2006 удк ббк ф
Скачать 3.72 Mb.
|
| Авт.) тенденций современной математики: игнорировать и отвергать все, что не формализовано логически. Именно эта тенденция (начинающая проникать в начальное и среднее обучение) в большой степени ответственна за растущее отделение математики от физики. Физик, применяющий математические методы, вполне может положиться на внутреннюю согласованность своих построений и, что самое важное, на совпадение полученных результатов с экспериментом. Подобно шестикласснику, он будет рад воспользоваться рациональными числами, не зная во всех подробностях, как их можно объединить в формальную систему, и, подобно Хевисайду, будет счастлив жонглировать операторами, не дожидаясь, когда логика даст ему разрешение на это». Кстати, именно Хевисайду удалось найти решения практически важных задач в случаях, когда применить логически полностью обоснованную в то время методику оказалось затруднительно. Позже аналогичная история произошла с обобщенными функциями (п. 6), которые физики ввели и начали использовать раньше, чем математики дали им формально совершенное обоснование. Г. Ван Трис пишет в предисловии к своей книге [30, с. 11—12]: «Уровень математической строгости книги невысок, хотя в большинстве разделов полученные результаты могут быть доказаны и строго, если мы будем просто более скрупулезны в наших выкладках. Мы намеренно приняли такой подход с тем, чтобы обилием деталей не обременять существенные идеи и сделать материал удобочитаемым для той инженерной аудитории, которая найдет его полезным. К счастью, почти во всех случаях мы можем удостовериться, что наши выводы являются интуитивно логичными. Следует заметить, что эта способность проверять выводы интуитивно была бы необходима, даже если бы выкладки были весьма строгими, поскольку наша конечная цель — получить ответ, который соответствует некоторой рассматриваемой физической системе. Не представляет труда найти физические задачи, в которых правдоподобная (но неадекватная, см. § II.1.—Авт.) математическая модель и корректные математические методы приводят к нереалистическому решению исходной задачи». Л. де Бройль [31, с. 326]: «Математический язык является чисто дедуктивным, он позволяет строго выводить следствия из посылок. Эта строгость, являющаяся его силой, является также его слабостью, поскольку она замыкает его в круг, за пределы которого он не может выйти. Математическое рассуждение должно установить следствия, которые уже содержатся в посылках, не будучи еще очевидными; следовательно, оно не может дать в своих выводах ничего более того, что содержится неявно в исходных гипотезах... Итак, не чистые дедукции, а смелые индукции и оригинальные представления являются источниками высокого прогресса науки». X. Розенброк и С. Стори [28, с. 17, 31 и 41]: «Мы не против математической строгости и, признавая, что математика имеет свои собственные внутренние законы развития, возражаем против позиции, которая концентрирует внимание на математических тонкостях, возникающих при постановке задачи и несущественных в определенном смысле, и в то же время игнорирует действительные трудности». «Инженер должен не гнаться за строгостью как вещью в себе и избегать большой борьбы за общность и краткость. Слишком, общая формулировка обычно сводит решение к задаче, менее легкой и менее полезной. Краткость (или «элегантность») - это хорошо, однако часто она получается только за счет искусственности». «Инженер... не позволяет ставить в один ряд все те проблемы, которые представляют какой-либо интерес. Математические выкладки оправдываются в его глазах их практическим успехом таким же образом, как и физические теории, к которым эта математика применяется. Вследствие этого различия в подходе аксиоматический метод мало привлекателен для инженера. Он соглашается признать, что 2+2 = 4, потому что это приводит к полезным результатам, и не чувствует необходимости доказывать это утверждение с помощью ряда менее очевидных аксиом. В то же время не возражает против введения новых фактов в задачу по мере решения. Если новый факт верен, то