Методические рекомендации для проведения курса «Комбинаторика»
Скачать 0.92 Mb.
|
Рассмотрим задачу «Секретный замок»Для запирания сейфов и автоматических камер хранения применяют секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное слово». Это слово набирают с помощью одного или нескольких дисков, на которых нанесены буквы (или цифры). Пусть на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова? Решение: По формуле (2) общее число комбинаций равно  Значит, неудачных попыток может быть 248831. Обычно сейфы делают так, что после первой же неудачной попытки открыть их раздается сигнал тревоги. 3.2 Перестановки а) Перестановки без повторений. При составлении размещений без повторений из n элементов по k мы получали расстановки, отличающиеся друг от друга и составом, и порядком элементов. Но если брать расстановки, в которые входят все n элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Такие расстановки называются перестановками из n элементов, или n-перестановками. Число n-перестановок обозначается  .Так как n-перестановками называют размещение без повторения из n элементов, в которые входят все элементы, то формула для получается из формулы для числа размещений без повторений: (3)Чтобы узнать, сколько перестановок можно составить из n элементов, надо перемножить все натуральные числа от 1 до n. Это произведение называется «n-факториал» и обозначается n!. Следовательно,  (4)(1! =1, 0! =1 из свойств факториала). Значит формулу (1) для числа размещений, можно записать через факториал:   (5)Т.к.  Рассмотрим «Задачу о ладьях». Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга? Решение: При таком расположении ладей на каждой горизонтали и каждой вертикали стоит по одной ладье. Возьмем одно из этих расположений и обозначим через а1 номер занятого поля на первой горизонтали, через а2 – на второй, …, через а8 – на восьмой горизонтали. Тогда (а1, а2, …, а8) является некоторой перестановкой чисел 1, 2, …, 8. Значит, число искомых расположений ладей равно числу перестановок чисел 1, 2, …,8, т.е.  = 8! =1*2*3*4*5*6*7*8 = 40 320.Следовательно, ладьи можно расположить требуемым образом 40320 способами.б) Перестановки с повторениями.Мы рассматривали переставляемые предметы, которые были попарно различны, но если же некоторые переставляемые предметы одинаковы, то получается меньше перестановок,– некоторые перестановки совпадают друг с другом.Общая задача формулируется следующим образом: Имеются предметы k различных типов. Сколько перестановок можно сделать из n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа,… , nk элементов k-го типа? Число элементов в каждой перестановке равно n = n1 + n2 +…+ nk. Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. Элементы первого типа можно переставлять друг с другом n1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно так же ничего не меняет n2! перестановок элементов второго типа, …, nk! перестановок элементов k-го типа. Перестановки элементов первого типа, второго типа и т.д. можно делать независимо друг от друга. Поэтому элементы перестановки можно переставлять друг с другом n1! n2!… nk! способами, так что бы перестановка осталась неизменной. Следовательно, множество всех n! перестановок распадается на части, состоящие из n1 n2! … nk! одинаковых перестановок каждая. Значит, число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, равно:  (6)где n=n1+n2+…+nk. Задача: Сколько перестановок можно сделать из букв слова “мама”? Решение: Здесь две буквы “м” и две буквы “а”. Значит, по формуле (6) число перестановок равно  3. 3 Сочетания. а) Сочетания без повторений. В тех случаях, когда нас не интересует порядок элементов в комбинации, а интересует лишь ее состав, говорят о сочетаниях. k-сочетаниями из n элементов называют всевозможные k-расстановки, составленные из этих элементов и отличающихся друг от друга составом, но не порядком элементов. Число k-сочетаний, которые можно составить из n элементов, обозначается через  .Формула для числа сочетаний легко получается из формулы для числа размещений. Составим сначала все k-сочетания из n элементов, а потом переставим входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами. При этом получатся все k-размещения из n элементов, причем каждое только по одному разу. Но из каждого k-сочетания можно сделать k! перестановок, а число этих сочетаний равно . Значит, справедлива формула (7)Задача. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску восемь коней? Решение. Для решения этой задачи, необходимо выбрать из 64 клеток шахматной любые 8 клеток. А это можно сделать  способами.б) Сочетания с повторениями. Общая формулировка задач: Имеются предметы различных типов, сколько k – комбинаций можно сделать из них, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации (различные комбинации должны отличаться хотя бы одним предметом)? При решении задач данного типа надо в каждом сочетании расположить элементы по типам (сначала все элементы первого типа, потом второго типа и т. д.). А затем перенумеровать все элементы в сочетании, но к номерам второго типа прибавить 1, третьего типа прибавить 2 и т. д. Тогда из каждого сочетания с повторениями получится сочетание без повторений, состоящие из чисел 1,2,…,n+k-1, причем в каждое сочетание входит k элементов. Обозначается сочетание с повторениями через  и вычисляется по формуле: (8)Рассмотрим пример: «Задача о пирожных» В кондитерском магазине продавали 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Решение: Данная задача не является задачей на размещения с повторениями, так как порядок, в котором укладываются пирожные в коробку, несуществен. Поэтому эта задача - на сочетания, но так как в комбинации могут входить повторяющиеся элементы, то эта задача на сочетания с повторениями. Воспользуемся формулой (8) для решения задачи, т.е.  способов.в) Свойства числа сочетания. Числа  обладают рядом замечательных свойств:
Эти свойства можно будет доказать различными способами: можно воспользоваться формулой (7), а можно получить доказательства комбинаторным путем: сначала подсчитать число комбинаций некоторого вида и разбить эти комбинации на классы без общих элементов, затем найти, сколько комбинаций входит в каждый класс, и, складывая полученные числа, снова получаем число всех комбинации данного вида. § 4.Треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля, является таблицей числа сочетаний . С помощью таблицы 1.2 можно последовательно вычислять , сначала при n=0, затем при n=1, при n=2 и т.д.Таблица 1.2 «Треугольник Паскаля».
Чтобы вычислить , зная тождество (свойство 6):  , необходимо сложить 2 соседних числа одной строки и получить – число, стоящее в следующей строке под правым слагаемым. Например,  если (при n=4, k=2), то =6.Таблицу называют треугольником Паскаля по имени французского математика Блэза Паскаля (1623-1662), в трудах которого она встречается. Это название исторически неточно, так как таблицу уже знали арабские математики Каши и Хайям, жившие в XIII веке, а из европейских ученых с этой таблицей был знаком итальянский механик и математик Николо Тарталья (1500-1557). Поэтому эту таблицу называют арифметическим треугольником. § 5. Бином Ньютона Треугольник Паскаля является так же таблицей биномиальных коэффициентов, потому что числа, стоящие в строках арифметического треугольника, встречаются при возведении в степень двучлена а + в. Например,   Но коэффициенты 1,2, 1 – это числа, стоящие в третьей строке таблицы, т.е.  ; а 1, 3, 3, 1 – числа, стоящие в четвертой строке той же таблицы, т.е. .Значит можно выдвинуть гипотезу, что для любого n истинно равенство:  (9)Доказать равенство (9) можно с помощью метода математической индукции .
 (10)Докажем, что равенство (9) истинно при n = m + 1, т. е.  (11)Для того, чтобы доказать истинность равенства при n=m+1, умножим обе части равенства (10) на (a+b). Получим:   .Так как  , и  , то мы получаем:, а это равенство совпадает с равенством (11), которое необходимо получить из равенства (9) при n=m+1.Итак, доказав, что формула (9) верна при n=1,а из справедливости формулы при n=m вывели, что формула истинна и при n=m+1. Значит, формула (9) верна при всех натуральных значениях n. Формула (9) называется формулой бинома Ньютона, хотя известна была задолго до Ньютона Каши, Паскалю и др.Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел обобщение формулы (9) на случай нецелых чисел. С помощью бинома Ньютона можно доказать свойства для числа сочетаний. § 6. Правила для решения комбинаторных задач. При решении конкретной комбинаторной задачи надо сначала выяснить, не решается ли она непосредственно применением правил суммы и произведения. Если такое решение окажется затруднительным, то следует составить математическую схему решаемой задачи, выяснив, идет ли в ней речь о составлении подмножеств, допустимы или нет повторения. Различают несколько уровней решения комбинаторных задач. Начальным уровнем является поиск хотя бы одного расположения объектов, обладающего заданными свойствами (например, отыскание такого расположения десяти точек на пяти отрезках, при котором на каждом отрезке лежит не четыре точки, или такого расположения восьми ферзей на шахматной доске, при котором они не бьют друг друга). Иногда удаётся доказать, что данная комбинаторная задача не имеет решений (например, нельзя расположить 10 шаров в 9 урнах так, чтобы в каждой урне было не более одного шара – хотя бы в одной урне окажется не менее двух шаров). Если комбинаторная задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете числа таких решений, об описании всех решений данной задачи. Часто бывает, что различные решения данной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. В этом случае возникает проблема отыскания оптимального варианта решения такой задачи. Например, путешественник хочет выехать из города A, посетить города B,C и D, после чего вернуться в город А. На рисунке 1.2 изображена схема путей связывающих эти города. Различные варианты путешествия отличаются друг от друга порядком посещения городов B,C и D.  Рис.1.2Существует шесть вариантов путешествия, рассмотрим таблицу 1.1, в которой указаны варианты путешествия и длина каждого пути: Таблица 1.1
