Методические рекомендации для проведения курса «Комбинаторика»

Братский район муниципальное общеобразовательное учреждение «ИЛИРСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2» 665748, Иркутская область, Братский район, п. Прибрежный, пер. Школьный, 4 тел./факс (3953) 408-304, Е-mail: scola-prib@yandex.ru Методические рекомендации для проведения курса «Комбинаторика» Разработала: Шехирева Галина Владимировна I квалификационная категория Содержание Введение…………………………………………………………………………..3 Глава I. Общие понятия комбинаторики. § 1. Исторические сведения……………………………………………... 7 § 2. Комбинаторные принципы сложения и умножения………………. 9 § 3. Основные формулы комбинаторики. 3.1 Размещения………………………………………………………… 15 3.2 Перестановки……………………………………………………… 17 3.3 Сочетания………………………………………………………… 20 § 4. Треугольник Паскаля………………………………………………... .23 § 5. Бином Ньютона………………………………………………………..24 § 6. Правила для решения комбинаторных задач………………………..25 Глава II. Методика введения комбинаторных задач в V – VI классах………28 § 1. Характеристика комбинаторных задач…………………………….. 30 § 2. Подготовительный этап – непосредственное составление соединений из небольшого количества предметов……………….. .37 § 3. Обучение решению комбинаторных задач с использованием систематического перебора всех возможных вариантов…………..38 § 4. Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов……………………….………………………………………42 § 5. Обучение решению комбинаторных задач с помощью способа умножения…………………………………………………………..52 Глава Ш. Методические рекомендации для организации факультативных занятий в IX – XI классах……………………………………………55 Глава IV. Олимпиадные задачи из области комбинаторики………………….61 Глава V. Педагогический эксперимент………………………………………...69 Заключение ……………………………………………………………………....72 Приложение 1. Задачи по комбинаторике……………………………………..73 Приложение 2. Ответы и указания ……………………………………………80 Приложение 3. Основные формулы комбинаторики………………………….82 Приложение 4. Тематика занятий по комбинаторике…...…………………… 83 Список литературы………………………………………………………………84 Введение Природа щедро наделила человека, но два ее дара трудно переоценить, это способность мыслить и передавать свои мысли посредством речи. Способность человека четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли необходима каждому: ученому и руководителю, врачу и преподавателю и т.д. Развитие мышления учащихся – одна из основных задач школьного обучения. Мышление школьника проявляется в умении анализировать, синтезировать, обобщать, конкретизировать и т.д., то есть, в умении применять различные приемы мыслительной деятельности при изучении материала, решении задач и доказательстве теорем. Перед учителем стоит задача не только обучать учащихся отдельным мыслительным приемам, но и развивать умение делать выбор того или иного приема в зависимости от содержания изучаемого материала; выработать привычку самостоятельного применения этих приемов. Указанную методическую задачу можно выполнить в процессе обучения на уроках и внеклассных занятиях по математике. Внеклассные и факультативные занятия, играя немаловажную роль в развитии мышления, способностей и склонностей учащихся, позволяют углубленно изучать отдельные вопросы математики, устанавливать межпредметные связи. Рассматривая тему «Комбинаторные задачи в школьном курсе математики» в своей работе, мы преследовали цель рассмотреть возможность обучения решению комбинаторных задач учащихся V – VI классов («неформальному» методу – перебора) и учащихся IX – XI классов (формальному методу, т.е. применению формул для решения конкретных комбинаторных задач) В разделе «Тематическое планирование учебного материала» программа по математике предполагает варианты планирования, ориентированные на использование действующих учебников и на учебные пособия для школ (классов) с углубленным изучением математики[25]. Планирование учебного материала в V – VI классах, с использованием учебников под редакцией Дорофеева В.Г. и Шарыгина И.Ф., предусматривает изучение комбинаторной линии. В V классах 5 часов отводится на тему «Перебор возможных вариантов», основной целью, которой является: сформировать первоначальные навыки решения комбинаторных задач. В VI классе 6 часов отводится на изучение темы «Комбинаторика», целью которой является: развить умение решать комбинаторные задачи методом полного перебора вариантов, познакомить с приемом решения комбинаторных задач умножением. Затем введение комбинаторной линии продолжается в IX классе для школ (классов) с углубленным изучением математики, но не является обязательным, а уже в XI классе рассматривается раздел « Элементы комбинаторики», на изучение которого по программе [25] рассчитано 10 – 12 часов. Изучение данного раздела начинается с изучения метода математической индукции, доказательства тождеств и факториала. Затем изучаются комбинаторные принципы сложения и умножения, основные формулы комбинаторики: размещения, перестановки и сочетания (без повторений и с повторениями), а тема «Бином Ньютона» является дополнительной темой и по рассмотрению учителя ее можно не изучать. После изучения раздела «Элементы комбинаторики» программа предусматривает возможность изучения раздела «Элементы теории вероятностей и математической статистики», как дополнительного и необязательного раздела. Для выполнения работы была выбрана тема «Комбинаторные задачи в школьном курсе математики» Дидактическое, воспитательное и практическое значение темы чрезвычайно велико. Элементы комбинаторики помогают установить многочисленные внутри - межпредметные связи. Комбинаторика – это раздел дискретной математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Комбинаторика или комбинаторный анализ тесно связаны с целым рядом других областей дискретной математики – как теоретических, так и прикладных. К теоретическим областям относятся такие, как теория конечных множеств, теория вероятности, теория графов, высшая алгебра, теория групп и теория чисел, а к практическим – сетевое планирование и управление, программирование, языки и алгоритмы ЭВМ, кодирование и декодирование, математические основы биологии, исследование операций Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности. Например, конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому – агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав, лингвисту – учесть различные варианты значений букв незнакомого языка и т. д. Проблема исследования заключалась в систематизации и обобщении существующих разработок по данной теме для формирования у учащихся знаний, умений и навыков по комбинаторике. Объектом исследования был выбран процесс обучения школьников V – VI классов теме: «Комбинаторные задачи». Цель исследования состояла в разработке методики обучения учащихся V – VI классов решению комбинаторных задач и методических рекомендаций для организации факультативного курса в IX – XI классах по теме «Элементы комбинаторики». На основе этого была выдвинута гипотеза, что разработанная методика позволяет эффективно проводить обучение данной темы. В первой главе дипломной работы содержатся сведения из истории развития комбинаторики как науки; комбинаторные принципы и основные формулы комбинаторики, рассмотренные при помощи задач. Вторая глава посвящена характеристике комбинаторных задач и методике обучения решению комбинаторных задач. Третья глава касается вопросов, связанных с методическими рекомендациями для организации факультативных занятий в IX-XI классах по теме «Элементы комбинаторики». В четвертой главе представлены решенные олимпиадные задачи по комбинаторике. В пятой главе описаны результаты опытной проверки. ГЛАВА I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ. § 1. Исторические сведения. С задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т. д. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т. д. (например, задача о расстановке восьми ферзей на шахматной доске, так чтобы ни один из них не оказался под боем при обходе всех полей шахматным конем). Потому, что в жизни привилегированных слов тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. Комбинаторика становится наукой лишь в XVII веке – в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. Одним из первых занялся подсчётом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Н. Тарталья. Он составил таблицу показывавшую, сколькими способами могут выпасть r костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами (например, 1+3+4=4+2+2). После первых работ, выполненных в XVIв. итальянскими учёными Дж. Кардано, Н. Тартальей и Галилеем, теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли французские ученые Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были проблемы азартных игр. Большую роль сыграла задача о разделе ставки, которую предложил Паскалю его друг: «Матч в орлянку ведётся до шести выигранных партий; он был прерван, когда один игрок выиграл 5 партий, а другой – 4; как разделить ставку?» Ясно, что раздел в отношении 5/4 несправедлив. Применив методы комбинаторики, Паскаль решил эту задачу в общем случае, когда одному игроку остается до выигрыша r партий, а второму s партий. Другое решение нашёл Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 г работу “Об искусстве комбинаторики”, в которой впервые появляется сам термин “комбинаторный”. Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л. Эйлеру. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, задач по составлению расписаний, в биологии – для изучения состава белков и ДНК, в механике сложных сооружений и т. д. По мере развития комбинаторики выяснилось, что, несмотря на внешнее различие изучаемых вопросов, многие из них имеют одно и тоже математическое содержание и сводятся к задачам о конечных множествах и их подмножествах. Постепенно выявилось несколько основных типов задач, к которым сводится большинство комбинаторных проблем.