он не может быть источником ошибок в результате». Аналогичные мысли высказал Н. Бейли [7, с. 144] в связи с приложениями математики к биологии: «Вполне возможно, что для решения уравнений нужны некоторые дополнительные условия или допущения, либо их трудно решить именно в той форме, в какой они представлены. В этом случае математик может ввести дополнительные ограничения или произвести некоторые изменения, позволяющие решить эти уравнения. Но может оказаться, что произведенные им изменения не соответствуют духу первоначальной биологической задачи, и в результате будет затрачено много сил на сложные, но бесполезные математические расчеты в поисках точного решения ошибочной задачи. Для того чтобы математик узнал, что именно в конечном счете допустимо с точки зрения биологии, он должен проявить интерес к самой биологической задаче и познакомиться с ней во всех деталях». В своей эмоциональной речи на конференции Американской ассоциации экономистов президент этой ассоциации В. Леонтьев, говоря о резко возросшем увлечении формальными схемами экономики, в частности, сказал [37, с. 101 - 104]: «Некритическое увлечение математическими формулами часто ведет к тому, что за внушительным фронтом алгебраических символов скрываются положения легковесные с точки зрения сущности предмета». Он приводит слова одного из недавних президентов Общества эконометриков: «...есть что-то скандальное в зрелище, которое представляет такое большое количество людей, занятых оттачиванием анализа экономических ситуаций, относительно которых у них нет никаких оснований полагать, что они когда-либо будут иметь место в действительности... Это неудовлетворительное состояние дел, в котором есть даже что-то бесчестное». И добавляет: «Увлеченность воображаемой, а не данной в наблюдениях реальностью привела к искажению неофициальной шкалы ценностей, по которой в наших академических кругах оценивают научные достижения. Эмпирический анализ оценивается теперь ниже, чем формальное математическое доказательство... И все это происходит, несмотря на то, что в очень многих случаях сложный статистический анализ осуществляется на базе массива данных, точное значение и надежность которых неизвестны автору или, напротив, так хорошо известны, что в самом конце он предупреждает читателя не принимать всерьез фактическую сторону выводов данного «упражнения» ... не удивительно, что экономисты младшего поколения, особенно те, которые заняты преподавательской деятельностью и теоретическими исследованиями, по-видимому, вполне удовлетворены нынешним состоянием дел: они могут демонстрировать свою доблесть (и, между прочим, делать карьеру), создавая все более сложные математические модели и изобретая все более изощренные методы статистических преобразований, совершенно не принимая участия в эмпирических исследованиях. Время от времени раздаются жалобы на отсутствие необходимых первичных данных, но в них не заметно особой тревоги». В. В. Налимов [25, с. 195]: «За рубежом нередко кафедры математической статистики занимают ученые, хорошо подготовленные в области математики, но не имеющие вкуса к эксперименту. Им нужно как-то проявить свою деятельность. Нужно давать темы для дипломных и диссертационных работ. Появляются проблемы, сформулированные в терминах прикладных задач, но в действительности не имеющие прикладного значения. Разработка этих проблем требует высокого математического мастерства и может служить хорошим основанием для поддержания престижа на высоком уровне. Однако найденные решения не имеют большой ценности с позиций математики, так как они носят очень частный характер. Их пытаются представить как глубокую теоретическую разработку практически важной проблемы. Но на самом деле они не имеют прикладного значения из-за нереалистичности в постановке задачи. Так возникает ненужная теоретизация». М. Кац и С. Улам [1, с. 210—211 ]: «Никакая из рассматривающихся до сих пор формальных систем не дает адекватного воплощения того представления о бесконечном, которого бессознательно придерживаются математики: можно даже отважиться на гипотезу, что такая формальная система вообще невозможна:». «Работа над основаниями всей математики в целом привела к отрицательному результату, ибо она выявила слабые стороны аксиоматического метода. (Мы бы не сказали, что это отрицательный результат.