Тема: «Комбинаторика»
Скачать 128.57 Kb.
|
| Занятие второе Тема: «Комбинаторика» Цель : Обучающая: 1)научит решать простейшие комбинаторные задачи Развивающие: Воспитывающие: Ход урока.
Каждый ученик получает лист бумаги жёлтой, а также 3 полоски белого, голубого и красного цвета и клей. Из полосок нужно склеить трёхцветный флаг. Все поученные флаги собираются и сосчитывается . сколько разных флагов может получиться. Итак, получилось 6 флагов. Демонстрируются флаги на слайде Зная комбинаторику мы сможем найти ответы на многие интересные вопросы: сколько существует трёхзначных чисел, сколькими способами в футбольной команде можно выбрать капитана и его заместителя, сколькими способами 8 человек могут встать в очередь к театральной кассе, сколько существует семизначных чисел, не содержащих цифры 5 и, наконец, какова вероятность выиграть в русское лото. Очень интересно! Неужели и мы - пятиклассники сможем это понять? Вот почему решили мы заняться комбинаторикой. Уж очень интересно получится ли у нас - пятиклассников решать такие сложные задачи. Так появился этот проект. История развития комбинаторики С задачами, получившими название комбинаторных, оказывается, люди сталкивались в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т.д. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки всемирно известный немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц. В 1666 году Лейбниц опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве». В своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины , находит все k -сочетания из n элементов, выводит свойства сочетаний, строит таблицы сочетаний, после чего рассуждает о приложениях комбинаторики к логике, арифметике, к проблемам стихосложения и др. Мечтой Лейбница, оставшейся неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории. В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Леонарду Эйлеру. Он рассматривал задачи о разбиении чисел, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов. В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли, в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных сооружений и т.д. Комбинаторные задачи физики, химии, биологии, экономики и других наук, которые не поддавались ранее решению из-за трудоемкости вычислений, стали успешно решаться на ЭВМ. В результате этого комбинаторные методы исследования все глубже проникают во многие разделы науки и техники. В частности, с помощью ЭВМ решена проблема четырех красок: доказано, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие две страны, имеющие общую границу, не были окрашены в один и тот же цвет. Пора перейти к общим понятиям. 2.3. Перестановки Два элемента a и b могут быть выписаны в строчку всего двумя способами: ab и ba. Для трёх элементов, существует 6 вариантов. Посчитаем и число перестановок для 4 элементов: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321. Всего 24 перестановки, расположенные в 4 столбца по 6 перестановок в каждом. Для числа перестановок n элементов есть обозначение: n! (читаем: «эн факториал»). Факториал равен произведению всех натуральных чисел от n до 1. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4= 24. Здорово! Одна строчка, а перебирая все возможные случаи выше , сколько записи всех перестановок. А если бы было не 4 элемента, а 8? Значит, и не надо было выписывать все возможные перестановки. Неужели так просто. Вот задачи, которые мы смогли решить. Задача № 2. Сколько способами в басне И.А.Крылова «Квартет» могут рассесться участники Квартета? Решение: Проказница мартышка, Осел, Козел, Да косолапый мишка Затеяли сыграть Квартет. Достали нот, баса, альта, две скрипки И сели на лужок под липки – Пленять своим искусством свет. Ударили в смычки, дерут, а толку нет. «Стой, братцы, стой!» - кричит мартышка. – «Погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите. Ты с басом Мишенька садись против альта, Я, прима, сяду против вторы; Тогда пойдет уж музыка не та: У нас запляшут лес и горы!» Расселись, начали Квартет, Он все-таки на лад нейдет. «Постойте ж, я сыскал секрет! – Кричит Осел, - мы верно уж поладим, Коль рядом сядем.» Послушались осла, уселись чинно в ряд; А все-таки Квартет нейдет на лад. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть. Случилось Соловью на шум их прилететь. Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье. «Пожалуй, - говорят, - возьми на час терпенье, Чтобы Квартет в порядок наш привесть: И ноты есть у нас, и инструменты есть, Скажи, лишь как нам сесть!» - «Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье И уши ваших понежней, - Им отвечает Соловей, - А вы, друзья, как ни садитесь, все в музыканты не годитесь». Значит нужно узнать способами могут рассесться участники Квартета? Квартет состоит из четырех участников. Число способов равно числу перестановок из 4 элементов. 4*3*2*1=24. Значит, существует 24 способа. Ответ: 24 способа. Задача № 3. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Решение: На I дорожке может встать любая из 8 участниц, на П место претендентов уже 7, на Ш место – 6, на IV место – 5, на V место - 4, на VI – 3, на VП – 2, на а на последнем – I. Значит, речь идет о перестановках из 8 элементов. 8*7*6*5*4*3*2*1 = 8! Ответ: Число способов равно 8! Задача № 4. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу? Решение: На I место может встать любой из 9 человек, на П место претендентов уже 8, на Ш место – 7, на IV место – 6, на V место -5, на VI – 4, на VП – 3, на VШ – 2, а на последнем – I. Значит, речь идет о перестановках из 9 элементов. 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 9! Ответ: Число способов равно 9! Задача № 5. Лена, Света, Маша, Катя и Наташа пришли к зубному врачу. Сколькими способами они могут встать в очередь? Решение: Рассуждения аналогичные решению задачи № 4: 4*3*2*1 = 4! = 24 Ответ: 24 способа. .4. Размещение Следующее важное понятие комбинаторики — размещение Задача № 1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов. Решение:
Ответ: 8 обедов. Задача № 2. «Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?». Решение:
Значит, можно составить 4·3·2 = 24 трехзначных числа. А если не выписывать сами числа и не строить дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24. Ответ: 24 способа. Вообще, через  (читаем: «цэ из эн по m») обозначают число способов выбрать из данных n элементов сначала первый элемент, потом второй, третий,..., m-й. По правилу произведения вычисляем его по формуле «Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые m элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все m элементов, равно произведению n1·n2·n3·…·nm». = n (n – 1) ... (n – m + 1). Формулу можно записать и через факториалы:  Как же применять эту формулу? Проверим эту формулу на предыдущей задаче.  . Формула работает. Действительно получается 24 трехзначных числа. Задача № 2. В классе, в котором 25 учеников, нужно выбрать старосту, его заместителя и помощника заместителя. Сколькими способами это можно сделать? Решение:
Всего имеем:     Ответ: 13800 способов. Задача № 3. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и вратаря. Сколькими способами это можно сделать? Решение: 1. Капитаном может стать любой из 11 футболистов. 2. После выбора капитана на роль вратаря могут претендовать 10 оставшихся человек. Таким образом, есть 11 · 10 = 110 разных вариантов выбора. Ответ: 110 способов. 5. Физкультминутка -Давайте немножко взбодрим наше тело. Встаньте, пожалуйста, около своих парт и повторяйте за мной: Руки подняли и помахали Это деревья шумят. В стороны руки и помахали Это к нам птицы летят. Быстро присели, руки сложили В норке зверюшки сидят. Встали и тихо за парты все сели .5. Число сочетаний Вообще, очень важные для комбинаторики и теории вероятностей числа сочетаний (читаем: «число сочетаний из эн по эм» или «це из эн по m») можно вычислить по формуле  К сожалению, ни для точного определения, ни для свойств чисел сочетаний здесь места не нашлось. Но для первого знакомства с комбинаторикой сказанного и так предостаточно. Вернёмся лучше к нашим обычным задачам, оставив теорию на будущее. Хочется быстрее научиться решать. Рассмотрим примеры: В классе из 25 человек нужно выбрать актив класса (у всех равные права). Сколькими способами это можно сделать? Решение: В предыдущем разделе мы решали задачу: В классе, в котором 25 учеников, нужно выбрать старосту, его заместителя и помощника заместителя. Сколькими способами это можно сделать? В отличии от этой задачи, в данной задачи из 25 человек нужно выбрать не старосту, его заместителя и помощника его заместителя, а тройку начальников, которые, обладая равными правами, будут управлять и судить класс, не выясняя, кто из троих главный, кто менее главный, а кто так себе. Тогда способов будет не . 