолжение ребер не даст нового многогранника. При продолжении граней правильного икосаэдра имеется один случай, приводящий к многограннику, который называется большой икосаэдр (рис.9,а). при этом каждая грань правильного икосаэдра продолжается до пересечения с тремя гранями, смежными с параллельной ей гранью (рис. 9, б )
Таким образом, существуют четыре правильных звездчатых многогранника, которые, еще раз напоминаем, называются также телами Кеплера – Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.
На рисунке 10 изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром или «продолженным октаэдром», который был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти сто лет, в 1619 году, был переоткрыт И. Кеплером и назван им «Stella octangula» - звезда восьмиугольная.
Рис. 10
2.2 Моделирование звездчатых и полуправильных многогранников
Займемся изготовлением звездчатого многогранника. Имея модель правильного додекаэдра, очень просто изготовить модель малого звездчатого додекаэдра. Для этого необходимо изготовить двенадцать правильных пятиугольных пирамидок (развертка, которой показана на рисунке 11) с длиной ребра, равной длине ребра изготовленного додекаэдра, и наклеить их на все грани правильного додекаэдра.
Рис. 11
Модель правильного додекаэдра можно изготовить из развёртки (см. рис.3) , а можно воспользоваться другим, очень занятным способом, описанным известным польским математиком Гуго Штейнгаузом в книге «Математический калейдоскоп». Способ изготовления заключается в следующем: развертку правильного додекаэдра надо разделить на звезды и наложить их одна на другую так, чтобы вышла десятиугольная звезда. Эту звезду следует обвязать резинкой, обходя ею углы поочередно сверху и снизу и прижимая модель свободной рукой к столу. Опустив теперь руку, увидим, что раскрывшаяся звезда превратится в пространственную модель правильного додекаэдра.
После того как модель правильного додекаэдра готова, строится модель правильной пирамиды, изготавливаются 12 пятиугольных пирамидок, по числу граней правильного додекаэдра, которые наклеиваются на его грани. Модель малого додекаэдра готова.
Свой способ изготовления модели многогранников из разверток описывает английский математик М. Веннинджер в книге « Модели многогранников».
Приведем несколько примеров конструирования полуправильных многогранников.
1.Усеченный тетраэдр (рис. 12) .
Э
Рис. 12
тот многогранник будет выглядеть весьма эффектно, если его шестиугольные грани раскрасить разными цветами обратимся к рисунку 13 и с его помощью раскрасим грани. Буквами обозначены цвета желтый – Ж (1, 7), синий – С (2,8), оранжевый – О (3,5), красный – К (4,6).
Рис. 13
При этом каждая треугольная грань получает тот же цвет, что и противоположная шестиугольная грань, параллельная ей.
2. Усеченный октаэдр (рис. 14)
Д
Рис. 14
ля раскраски этого многогранника используется пять цветов: раскраска шестиугольных граней модели должна совпадать с раскраской граней октаэдра (четыре пары противоположных параллельных граней окрашиваются в четыре разных цвета). Для квадратов в усеченном октаэдре применяется пятый цвет.
Развертку некой чаши, которая составляет ровно половину модели усеченного октаэдра, дана на рисунке 15. раскраска граней такова: 1-Ж – желтый цвет, 2, 4, 6 -З – зеленый, 3-С – синий, 5-О – оранжевый, 7-К – красный.
Рис. 15
Склеив чашу и получив половину модели усеченного октаэдра, не составит труда подклеить остальные части – нужно только последить за тем, чтобы противоположные грани были одного цвета. В последнюю очередь надо подклеить какой-нибудь квадрат.
Заключение
В реферате были рассмотрены разнообразные виды многогранников их свойства и способы конструирования. Впрочем, многогранники отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.
Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.
Итак, благодаря правильным многогранникам, открывается не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.
Список литературы
Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии. Библиотека журнала «Математика в школе» 7’98. – М., Школа – Пресс, 1998
Вернер А.Л. Математика: Учебное пособие для 10 класса гуманитарного профиля. – М.: Просвещение, 1999
Винниджер М. Модели многогранников. М.: Просвещение, 1975.
Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995
Смирнова И.М. Геометрия 10-11. – М.: Просвещение, 1997.
Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: Пособие для общеобразовательных заведений. – М.: Дрофа, 2000.
|