— Авт.) В теории множеств она породила серьезные сомнения в существовании формальных систем, способных дать такое описание, которое отвечало бы представлению математика о множествах». Противопоставляя этому конструктивные результаты работы над основаниями геометрии, Кац и Улам заключают: «Трудно избежать искушения и не сделать из этого вывод, что существует какое-то неопределяемое глубокое различие между проблемой аксиоматизации отдельной ветви математики, обязанной своим происхождением внешним стимулам, и проблемой аксиоматизации внутренних процессов мышления». С. А. Яновская [35, с. 249]: «...математическая, или логическая, «строгость» с а м а п о с е б е отнюдь не является еще гарантией истинности и надежности науки. Нетрудно привести примеры, где строгая последовательность выводов могла принести — и действительно принесла — только вред прогрессивному развитию науки». В. В. Налимов [25]: «Если математика в прикладных задачах выступает в роли языка, то математические структуры этого языка естественно рассматривать как грамматику этого языка. Можно задать вопрос — нужно ли хорошо знать грамматику тому, что хочет воспользоваться языком в чисто прагматических целях? По-видимому, не нужно, во всяком случае, на обыденном языке можно разговаривать, не зная его грамматики». Дж. Коул [38, с. 9]: «Настоящая книга написана в основном с точки зрения математика-прикладника: внимание в ней в значительно большей степени уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам математической строгости; при этом использовались самые разнообразные средства. В частности, для выяснения существа различных вопросов часто приходилось обращаться к физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачу и найти нужные приближения». Примечания
Приведем еще высказывание Ж. Дьедонне по этому поводу: «...в принципе современная математика в основе своей не имеет какой-либо утилитарной цели, а представляет собой интеллектуальную дисциплину, практическая польза которой сводится к нулю ...математик в своих исследованиях никогда не руководствуется мыслью о степени полезности полученных результатов в будущем (что, впрочем, и невозможно предсказать), скорее он руководствуется желанием проникнуть в понимание математического явления, как явления, заканчивающегося на себе самом ... математика — не более чем «роскошь», которую может позволить себе цивилизация» (цитируется по Сойер У. Путь в современную математику. «Мир», М., 1972, с. 18). Грустно, что это говорит человек, являющийся одним из руководителей группы «Бурбаки», оказывающей значительное влияние на лицо всей современной чистой математики... 3. В связи с этим приведем слова Дж. Диксона: «Если мощные математические методы не позволяют получить результат (иногда это бывает), то все равно нужно продолжать поиск. Имейте в виду, что при инженерном анализе необходим о получить числовой результат любым способом». 4. Дополнительное осложнение возникает в связи с тем, что понятия «прикладное исследование», «прикладной раздел» и т. п. являются относительными; это порой приводит к различным недоразумениям, например, к тому, что прикладниками (соответственно теоретиками) называют себя люди, которые друг друга отнюдь таковыми не считают. Целый ряд исследований, книг и т. д. можно назвать как прикладными (если они рассматриваются с еще более абстрактных позиций), так и чисто математическими (скажем, с позиций инженера). Конечно, такая относительность понятия «прикладного» имеет место также в физике, механике и других дисциплинах. 5. Н. С. Бахвалов [11, с. 11]: «...