3! —количество всех перестановок на множестве из 3 элементов.). Поэтому где тоже выбирали 3 человек, но сначала одного, после другого, а из оставшихся – третьего, здесь в 6 раз меньше., т.е. Задача № 2. Число пятиклассников, участвующих в школьной математической олимпиаде 38 человек. Требуется узнать, сколькими способами можно выбрать трёх призёров. Решение: Для решения воспользуемся формулой:  3. Число учеников участвующих в конференции n человек. Требуется узнать, сколькими способами можно выбрать трёх призёров. ( приложение0 А вот следующая Задача. Не секрет, что мальчики, особенно большие, любят здороваться за руку. Подсчитайте, сколько было утром рукопожатии, если все мальчики класса перездоровались друг с другом. Обсуждается решение и проверяется на практике. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Содержание Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.) французский автор... |  | Выполнил ученик 10 класса «В» Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.) французский автор... |
| Методические рекомендации для проведения курса «Комбинаторика» ... | | Методические указания по подготовке к семинарским занятиям Кемерово 2010 С. К. Ашванян, д-р экон наук, проф. (тема 3); Т. А. Сапожникова, канд экон наук, доц. (предисловие, тема 2); Е. А. Плосконосова,... |
| Тема: Насекомые. Изделие "Пчелы и соты" Межпредметные связи: Окружающий мир, раздел "Что и кто?", тема "Кто такие насекомые?"; раздел "Почему и зачем?", тема "Почему мы... | | Методические указания для проведения практических занятий Тема Основы... Тема 3 – Закономерности взаимодействия организма человека с чужеродными веществами. Механизмы токсичности |
| Методические рекомендации по изучению дисциплины «Теория и методика обучения музыке» Тема Музыка И. С. Баха в идейном контексте Нового времени и Просвещения Тема Идейное наполнение музыки Л. В. Бетховена Тема Романтизм... | | Урок музыки в 7 классе учителя Хаджимовой Светланы Нурбиевны Использована... Расширить представления о значимости героической музыки в воспитании подрастающего поколения |
| Реферат по экологии Ученицы 11 «г» класса (экстернат) Поэтому человек никогда не одинок полностью. С ним всегда его мысли и чувства. Вот насчёт чувств и эмоций, связанных с экологией,... | | Тема Общение Тема Предмет и задачи дисциплины Тема Разновидности научного стиля речи. Жанры собственно научного и научно-информативного стилей речи |
| Программа курса по выбору Магистратура факультета философии Магистерская... Тема Музыка И. С. Баха в идейном контексте Нового времени и Просвещения Тема Идейное наполнение музыки Л. В. Бетховена Тема Романтизм... | | 1 Значение овощей в жизни человека 7 Тема Весенние работы в овощеводстве.... Тема Осенние работы в овощеводстве. Уборка урожая, закладка его на хранение 10 |
| Урок тема Тема урока сегодня «Основные положения теории электролитической диссоциации». Эта тема является продолжением предыдущего занятия.... | | Сказка А. С. Пушкина опера Н. А. Римского-Корсакова «Сказка о царе Салтане» Н. А. Римского-Корсакова "Сказка о царе Салтане": вступление; тема моря (Черномора и богатырей); тема песни белки «Во саду ли, в... |
| Жукова Надежда Николаевна учитель биологии моу «Нижнекулойская средняя... Тема урока: «Биология – наука о живой природе. Царства живой природы. Среды обитания организмов» | | Жукова Надежда Николаевна учитель биологии моу «Нижнекулойская средняя... Тема урока: «Биология – наука о живой природе. Царства живой природы. Среды обитания организмов» |