Похожие:

	Методические рекомендации по организации изучения дисциплины Методические... Программа курса предназначена для студентов 3-го курса (5-й семестр) отделения логопедии		Методические рекомендации по проведению курса по выбору В пособие даны методические рекомендации по организации занятий курса по выбору «Физика в сельском хозяйстве» для второго года обучения...
	Методические рекомендации по подготовке к экзаменам Методические рекомендации по подготовке экзаменационных материалов для проведения государственной итоговой аттестации по выбору обучающихся,...		Методические рекомендации по разработке экзаменационных материалов... Данные методические рекомендации составлены с учетом особенностей организации и проведения государственной итоговой аттестации выпускников...
	Методические рекомендации по разработке экзаменационных материалов... Данные методические рекомендации составлены с учетом особенностей организации и проведения государственной итоговой аттестации выпускников...		Методические рекомендации для преподавателя 88 Общие методические... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Методические рекомендации и контрольные задания для студентов V курса Фоминых С. Г., Скальский С. В. Методические рекомендации и контрольные задания для студентов V курса заочного отделения фармацевтического...		Методические рекомендации по разработке заданий для школьного и муниципального... Методические материалы содержат рекомендации по порядку проведения олимпиад по экономике, требования к структуре и содержанию олимпиадных...
	Методические рекомендации для студентов 4 курса стоматологического факультета ...		Методические рекомендации по изучению курса «Основы менеджмента обсуждены... Методические рекомендации предназначены для студентов очной, заочной формы обучения
	Методические рекомендации по внеаудиторной самостоятельной работе... Методические рекомендации предназначены для проведения внеаудиторной самостоятельной работы студентами в соответствии с рабочей программой...		Методические рекомендации базлов С. Н., Вакулин Г. В.,Королюк Е. Г,Бабаян К. В.,Нечаева Ю. С Общеврачебная практика (терапевтический, хирургический и акушерский профиль) Методические рекомендации для студентов 4 курса педиатрического...
	Методические рекомендации для преподавателей Челябинск 2007 Методические рекомендации предназначены в помощь преподавателям Челябинского юридического колледжа и его структурных подразделений...		Методические рекомендации к изучению курса «Обществознание 10-11кл».... Методические рекомендации к учебнику «Обществоведение. 10-11» под ред. Л. Н. Боголюбова
	Методические рекомендации «Культурология. Содержание курса и методические... Ставропольская государственная медицинская академия Министерства здравоохранения и социального развития		Гбоу впо «Уральская государственная медицинская академия» Министерства... Биоэтика: Программа курса / методические рекомендации. – Екатеринбург, угма, 2012