Методические рекомендации для проведения курса «Комбинаторика»

Комбинаторные задачи

1. 
   Составьте наборы из пяти кружков – двух красных и трех синих.
   
2. 
   Составьте трехзначные числа, используя цифры 3 и 5.
   
3. 
   В школе проводятся соревнования по хоккею. В качестве призов решили использовать мячи, ракетки, клюшки и шайбы. Составьте различные призы из этих предметов, если каждому победителю решено давать по два разных предмета.
   
4. 
   В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Составьте различные варианты расписания на этот день.
   
5. 
   В палатке имеется три сорта мороженого: рожок, брикет и эскимо. Наташа и Витя решили купить по одной порции. Составьте различные варианты такой покупки.
   
6. 
   В студии современного танца лучше всех танцуют четыре девочки – Аня, Ира, Оля и Яна и три мальчика – Боря, Володя и Гриша. Руководитель студии должен отправить на конкурс одну танцевальную пару, составленную из мальчика и девочки. Составьте различные варианты танцевальной пары.
   
7. 
   В магазине имеется четыре типа подушек: круглые, овальные, прямоугольные и треугольные. Составьте различные варианты покупки покупателя, который хочет приобрести две подушки.
   
8. 
   Составьте различные двузначные числа, с помощью цифр 3, 5, 7, 9, используя каждую из указанных цифр только один раз.
   
9. 
   Нарисуй, как по-разному можно положить в ряд на столе тарелку, нож и вилку. Какой вариант будет более удобным для человека, который ест с помощью ножа и вилки?
   
10. 
    Около окна клумба квадратной формы. Её разделили на четыре равных квадрата и в каждой части хотят посадить по одному кусту роз. Есть два куста белых и два куста красных роз. Нарисуй все варианты посадки роз, чтобы вид клумбы из окна был каждый раз другим. Какой вариант посадки роз тебе больше нравится?
    
11. 
    Расставь модели фигур (рис.1) так, чтобы рядом не было одинаковых по форме или цвету.
    

12. 
    Переставляя только числа, составь все примеры, которые ты можешь решить: 115 – 3 +6. Реши их.
    
13. 
    Часть стены прямоугольной формы разделена на клетки и имеет в длину 8 клеток, а в ширину 6. Мастеру нужно выложить ее кафельными плитками, использовав 5 плиток квадратной формы (размером 2х2 клетки) и 7 плиток прямоугольной формы (размером 1х4 клетки) Можно ли это сделать? Сколько плиток каждого вида нужно взять, чтобы выполнить требуемое? Нарисуй на листе в клеточку, как можно разместить плитки.
    
14. 
    На одной маленькой планете жили тямзики. И говорили они между собой на своем языке. А знали они всего три буквы: Т, Я, О. Какие слова могли составить тямзики из этих букв?
    
15. 
    Винтик и Шпунтик смастерили 25 автомобилей для жителей Цветочного города. Они решили дать этим автомобилям двузначные номера. Сколько надо взять различных цифр, чтобы у всех автомобилей были номера?
    
16. 
    Запиши все трехзначные числа, которые можно составить из цифр 1, 2, 3 ,4 ,5 так, чтобы число сотен было меньше числа десятков, а число десятков меньше числа единиц.
    
17. 
    Ты собираешься нарисовать картину. Но у тебя есть только три краски: желтая, красная и синяя. Сколько новых различных цветов ты можешь получить, смешивая эти краски по две?
    
18. 
    Нарисуй, как по-разному можно положить в ряд на столе тарелку, нож и вилку. Какой вариант будет более удобным для человека, который ест с помощью ножа и вилки?
    
19. 
    Дети идут в поход из лагеря №1. Им нужно дойти в лагерь №2 (рис.2). Помоги детям выбрать самый короткий и удобный для похода путь. Какой путь из одного лагеря в другой ты посоветуешь водителю грузовика? Почему?
    

• 
  тропинка
  
• 
  шоссе
  

20. 
    При изготовлении авторучки корпус и колпачок могут иметь одинаковый или разный цвет. На фабрике в этот месяц была пластмасса только четырёх цветов: белого, красного, коричневого и синего. Какие отличающиеся по цвету авторучки одной модели могла выпустить фабрика в этот месяц? Какие варианты авторучек ты бы посоветовал не выпускать, так как тебе не нравится такое сочетание цветов? Выбери те варианты авторучек, в который бы ты вставил красный стержень (ссиний стержень).
    
21. 
    Запиши все возможные частные, если делимым могут быть числа 12,9,8,16,15, а делителем – 1,2,3,4.
    
22. 
    Шерлоку Холмсу нужно открыть сейф, для этого он должен отгадать код. Он знает, что код – это трёхзначное число, составленное из цифр 1,2,3,4, и большее числа 400. Какие числа должен проверить Шерлок Холмс, чтобы найти код?
    
23. 
    У девочки есть бумага зелёного и жёлтого цвета. Из неё она вырезает круги, квадраты и треугольники, делая их большими и маленькими. Сколько разных вариантов у неё получится?
    