Из таблицы 1.1 видно, что кратчайшими являются пути ACDBA и ABDCA, отличающиеся друг от друга лишь направлением движения. ГЛАВА II. Методика введения комбинаторных задач в V-VI классах. В большинстве стран мира элементы комбинаторики изучаются в средней школе и считаются более важным математическим предметом, чем многие привычные для российских школьников разделы. В последние годы необычайно возросла роль комбинаторных методов не только в самой математике, но и в ее многочисленных приложениях: в физике, химии, биологии, лингвистике, технике, экономике. Расчет вероятностей приводит к комбинаторным задачам. Поэтому важно как можно раньше начать знакомить учащихся с комбинаторными методами и комбинаторным подходом.[17] В ряде исследований психологов и методистов показано, что элементы комбинаторики можно ввести в начальное обучение: это не требует никаких дополнительных знаний, кроме хороших навыков счета. Комбинаторика традиционно считается трудным предметом даже для старшеклассников. Поэтому младших школьников надо учить не готовым формулам, теоремам и определениям, а некоторым простейшим навыкам. Сначала дети должны научиться строить комбинации предметов, удовлетворяющих заданным условиям, находить среди этих комбинаций одинаковые и различные; затем они приобретают более сложные навыки – в упорядочении перебора, составлении таблиц, использовании дерева возможностей. Лишь после этого появляются первые формулы для подсчета количества возможностей или комбинаций предметов. Специально для младших школьников была разработана система комбинаторных задач и методика обучения этих задач[6],[7],[8]. В развитии детей младшего школьного возраста (V – VI классы) большую роль играют задачи, формирующие комбинаторный стиль мышления. Наиболее характерной чертой такого мышления является целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга возможностей при поиске решения задачи. Кроме того, в процессе обучения решению комбинаторных задач можно: 1) Расширить знания учащихся о самой задаче, например, о количестве и характере результата (задача может иметь не только одно, но и несколько решений – ответов или не иметь решения), о процессе решения (чтобы решить задачу не обязательно выполнять какие-либо арифметические действия), познакомить их с основным способом решения (методом перебора); 2) подготовить к решению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальное в данной ситуации решение; 3) организовать элементарную исследовательскую и творческую деятельность учащихся. Целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию такого качества мышления, как вариативность. Вариативность мышления – это направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задач в случае, когда нет специального указания на это.[8] Комбинаторные задачи, направленные на тренировку умственных способностей (остроты ума, быстроты ориентировки, выбора рациональных вариантов), позволяют формировать следующие комбинационные умения: расставлять, располагать, размещать числа или предметы, разрезать, разделять на части фигуры или тела, разменивать купюры или монеты, составлять узоры или паркеты, соединять части в одно целое, перекладывать или перекраивать вещи, переливать жидкости, перемещать, передвигать что-либо, перебирать возможные варианты. В своей книге «Математический тренинг» М.И.Зайкин отмечает следующее: «Если спортсмену надо выполнять физические упражнения, танцору – много танцевать, музыканту – играть на музыкальных инструментах, то для развития умственных способностей нужны упражнения другого сорта.» § 1. Характеристика комбинаторных задач. Специально для младших школьников была разработана система комбинаторных задач [8].Комбинаторные задачи отбирались адекватно методу перебора и с учетом возрастных психологических особенностей детей. Комбинаторные задачи можно решать различными методами. В статье Белокурова Е.Е.[8] методы условно разделили на «формальные» и «неформальные». При «формальном» методе решения необходимо определять характер выбора, выбирать соответствующую формулу или комбинаторное правило, подставлять числа и вычислять результат, т.е. количество возможных вариантов, когда сами же варианты в этом случае не образовываются [11], [12]. При «неформальном» методе решения составляются различные варианты. И главное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. «Неформальный метод» - это метод перебора. Метод перебора доступен младшим школьникам, позволяет накапливать опыт практического решения конкретных задач, а это служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул. Кроме того, в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а владея приемами систематического перебора, это можно сделать более рационально. Задачи, решение которых можно осуществить методом перебора, по сложности осуществления перебора можно разделить на три группы:
3. Задачи, в которых операции перебора производятся несколько раз и по отношению к разного рода объектам. Рассмотрим примеры таких задач: Задача 1. Расставляя знаки «+» и « - « между данными числами 9…2…4, составь все возможные выражения. Решение: Проводится полный перебор вариантов:
Задача 2. Учитель говорит, что он нарисовал в ряд четыре фигуры: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом, и предлагает ученику отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры. Решение: Всего существует 24 различных расположения этих фигур. И составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию, нецелесообразно, поэтому проводится сокращенный перебор:
Рис. 2.1
Рис. 2.2 Составляя эти варианты, ученики находят тот, который был задуман учителем. Задача 3. Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором три замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать? Решение: Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по одному ключу или по два разных ключа или по три.