есть разница в подходе «чистого» и «прикладного» математика к решению какой-либо проблемы. На языке первого понятие решить задачу означает доказать существование решения и предложить процесс, сходящийся к решению. (Даже последнее иногда считается необязательным. — Авт.) Сами по себе эти результаты полезны для прикладника, но, кроме этого, ему нужно, чтобы процесс получения приближения не требовал больших затрат, например, времени или памяти ЭВМ. Ему важно не только то, что процесс сходится, но и то, как быстро он сходится». 6. Впрочем, Дон Кихот не очень заботился о предварительном доказательстве соответствующей теоремы о существовании врагов, а сразу бросался в бой. 7. Этот закон гласит, что для каждого утверждения, осмысленного в рассматриваемой ситуации, верно либо оно само, либо его отрицание. Обозначив буквой p это утверждение, можем написать: верно (p или (не p)). Закон исключенного третьего близок, хоть и не равносилен, закону двойного отрицания: из (не (не p)) вытекает p, а также закону противоречия: неверно (p и (не p)). В дальнейшем, упоминая закон исключенного третьего, мы будем иметь в виду все три закона. Чистая математика (за исключением некоторых ветвей математической логики) пользуется ими без ограничений. 8. К. Гедель доказал, что любая достаточно обширная теория, вытекающая по определенным правилам математической логики из некоторой системы аксиом, всегда неполна; это означает, что в терминах такой теории можно сформулировать предложение, справедливость или ложность которого нельзя доказать в рамках этой теории, т.е. пользуясь только исходными аксиомами. Эту справедливость или ложность можно принять в качестве добавочной аксиомы, присоединив которую к исходным, можно построить более детализованную теорию, которая, однако, будет опять неполной, и т.д. Формальная непротиворечивость достаточно обширной теории также не может быть доказана в рамках этой теории. 9. Отметим, что само по себе рассмотрение непрерывных переменных еще не вводит в прикладную математику бесконечности, так как область изменения таких переменных выступает в приложениях не как набор точек, а как первичный объект (например, интервал времени). 10. Мы не удержались поставить это слово в кавычки, хотя самого Скьюиса они, вероятно, обидели бы. 11. Будучи вырванными из контекста, эти слова могут вызвать негодование; мы надеемся, что наши читатели не соблазнятся легкой возможностью высказать тяжелый упрек. Позже мы будем говорить о том, что выражения «точно» и даже «абсолютно точно» сами в определенном смысле имеют относительный характер; см., например, рассмотрение равенства 2 × 2 = 4 в п. 4, Несколько утрируя, можно сказать, что если 2 × 2 = 4, то  .12. Тем, кто возражает: «Но встречаются же крайне маловероятные события: например, на днях я и мой старинный знакомый, которого я не видел 20 лет, независимо взяли в театр билеты на соседние места», надо ощутить полную несравнимость вероятностей этого и указанных выше событий. Не следует уподобляться свахе из «Последней жертвы» А. Н. Островского, которая о каждом женихе говорила: «У него миллион», и простодушно пояснила: «Для меня все, что больше тысячи, то миллион». 13. Параметр — это не обязательно скаляр, это может быть вектор или даже элемент функционального пространства. Например, для дифференциального уравнения  всю правую часть можно рассматривать как функциональный параметр. Поэтому метод, применяемый к реальной задаче, описываемой указанным дифференциальным уравнением, должен быть устойчивым относительно произвольной достаточно малой вариации правой части.14. В книге [35, с. 52—53] приведен остроумный пример того, как утверждение, истинное в смысле формальной логики, в житейском звучании становится ложным, так как в обыденной жизни мы за логическими терминами видим больше, чем содержится в их формальном определении: «Представим себе, что один из наших знакомых на вопрос, когда он уедет из города, ответит, что он собирается сделать это сегодня, завтра или послезавтра. Если мы впоследствии убедимся в том, что еще до нашего вопроса им было уже решено уехать в тот же день, у нас, вероятно, создается впечатление, что мы были намеренно введены в заблуждение и что он солгал нам». 15. Аксиома Паша состоит в том, что если на плоскости прямая не проходит через вершины некоторого треугольника и пересекает какую-либо из его сторон, то она пересечет и какую-либо из других сторон этого треугольника. 