Литература
Скачать 149.19 Kb.
|
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение – основная общеобразовательная школа № 25  Автор: Гапон Даниил, ученик 8 класса Руководитель: Хлыбова Наталья Александровна, учитель математики Армавир - 2011 Содержание. I. История развития квадратных уравнений ……………………….2 1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………………..2 2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………...2 3. Квадратные уравнения в Индии……………………………………...3 4. Квадратные уравнения у ал- Хорезми ………………………………4 5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв………………..........5 6. О теореме Виета ………………………………………………………5 II. Способы решения квадратных уравнений ……………………….6
III. Заключение…………………………………………………..............12 Литература……………………………………………………………….13 История развития квадратных уравнений. 1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: х2 + х = ¾; х2 - х = 14,5 Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. 2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач. Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96» Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение: (10 + х)(10 - х) = 96 или же: 100 - х2 = 96 х2 - 4 = 0 (1) Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения у(20 - у) = 96, у2 - 20у + 96 = 0. (2) Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1). 3. Квадратные уравнения в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах2 + bх = с, а > 0. (1) В уравнении (1) коэфиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. Задача 13. «Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам… Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая… Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок, На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?» Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).  Соответствующее задаче 13 уравнение: (x/8)2 + 12 = x Бхаскара пишет под видом: х2 - 64х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: х2 - 64х + 322 = -768 + 1024, (х - 32)2 = 256, х - 32 = ± 16, х1 = 16, х2 = 48. 4. Квадратные уравнения у ал - Хорезми. В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх. 2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с. 3) «Корни равны числу», т.е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх. 5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с. 6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2. Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства. Приведем пример: Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х). Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень. Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. 5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. 6. О теореме Виета. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A - A2, равно BD, то A равно В и равно D». Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В,D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b)х - х2 = ab, т.е. х2 - (а + b)х + аb = 0, то х1 = а, х2 = b. Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны. Итак: Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них. Способы решения квадратных уравнений. 1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0. 2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде: х2 + 6х = х2 + 2• х • 3. В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2. Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7. 3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем: 4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0, (2ax + b)2 = b2 - 4ac, 2ax + b = ± √ b2 - 4ac, 2ax = - b ± √ b2 - 4ac,  • Примеры. а) Решим уравнение: 4х2 + 7х + 3 = 0. а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1, D > 0, два разных корня;   Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при b2 - 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня. б) Решим уравнение: 4х2 - 4х + 1 = 0, а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0, D = 0, один корень;   Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0, а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0. Данное уравнение корней не имеет. Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0, уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней. Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент. 4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + c = 0. (1) Е  го корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x1 x2 = q, x1 + x2 = - p Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней). а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны. Например, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0. б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 . Например, x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0; x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0. 5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. • Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у   1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5 у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.Ответ: 2,5; 3. 6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. 1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение x2 + b/a • x + c/a = 0.  Согласно теореме Виетаx1 + x2 = - b/a, x1x2 = 1• c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a, x1x2 = - 1• ( - c/a), т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что м требовалось доказать. • Примеры.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = -208/345. Ответ: 1; -208/345. 2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = 115/132. Ответ: 1; 115/132. Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней  • Пример. Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0. Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7; D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;  Ответ: 2; 8/3 В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней  п  ринимает вид: Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число. •  Пример. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.Решение. Имеем: х1,2 =7± Ответ: х1 = 15; х2 = -1. 7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Е  сли в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие случаи: - прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,  абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;- прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней. • Примеры. 1) Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2). Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4. Ответ: х1 = - 1; х2 = 4.  2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 - 2х + 1 = 0. Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х - 1. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 1. Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1) и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1. Ответ: х = 1. 3  ) Решим графически уравнение х2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4). Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х - 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 5. Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет. Ответ. Уравнение х2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет. Заключение Значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений. Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней. Здесь я остановился на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика. Литература: 1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981. 2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83. 3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969. 4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972. 5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34. 6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973. 7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Литература по психологии,классичес Альдебаран-крупнейшая электронная библиотека on-line- художественная, учебная и техническая литература и книги различных жанров:... | | Литература чувашская литература Чувашский государственного университет имени И. Н. Ульянова по специальности русский язык и литература |
| “ Литература + литература” Идея проведения данного урока взята из газеты “Литература” (приложение к газете “Первое сентября”,№13 за 1998 год, страница 1) | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Литература и история. Литература как искусство слова. Литература и другие виды искусства |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Литература и история. Литература как искусство слова. Литература и другие виды искусства | | Литература 1 Русская литература. Мультимедийная энциклопедия. 8-11... Математика. Учебное электронное издание. 5-11. Новые возможности для усвоения математики |
| ЛИТЕРАТУРА К КУРСУ "ФИЛОСОФИЯ" ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА и ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА | | "Литература народов России" (Кабардино-черкесская литература) ... |
| Тема урока. Основное содержание Введение. Судьба России в XX веке. Основные направления, темы и проблемы русской литературы XX века. Русская советская литература;... |  | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Литература и жизнь. Литература как искусство слова. Вымысел. Литература как учебный предмет |
| Литература Тема: Человек и история в поэме А. С. Пушкина «Медный всадник» Учебно-методическое обеспечение: учебник 10 класс литература Коровина В. И. Литература. 10 класс, Москва Просвещение. 1часть. 2012... | | Рабочая программа по литературе составлена на основе программы "Литература.... Литература. 5-11 класс" под ред. Г. И. Беленького. Реализуется в учебнике "Литература. 11 класс: Учебник для общеобразовательных... |
| Список бесплатных электронных библиотек Альдебаран крупнейшая электронная библиотека on-line художественная, учебная и техническая литература и книги различных жанров: детективы,... | | Родная литература Рабочая программа по литературе для 5 класса к учебнику «Родная литература» (Ана литература) 5 класс. Авторы: (Суюнчев А., Азаматова... |
| Рабочая программа учебного предмета: «Литература» «Литература» под редакцией В. Я. Коровиной (Программы для общеобразовательных учреждений. Литература. 5-11 кл. Авторы: В. Я. Коровина,... | | Рабочая программа педагога по курсу «Литература» Литература 5 – 11 классы/ под редакцией Г. И. Беленького. – 4-е изд., перереб. – М.: Мнемозина, 2009. – 110с и ориентирована на использование... |