а) Могут прийти первый и второй компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3 ключи); б) Могут прийти первый и третий компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 2 и 3); в) Могут прийти второй и третий компаньоны, у них будут все ключи (1 и 3, 2 и 3). Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить операцию перебора несколько раз. Совокупность комбинаторных задач, решаемых методом перебора, должна, удовлетворять принципу полноты. Поэтому необходимо, включать в изучение основные виды комбинаторных задач: на упорядочение элементов множества, на выбор подмножеств и их упорядочение. Можно составлять разнообразные задачи благодаря варьированию числа объектов, самих объектов, наличие дополнительных условий, повторяющихся элементов, способов упорядочения (слева направо, сверху вниз, по кругу и т.д.) Рассмотрим примеры некоторых задач: Задача 4. (На упорядочение предметов (по кругу), среди которых есть одинаковые): «Нарисуй, какие различные колечки можно сделать из пяти одинаковых маленьких бусинок и двух больших одинаковых бусинок». Решение: Две большие бусинки могут располагаться одна за другой, могут разделяться одной маленькой бусинкой или четырьмя маленькими бусинками, могут разделяться двумя и тремя маленькими бусинками (рис.2.3). Рис. 2.3 Задача 5. (На выбор подмножеств и их упорядочение (слева направо) при наличии дополнительных условий): «Запиши все двухзначные числа, которые можно составить из цифр 2, 4, 7 и 8, так, чтобы число десятков было больше числа единиц». Решение: 1) Цифра 2 самая маленькая из данных цифр, следовательно, она не может являться числом десятков; 2) Цифра 4 больше 2, но меньше 7 и 8, поэтому можно составить одно число, удовлетворяющее заданному условию – 42; 3) Цифра 7 больше 2 и 4, но меньше 8, значит, составляем два числа – 72 и 74; 4) Цифра 8 больше всех остальных данных чисел, поэтому составляем 3 числа – 82,. 84 и 87. Следовательно, получаем 6 двухзначных чисел. Ответ: 42, 72, 74, 82, 84 и 87. Задача 6. (На выбор по одному, по два из трех элементов с повторениями): «Сделай карточки для игры в геометрическое домино, используя три фигуры: круг, квадрат, треугольник». Решение:1) Составим карточки, на выбор по одному из трех данных фигур: 2)Составим карточки на выбор по два из трех заданных элементов: а) с повторением: б) без повторения: Комбинаторные задачи можно разбить на три вида, по характеру содержащегося в них требования:
Все рассмотренные выше задачи являются перечислительными. Поэтому рассмотрим примеры задач двух других видов: Задача 7. Из прямоугольного листа бумаги длиной 7 см и шириной 4см нужно вырезать 7 одинаковых деталей, таких как на рисунке 2.4. Можно ли это сделать? Рис. 2.4 Рис. 2.5 Ответ: Нельзя расположить 7 таких деталей в данном прямоугольнике (рис.2.5) Задача 8. Из прямоугольного листа бумаги длиной 6см и шириной 3см нужно вырезать одинаковые детали, такие, как на рис.2.4. Нарисуй, как расположить эти детали, чтобы получить их из этого листа как можно больше. Рис. 2.6 Ответ изображен на рисунке 2.6 Можно использовать и обратные комбинаторные задачи. Задача 9: В одном очень маленьком городе всего 10 различных маршрутов трамвая. Чтобы жители города вечером могли издалека определить номер трамвая, было решено сделать различные огоньки для каждого маршрута. Но 10 стекол различных цветов не нашли. Стекла оказались только 4 цветов: красного, желтого, синего и зеленого. Как же можно выполнить задуманное? Решение: задача решается методом перебора. Сначала необходимо обозначить каждый маршрут, используя по 2 разноцветных огонька: кс, кж, кз, сж, сз, жз ск, жк, зк, жс, зс, зж Так как варианты первого и второго рядов, расположенных друг под другом, можно перепутать, поэтому нужно взять 6 этих обозначений, а остальные 4 маршрута обозначить одним огоньком, например, так: 1 – кс, 2 – кж, 3 – кз, 4 – сж, 5 – сз, 6 – жз,. 