16. Яркое описание исторического уточнения понятия многогранника содержится в книге И. Лакатоса [36]. Сравнивая это уточнение с затачиванием карандаша, автор пишет (с. 73): «Во-первых, ни один карандаш не является абсолютно острым (и если мы переострим его, то он сломается), и, во-вторых, затачивание карандаша не является творческой математикой». Отметим одну из высказываемых им точек зрения (с. 76): «Не все предложения будут или истинными, или ложными. Есть и третий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее строгими». Говоря подробно об эволюции понятия строгости, автор отмечает (с. 80): «Различные уровни строгости отличаются только местом, где они проводят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью доказательства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм». Литература
Вопросы для понимания
1 Открытие иррациональности  традиция приписывает пифагорейскому математику первой половины V века до н.э. Гиппасу. Существует несколько реконструкций первоначального доказательства иррациональности. Так, К. фон Фриц полагал, что Гиппас открыл иррациональности при построении додекаэдра (см.[14], с.82). Достаточно убедительной является концепция венгерского историка математики А.Сабо (см.[15]), в которой показывается, что подходы к открытию несоизмеримостей были намечены в процессе решения одной из проблем музыкальной теории пропорций. |
Похожие:
 | Удк 33 ббк 65. 262. 1 В44 В37 Современное диссертационное исследование по педагогике: Оценка качества: Книга для эксперта. Саратов: Саратовский государственный... |  | Удк 159. 9 Ббк 88. 8 А 733 Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов (ЭП) |
| 2011 удк ббк Зюляев Н. А. кандидат экономических наук, доцент Марийского государственного технического университета | | Удк 159. 923 Ббк 88. 5 У 69 Матрица ответов на тесты по оценке качества усвоения учебной дисциплины «Управление персоналом» |
| Удк 33 ббк 65. 262. 1 В44 Этнопсихология: Учебник для вузов / Т. Г. Стефаненко. — 4-е изд., испр и доп. — М.: Аспект Пресс, 2009.— 368 с | | Учебно-методическое пособие Елабуга, 2009 ббк 63. 3 (2р-6т) удк 9 (с14Тат) Султанов А. А., старший преподаватель, заведующий кафедрой юридических дисциплин еф исгз |
| Ббк 74. 102 Удк 373. 2 Р 11 рочева о. И. И мы не лыком шиты. Сборник в 2-х частях Повышение уровня информированности у родителей о способах ознакомления детей с пдд | | Удк 159. 9 Ббк 88. 4 © Irvin D. Yalom, 2008 Управления федеральной службы исполнения наказания, а также для обучающихся с ограниченными возможностями здоровья в 2013 г |
| Удк 791. 43 Ббк 85. 37 Ф 70 Редакционная коллегия Подготовка и обучение населения организуются в рамках единой системы подготовки в области гражданской обороны и защиты от чрезвычайных... | | Удк 373. 2+159. 922. 7 Ббк 74. 1+88. 8 М59 Цель: показать один из способов обобщения и систематизации знаний по теме «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8 класса |
| Удк 615. 851 Ббк 53. 57 М 94 Михайлова Е. Л. М 94 Пустяки психологии.... Помощь родителей в приучении детей к выполнению режима дня и правил для учащихся | | Учебное пособие Санкт-Петербург 2013 удк 1: 001; 001. 8 Ббк 87. 3 Пашута В. Л., Заслуженный работник высшей школы рф, доктор педагогических наук, профессор |
| Александр Никонов Опиум для народа. Религия как глобальный бизнес-проект удк 21 ббк 86. 7 Н63 Приняли участие в заседании: Кузнецов В. В., Бронников Е. А., Воронин А. Ю., Клапцов А. В., Филькин Р. А., Чеботарёв С. В | | Программа по дисциплине Красноярск сфу 2008 удк 581. 1(07) ббк 28. 573я73 ф 20 Программа предназначена для студентов направления 020200 биология, спец. 020208. 65 «Биохимия» |
| Библиографический указатель Махачкала, 2008 ббк 78,5 л 52 удк 002... Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Удк 630*945. 32. Ббк 74. 200. 52 С23 Рецензенты Учебник: Биболетова М. З., Бабушис Е. Е., Снежко Н. Д. EnjoyEnglish» Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений, Обнинск:... |