24. 
    В магазине продаются разные альбомы для рисования по 2,5; 2,2 и 3 рублей, а также различные наборы красок по 6,5; 7,0; 6,2; 5,0 рублей. Два мальчика купили по альбому с красками и заплатили одинаковое количество денег. В каком случае это могло произойти? Может ли оказаться, что они купили различные альбомы и краски?
    
25. 
    Космический корабль «Циклоп» опустился на неизвестную планету х звезды V созвездия Центавр. Планета оказалась обитаема и разделена океанами на три материка. Каждый материк выдвинул трёх представителей для того, чтобы лететь с кораблём на Землю. Представителей первого материка зовут Ман, Сан, Зан, второго - Пын, Фын, Шин, третьего – Хыр, Кыр, Дыр. Но на «Циклопе» не хватит анабиозных ванн для девяти человек. Он может взять только трех. Сколько способов у инопланетян составить делегацию на Землю?
    
26. 
    Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свёкла и капуста?
    
27. 
    Ужасные грабители Кнопка и Скрепка решили украсть из сейфа золотой ключик Буратино. Для того чтобы открыть замок входной двери, им нужно подобрать двузначный код. Причем известно, что дверь запирает Буратино, который знает пока еще только четыре цифры: 1,2,3,4. Сколько вариантов придётся перебрать Скрепке и Кнопке, чтобы проникнуть и дом?
    
28. 
    Проникнуть в дом – полдела. Кнопке и Скрепке нужно ещё открыть сейф. Но сейф запирает папа Карло, а он знает все цифры. Сколько двузначных кодов нужно перебрать грабителям, чтобы открыть сейф?
    
29. 
    Наташа сшила кукле десять разных платьев, а Даша сшила своему мишке трое штанишек и четыре футболки. Как вы думаете, у кого больше разных нарядов – у куклы или мишке?
    
30. 
    Данила идет на день рождение к Наташе и хочет подарить два букета – один Наташе, один её маме. Сколькими способами он может выбрать два букета, если в магазине есть букеты гвоздик, тюльпанов, сирени и роз?
    
31. 
    Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он смог переводить непосредственно с любого из четырех языков – русского, английского, немецкого, французского – на любой другой из этих языков?
    
32. 
    Задача Леонардо Эйлера. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?
    

38. 
    В городе проводится первенство по футболу между шестью командами. Сколько состоится матчей?
    
39. 
    Андрей, Боря, Витя, Гриша, Дима и Женя решили покататься на карусели, сиденья которой изображали льва, тигра, слона, оленя, медведя и жирафа. Ребята заспорили, кому на кокого зверя садиться, и решили перепробовать все способы. Сколько раз им пришлось бы для этого прокатиться на карусели?
    
40. 
    У Портоса есть сапоги со шпорами и без шпор, четыре разных шляпы и три разных плаща. Сколько у него вариантов одеться по – разному, чтобы удивить соседей и знакомых?
    
41. 
    Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
    
42. 
    Используя 30 букв русского алфавита, 10 гласных и 20 согласных (т.е. все буквы, кроме й, ъ, ь), сколько можно составить различных пятибуквенных “слов”, если в каждом “слове” 2 гласные – на втором и четвертом месте?
    
43. 
    В первом ящике 5 шариков, во втором 9.Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать?
    
44. 
    Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова “полка”?
    
45. 
    Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти разных цветов?
    
46. 
    Сколькими способами можно составить четырехцветный флаг из горизонтальных полос, имея четыре различных цвета?
    
47. 
    Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт останется хотя бы один туз? В скольких случаях окажется ровно один туз? В скольких случаях – ровно 4 туза?
    
48. 
    Игрок сначала бросает белую игральную кость, потом чёрную. Сколько может быть случаев, когда число очков, появившихся на белой кости, больше числа очков,появившихся на чёрной?
    
49. 
    Сколько разных стартовых шестёрок можно образовать из числа 10 волейболистов?
    
50. 
    На книжной полке плотно установлено n книг. Сколькими способами можно взять с полки k книг при условии, что ни разу не будут вынуты рядом стоящие книги?
    
51. 
    В одной арабской сказке речь идет о такой задаче: «Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распрей?
    
52. 
    Сколько разных слов можно образовать с помощью перестановки букв слова «математика»?
    
53. 
    Для несения почетного караула из 10 человек могут быть приглашены офицеры пехотных войск, авиации, пограничных войск, артиллерии, офицеры морского флота и ракетных войск. Сколькими способами можно избрать состав почетного караула?
    
54. 
    Сколько автомашин можно обеспечить шестизначными номерами?
    
55. 
    Имеется не ограниченное количество монет по 10, 15 и 20 копеек. Сколькими способами можно образовать набор из 20 монет?
    
56. 
    Сколько цифр понадобится для записи всех чисел от 1 до 999 999 включительно?
    
57. 
    Докажите:
    
58. 
    Докажите:
    
59. 
    Решите уравнения: а) ; б)
    
60. 
    Найдите коэффициенты при в выражении:
    
61. 
    Пользуясь полиномиальной формулой, преобразуйте выражения: а) б)