7 – с, 8 – к, 9 – з, 10 – ж. Если учитывать психологические особенности младших школьников, то исходя из того, что у детей данного возраста еще сохраняется тесная связь в мышлении с практическими действиями, то при подборе задачи необходимо обеспечить постепенный переход от манипуляции с предметами к действиям в уме. Рассмотрим примеры: Задача 10: В воскресенье трое друзей (Маша, Саша, Дима) решили пойти в парк. Они пришли к аттракциону «Автодром». По правилам на одну машину садятся двое: водитель и пассажир. Чтобы никому не было обидно, ребята решили: каждый должен побывать водителем, и каждый должен покататься одинаковое количество раз. Какое решение они нашли? Решение: В данной задаче есть возможность решить ее, разыграв сценку с детьми и выполняя, таким образом, реальные преобразования с реальными объектами. Составляются следующие пары: Маша – Саша, Саша – Дима, Дима -Маша (имя водителя подчеркнуто). Задача 11: Переставляя только числа, составь все возможные выражения: 10+8 - 9. Решение: 10 + 9 - 8, 8 + 10 - 9, 8 + 9 - 10, 9 + 8 - 10, 9 + 10 - 8. Методика обучения решению комбинаторных задач строится с учетом психологических особенностей детей младшего школьного возраста и направлена на развитие мышления. Способы действий не даются «в готовом виде»,а дети сами приходят к их «открытию», накапливая опыт. Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач и различных возможностей их решения (разный ход рассуждений, средства организации перебора, способы обозначения объектов) обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соответствии с его индивидуальными особенностями. В обучении должна соблюдаться этапность. Основное направление работы – это переход учащихся от осуществления случайного перебора вариантов к проведению систематического перебора сначала без использования средств организации, а затем с их помощью. § 2. Подготовительный этап – непосредственное составление соединений из небольшого количества предметов. Первый этап - подготовительный. На этом этапе учащиеся приобретают опыт образования объектов из отдельных элементов. Новые объекты ученики составляют, осуществляя хаотический перебор, и от них не требуется найти все возможные варианты в данной задаче. Например, можно рассмотреть следующие задачи: Задача 1: Составь из трех одинаковых по размеру кубиков красного, желтого и синего цвета, несколько отличающихся друг от друга построек. Задача 2: Скажи, из каких фигур составлен первый домик (рис.2.7). Дорисуй второй домик так, чтобы изменился порядок расположения фигур. Раскрась домики так, чтобы они отличались по цвету друг от друга. Рис. 2.7 В процессе решения таких задач учащиеся приобретают опыт хаотического перебора возможных вариантов. И на основе этого опыта в дальнейшем можно будет обучать детей организации систематического перебора. На подготовительном этапе идет также работа над совершенствованием мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения), которые входят в состав деятельности при решении комбинаторных задач. Особое внимание уделяется сравнению объектов, состоящих из отдельных элементов. Сравнение можно проводить по следующим основаниям: числу элементов, составу, входящих в объект элементов, порядку расположения элементов в объекте. Например: Рассмотри внимательно колечки из бусинок (рис.2.8) . Скажи, что изменяется от одного колечка к другому. Рис. 2.8 Примеры комбинаторных задач, решаемых непосредственным составлением соединений, приведены в приложении №1 (задачи 1-8). § 3. Обучение решению комбинаторных задач с использованием систематического перебора. Второй этап – решение задач. На втором этапе, основная цель – обучение школьников решению комбинаторных задач с использованием систематического перебора всех возможных вариантов. Необходимо решать задачи с небольшим числом возможных вариантов. Рассмотрим, каким образом можно подвести учеников к идее организации перебора в определенной системе, как мотивировать переход от хаотичного к систематическому перебору. Разыгрывается следующая ситуация: Маша, Настя и Катя едут в электричке на дачу. Они сидят на одной скамеечке. (Трое девочек садятся у доски на стулья в любом порядке.) Детям нужно было проехать 8 остановок. Чтобы не было скучно ехать, они решили на каждой остановке меняться местами. Ставится вопрос «Смогут ли дети каждый раз меняться местами так, чтобы их новое расположение оказывалось все время отличным от предыдущих?» Ученики предлагают варианты расположения детей, они проигрываются у доски и записываются. Перебор пока осуществляется случайным образом, хаотично. После того, как найдены 6 вариантов, ученики стараются составить другой, новый вариант. Все их попытки сделать это не приводят к успеху. Встает вопрос «Почему они не нашли 7-ой вариант: не могут это сделать или его не существует и уже найдены все возможные расположения?». Чтобы ответить на него, учащимся предлагается рассмотреть составленные 6 вариантов, найти и записать пары вариантов, очень похожие друг на друга: например, М. К. Н. К. М. Н. Н. М. К. М. Н. К. К. Н. М. Н. К. М. Полученная последовательность вариантов анализируется. Учащиеся замечают, что все девочки сидели у окна и, когда одна из них сидит у окна, то две другие могут разместиться двумя различными способами. Таким образом, дети убеждаются в том, что можно составить только 6 различных вариантов, других быть не может. Затем учитель просит учеников по записанным вариантам еще раз рассказать, какой способ пересаживания был выбран во втором случае. И обращает внимание на то, что, используя его, можно быстро составить варианты не повторяя дважды одни и те же, и быть уверенными, что найдены все возможные варианты. В дальнейшем решение задач хаотическим перебором не запрещается. Но те ученики, которые проводят перебор в определенной последовательности (системе), поощряются. Предложенные ими способы разбираются и подчеркиваются преимущества осуществления такого перебора. Постепенно дети убеждаются в пользе систематического перебора и приучаются его использовать. В одной и той же задаче можно выбрать разную систему перебора, и каждый ученик сам решает, как он будет действовать. Можно предложить учащимся использовать прием, заключающийся во временном уменьшении числа элементов и составлении требуемых в задаче комбинаторных соединений на основе найденных вариантов для меньшего числа элементов. Например, рассмотрим задачу: «Сколько разных фигур можно составить на листе бумаги из четырех одинаковых квадратов при условии, что квадраты соприкасаются точно по сторонам?». Чтобы ее решить, учитель предлагает детям сначала составить все возможные фигуры из трех квадратов (рис.2.9). Затем взять первую фигуру, составленную из трех квадратов, и по-разному присоединить к ней четвертый квадрат, следя за тем чтобы не получались одинаковые фигуры. Также предлагается действовать со второй фигурой, составленной из трех квадратов (рис.2.10). Рис. 2.9 Рис. 2.10 После того, как школьники убедятся в преимуществе систематического перебора, следует показать, что есть и такие задачи, в которых не стоит искать какую-либо систему перебора. Например: «нужно из деталей, изображенных на рисунке 2.10, выложить «лесенку» по заданному контуру (рис.2.11). Различные решения (рис.2.12, 2.13, 2.14) находятся в процессе хаотичного перебора, так в этой задаче можно быстрее и легче выполнить требуемое. Рис. 2.10 Рис. 2.11 Рис. 2.12 Рис. 2.13 Составление комбинаторных соединений происходит с опорой на запись. Следовательно, в задачах, в которых элементы являются реальными предметами, встает проблема их обозначения. И если в начале обучения используются конкретные, наглядные заместители реальных предметов, то в дальнейшем учащиеся постепенно переходят к применению условных обозначений. Например, задача: «на каждом флажке должны быть три горизонтальные полоски: красного, синего и белого цвета. Сколько можно получить различных флажков, если менять порядок расположения цветов?». Решая ее, можно выбрать различные способы обозначения флажков (рис.2.14). к к 1 с б б 2 с 3 Рис. 2.14 Примеры комбинаторных задач, решаемых с использованием систематического перебора всех возможных вариантов, приведены в приложении №1 (задачи 9 – 19). § 4.Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов. На третьем этапе школьники учатся находить все возможные варианты в более сложных комбинаторных задачах, для решения которых используются такие средства организации перебора, как таблицы и графы. «Язык» графов и таблиц не совсем прост и понятен детям, вследствие чего требуется специальное ознакомление с ним. Непосредственный перебор всех возможных вариантов и решений комбинаторных задач в некоторых случаях может быть затруднен. Облегчить процесс нахождения этих вариантов можно, научив детей работать с графическими средствами. Они позволяют расчленить ход рассуждений, четко провести перебор, не упустив каких-либо имеющихся возможностей. Решение задач с использованием таблиц и графов является основным содержанием третьего этапа, выделяемого в обучении школьников.[7] Сначала как с наиболее простым средством организации перебора учащиеся знакомятся с таблицами. Рассматривая таблицу (рис.2.15), ученики «открывают» принцип ее составления. Затем им предлагается заполнить другую таблицу. Проговариваются разные способы заполнения: по строчкам, по столбцам. Рис.2.15 В целях освоения принципа составления таблиц используются примерно следующие задания:
ед ед дес. 4 5 7 дес. 1 3 4 9 91 39 5 4 14 34 7 7 71 73 Рис 2.16 Рис. 2.17 Когда дети научатся составлять таблицы, можно переходить к решению комбинаторных задач с их использованием. Дети много времени тратят на вычерчивание самой таблицы: затрудняются определить нужные размеры, разметить все столбики и строчки, поэтому необходимо использовать специальные трафареты (рис. 2.18). |
(k>>>1/2n)
(сумма числа сочетаний для любого целого числа n≥0)
, а т.к. 
, то 
истинно.Похожие:
 | Методические рекомендации по организации изучения дисциплины Методические... Программа курса предназначена для студентов 3-го курса (5-й семестр) отделения логопедии | | Методические рекомендации по проведению курса по выбору В пособие даны методические рекомендации по организации занятий курса по выбору «Физика в сельском хозяйстве» для второго года обучения... |
| Методические рекомендации по подготовке к экзаменам Методические рекомендации по подготовке экзаменационных материалов для проведения государственной итоговой аттестации по выбору обучающихся,... | | Методические рекомендации по разработке экзаменационных материалов... Данные методические рекомендации составлены с учетом особенностей организации и проведения государственной итоговой аттестации выпускников... |
| Методические рекомендации по разработке экзаменационных материалов... Данные методические рекомендации составлены с учетом особенностей организации и проведения государственной итоговой аттестации выпускников... |  | Методические рекомендации для преподавателя 88 Общие методические... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
| Методические рекомендации и контрольные задания для студентов V курса Фоминых С. Г., Скальский С. В. Методические рекомендации и контрольные задания для студентов V курса заочного отделения фармацевтического... | | Методические рекомендации по разработке заданий для школьного и муниципального... Методические материалы содержат рекомендации по порядку проведения олимпиад по экономике, требования к структуре и содержанию олимпиадных... |
| Методические рекомендации для студентов 4 курса стоматологического факультета ... | | Методические рекомендации по изучению курса «Основы менеджмента обсуждены... Методические рекомендации предназначены для студентов очной, заочной формы обучения |
| Методические рекомендации по внеаудиторной самостоятельной работе... Методические рекомендации предназначены для проведения внеаудиторной самостоятельной работы студентами в соответствии с рабочей программой... | | Методические рекомендации базлов С. Н., Вакулин Г. В.,Королюк Е. Г,Бабаян К. В.,Нечаева Ю. С Общеврачебная практика (терапевтический, хирургический и акушерский профиль) Методические рекомендации для студентов 4 курса педиатрического... |
| Методические рекомендации для преподавателей Челябинск 2007 Методические рекомендации предназначены в помощь преподавателям Челябинского юридического колледжа и его структурных подразделений... | | Методические рекомендации к изучению курса «Обществознание 10-11кл».... Методические рекомендации к учебнику «Обществоведение. 10-11» под ред. Л. Н. Боголюбова |
| Методические рекомендации «Культурология. Содержание курса и методические... Ставропольская государственная медицинская академия Министерства здравоохранения и социального развития | | Гбоу впо «Уральская государственная медицинская академия» Министерства... Биоэтика: Программа курса / методические рекомендации. – Екатеринбург, угма, 2012 |
