Рабочая программа для студентов очной формы обучения. Направление подготовки 010500. 62 «математическое обеспечение и администрирование информационных систем»

Тема № 1.1.1. Матрицы. Матрица. Квадратная матрица. Диагональная матрица. Единичная матрица. Нулевая матрица. Вектор-строка. Вектор-столбец. Клеточные и клеточно-диагональные матрицы. Равенство матриц. Основные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц, транспонирование, возведение в целую неотрицательную степень. Основные свойства операций над матрицами. Линейная комбинация строк или столбцов матрицы. Элементарные преобразования матриц. Матрицы элементарных преобразований. Ранг матрицы по строкам или столбцам. Минорный ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы. Связь минорного ранга матрицы с линейной независимостью или линейной зависимостью строк (столбцов) матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований. Вычисление ранга. Эквивалентные матрицы. Тема № 1.1.2. Детерминанты. Перестановки и подстановки. Инверсии. Правильные произведения элементов матрицы. Определитель квадратной матрицы порядка n. Определители 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Следствия из теоремы Лапласа. Разложение определителя по теореме Лапласа. Свойства определителей. Теоремы об определителях суммы и произведения матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы. След квадратной матрицы и его свойства. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Выражение элементов обратной матрицы через алгебраические дополнения элементов исходной матрицы. Свойства обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матричные уравнения. МОДУЛЬ 1.2. Тема № 1.2.1. Системы линейных уравнений. Понятие системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Определенные и неопределенные системы линейных уравнений. Основная и расширенная матрица системы линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Критерий определенности системы линейных уравнений. Система линейных уравнений с квадратной невырожденной основной матрицей. Теорема Крамера. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Общее решение системы линейных уравнений. Частные решения системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Нетривиальные (ненулевые) решения однородной системы линейных уравнений. Свойства нетривиальных решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальные решения системы линейных уравнений. Система фундаментальных решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о фундаментальных решениях однородной системы линейных уравнений. Линейное подпространство решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о связи решений неоднородной и соответствующей однородной систем линейных уравнений. Линейное многообразие решений неоднородной системы линейных уравнений. МОДУЛЬ 1.3. Тема № 1.3.1. Основные алгебраические структуры. Множество. Элемент множества. Пустое множество. Принадлежность к множеству. Подмножество. Равенство множеств. Основные операции над множествами: пересечение, объединение, разность, дополнение. Основные свойства операций над множествами. Декартово произведение множеств. Декартова степень множества. Предикаты. Тождественно истинные и тождественно ложные предикаты. Характеристический предикат. Бинарные и n-арные отношения. Основные свойства бинарных отношений: рефлективность, транзитивность, симметричность, антисимметричность. Основные виды бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Теорема о классах эквивалентности. Фактор-множество. Отображения. Образ и прообраз отображения. Основные виды отображений: инъективные, сюръективные, биективные. Композиция отображений. Обратное отображение. Критерий обратимости отображения. Свойства обратимых отображений. Алгебры. Алгебраическая операция (внутренний закон композиции). Основные свойства алгебраических операций. Обратные операции. Группоид. Полугруппа. Моноид. Правый и левый нулевой элемент. Правый и левый нейтральный элемент. Правый и левый обратный элемент. Группа. Аддитивные и мультипликативн ые группы. Коммутативные группы. Существование и единственность нулевого элемента в группе. Существование и единственность нейтрального элемента в группе. Существование и единственность обратного элемента в группе. Критерии группы. Алгебра Буля. Подгруппа. Критерий подгруппы. Смежные классы. Критерий равенства смежных классов. Конечные группы. Теорема Лагранжа. Циклические группы. Модулярная арифметика. Группа вычетов. Сравнения по натуральному модулю. Признаки делимости. Системы вычетов. Полная система вычетов. Приведенная система вычетов. Кольца вычетов по целому и простому модулю. Поле вычетов по простому модулю. Сравнение с одним неизвестным. Эквивалентные сравнения. Количество решений. Линейные сравнения. Критерий разрешимости. Количество решений. Конечные и бесконечные группы. Группа обратимых элементов в кольце вычетов. Индексы: определения и свойства. Нормальный делитель. Фактор-группа. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Свойства гомоморфизмов и изоморфизмов групп. Ядро и образ гомоморфизма. Кольца и тела. Свойства колец и тел. Делители нуля. Кольцо вычетов. Поля. Свойства полей. Характеристика поля. Поле вычетов. Расширения полей. Тема № 1.3.2. Поле комплексных чисел. Комплексное число как упорядоченная пара действительных чисел. Сложение и умножение упорядоченных пар действительных чисел. Единичная и нулевая упорядоченная пара действительных чисел. Равенство упорядоченных пар действительных чисел. Противоположная и обратная упорядоченная пара действительных чисел. Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, произведение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Сопряженные комплексные числа. Обратное комплексное число в алгебраической форме. Модуль комплексного числа. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа и формулы нахождения аргумента комплексного числа. Умножение, деление и комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексного числа в тригонометрической форме. Корни из единицы. Тема № 1.3.3. Кольцо полиномов. Операции над полиномами. Полиномы от одного неизвестного над полями действительных и комплексных чисел. Степень полинома. Равенство полиномов. Сложение и произведение полиномов. Степень суммы и произведения полиномов и ее свойства. Свойства сложения и произведения полиномов. Единичный и нулевой полиномы. Деление полиномов с остатком. Теорема о делении многочлена на многочлен с остатком. Делители полиномов. Основные свойства делимости полиномов. Наибольший общий делитель двух полиномов. Алгоритм Евклида. Взаимно простые полиномы. Теорема о наибольшем общем делителе многочленов. Следствие о взаимно простых полиномах. Теоремы о взаимно простых полиномах. Теорема о наибольшем общем делителе конечной совокупности полиномов. Корни полиномов. Теорема Безу. Следствие из теоремы Безу. Схема Горнера. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. Основная теорема. Следствия из основной теоремы. Формулы Виета. Интерполяционная формула Лагранжа. Полиномы с действительными коэффициентами. Рациональные дроби. Теорема о разложении рациональных дробей. Теорема о разложении правильных рациональных дробей на простейшие дроби. Алгебра полиномов над произвольным полем. Кольцо полиномов от одного неизвестного. Разложение полиномов на неприводимые множители. Свойства неприводимых полиномов. Кратные множители. Выделение кратных множителей. Теорема существования корня. Кратные корни. Поле рациональных дробей. Полиномы от нескольких неизвестных. Приводимость многочленов над полем рациональных чисел. Лемма Гаусса о примитивных полиномах. Критерий Эйзенштейна. Рациональные корни целочисленных полиномов. Алгебраические уравнения. Уравнения 2, 3 и 4 степеней. Границы корней. Теорема Штурма. Другие теоремы о действительных корнях. Приближенные вычисления корней. ВТОРОЙ СЕМЕСТР МОДУЛЬ 2.1. Тема № 2.1.1. Линейные пространства. Определение линейного пространства. Примеры. Свойства линейных пространств. Размерность. Базис. Координаты. Теорема об изоморфизме между любыми двумя линейными пространствами одной и той же размерности. Подпространства линейного пространства. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств. Теорема о ранге матрицы. Системы линейных однородных уравнений. Комплексификация и овеществление. Тема № 2.1.2. Линейные отображения и преобразования линейных пространств. Определение и свойства линейных отображений и преобразований. Матрица линейного отображения. Действия с линейными операторами. Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора. МОДУЛЬ 2.2. Тема № 2.2.1. Евклидовы и унитарные пространства. Положительно определенные эрмитовы функции в линейных пространствах.Евклидовы и унитарные пространства и их простейшие свойства. Подпространства евклидовых и унитарных пространств. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция. Линейные операторы в унитарном пространстве. Структура линейного оператора в евклидовом пространстве. Тема № 2.2.2. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств. Основные определения. Сопряженные преобразования. Самосопряженные и ортогональные преобразования. Линейные преобразования унитарных пространств. Тема № 2.2.3. Функции на линейных пространствах. Линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах. Линейные функции. Билинейные функции и билинейные формы. Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразование при переходе к новому базису. Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадратичной функций). Существование канонического базиса для всякой квадратичной и билинейной функций (“приведение квадратичной формы к каноническому виду”). Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции для вещественных квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные функции и формы. Каноническая форма линейного оператора. Жорданова форма. Ламбда-матрицы. Элементарные преобразования ламбда-матриц. Нормальная форма ламбда-матриц. Теорема о приведении матрицы оператора к канонической форме. МОДУЛЬ 2.3. Тема № 2.3.1. Аффинные и точечные евклидовы пространства. Аффинное n-мерное пространство. Определение аффинного n-мерного пространства. Системы координат. Арифметическое аффинное пространство. Изоморфизм всех n-мерных пространств между собой. R-мерные плоскости n-мерного аффинного пространства. R-мерные параллелепипеды. Геометрически независимые системы точек. Барицентрические координаты. Симплексы. Системы линейных уравнений. Точечные евклидовы пространства. Тема № 2.3.2. Преобразования аффинных пространств. Аффинные преобразования. Движения аффинного евклидова пространства. Классификация движений. Перечень тем практических занятий. Матрицы. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 1.1.1. Матрицы. Основные операции над матрицами. Свойства операций над матрицами. Ранг матрицы. Детерминанты. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 1.1.2. Детерминанты. Основные свойства детерминантов. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 1.2.1. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема Крамера. Метод последовательного исключения неизвестных. Фундаментальная система решений. Основные алгебраические структуры. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 1.3.1. Множества. Предикаты. Отображения. Основные алгебраические структуры. Поле комплексных чисел. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 1.3.2. Комплексные числа в алгебраической форме. Операции над комплексными числами в алгебраической форме. Комплексные числа в тригонометрической форме. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Кольцо многочленов. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 1.3.3. Полиномы. Операции над полиномами. Теорема о делении полиномов с остатком. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель. Теорема Безу. Схема Горнера. Теорема о разложении на простейшие дроби. Критерий Эйзенштейна. Теорема Штурма. Линейные пространства. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 2.1.1. Линейные пространства. Свойства линейных пространств. Базис и размерность. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства линейных пространств. Линейные отображения и преобразования линейных пространств. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 2.1.2. Определение и свойства линейных отображений и преобразований. Матрица линейного отображения. Действия с линейными операторами. Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора. Евклидовы и унитарные пространства. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 2.2.1. Положительно определенные эрмитовы функции в линейных пространствах. Евклидовы и унитарные пространства и их простейшие свойства. Подпространства евклидовых и унитарных пространств. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция. Линейные операторы в унитарном пространстве. Структура линейного оператора в евклидовом пространстве. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 2.2.2. Основные определения. Сопряженные преобразования. Самосопряженные и ортогональные преобразования. Линейные преобразования унитарных пространств. Функции на линейных пространствах. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 2.2.3. Линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах. Матрица преобразования. Ранг билинейной и квадратичной форм. Закон инерции квадратичных форм. Жорданова форма. Аффинные и точечные пространства. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 2.3.1. Аффинное n-мерное пространство. Изоморфизм всех n-мерных арифметических пространств. Плоскости в n-мерном аффинном пространстве. Геометрически независимые системы точек. Евклидовы точечные пространства. Преобразования аффинных пространств. Решение практических и теоретических задач различных типов и уровней сложности по теме № 2.3.2. Аффинные преобразования. Движения аффинного евклидова пространства. Классификация движений. Темы лабораторных работ (лабораторный практикум). Учебным планом не предусмотрены. Темы курсовых работ. Учебным планом не предусмотрены. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля). Текущая аттестация: Контрольные работы. По завершении каждого модуля проводятся контрольные работы, содержащие задания различных типов и уровней сложности и способствующие контролю практической составляющей материала дисциплины (во время аудиторных занятий). Коллоквиумы. По завершении каждого модуля проводятся коллоквиумы, содержащие вопросы различных типов и уровней сложности и способствующие контролю теоретической составляющей материала дисциплины (во время внеаудиторных занятий). Тестирование (письменное или компьютерное) по темам и модулям дисциплины. Промежуточная аттестация: Тестирование по дисциплине; Зачёты и экзамен (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после решения всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы. Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично в соответствии с интервальной шкалой перевода 100-балловой системы. Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балловой) и традиционной (4-балловой) систем оценок. Темы контрольных работ: Контрольная работа № 1. Решить систему линейных уравнений. Найти обратную матрицу. Вычислить определитель. Найти наибольших общий делитель многочленов. Разложить многочлен по степеням одночлена. Найти все корни заданной степени из указанного комплексного числа. Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей. Контрольная работа № 2. Привести билинейную функцию к диагональному виду. Найти угол и расстояние между вектором и плоскостью. Найти жорданову форму матрицы линейного оператора. Найти собственный ортонормированный базис для симметрического (унитарного) оператора. Найти канонический базис матрицы ортогонального оператора. Найти каноническую форму уравнения квадрики. Определить вид движения в трехмерном пространстве. Контрольная работа № 3. Найти порядок элемента группы. Найти классы сопряженных элементов в группе. Найти все абелевы группы заданного порядка. Найти идеалы в заданном кольце. Установить изоморфизм факторгруппы (факторкольца) с заданной (группой) кольцом. Построить расширение полей, в которой заданный многочлен имеет корень. Определить все неприводимые представления заданной конечной абелевой группы. Контрольная работа № 4. Задать системой неравенств выпуклую оболочку конечного множества точек в аффинном пространстве. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом. Решить транспортную задачу методом потенциалов. Решить задачу о распределении кредита. Контрольная работа № 5. Доказать делимость чисел. Решить сравнение или систему сравнений. Определить первообразные корни и индексы. Перечень типовых вариантов контрольных работ, тестовых заданий и упражнений: (демонстрационная версия) Контрольная работа по теме «Матрицы и детерминанты» Выполнить указанные действия над матрицами и найти: Матрицу, получившуюся в результате выполнения арифметических действий; Значение детерминанта этой матрицы, пользуясь теоремой Лапласа или следствием из неё; При помощи элементарных преобразований привести определитель результирующей матрицы к треугольному виду. Найти матрицу, обратную к данной матрице: (демонстрационная версия) Контрольная работа по теме «Системы линейных уравнений» Найти решение системы линейных уравнений методом Крамера: Найти решение матричного уравнения: Найти общее и частное решения системы неоднородных линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных. Найти общее и фундаментальные решения системы однородных линейных уравнений, соответствующей неоднородной исходной системе. Выразить общее решение неоднородной системы через общее решение однородной системы. (демонстрационная версия) Контрольная работа по теме «Основные понятия теории чисел» Найдите a и b, если при любом целом n имеет место: n3+an+b ⋮ n2+1. Найдите все числа большие 25000, но меньшие 30000, у которых как при делении на 131, так и при делении на 1965 остаток равен 125. Было 7 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 7 кусков каждый. Затем некоторые из получившихся кусков снова разрезали на 7 кусков и так сделали несколько раз. Могло ли в результате получиться 1973 куска? Докажите, что . (демонстрационная версия) Тестовые задания для самопроверки по темам «Матрицы и детерминанты» и «Системы линейных уравнений» Линейная алгебра - Матрицы В результате выполнения арифметического действия над матрицами получится матрица … Варианты ответов: a) b) c) d) Линейная алгебра - Матрицы В результате выполнения арифметического действия над матрицами получится матрица … Варианты ответов: a) b) c) d) Линейная алгебра - Матрицы В результате выполнения арифметического действия над матрицами получится матрица … Варианты ответов: a) b) c) d) Линейная алгебра - Матрицы Выполните указанное действие и укажите результат Варианты ответов: a) b) c) d) Линейная алгебра - Детерминанты Значение детерминанта равно … Варианты ответов: a) b) c) d) Линейная алгебра - Детерминанты Значение детерминанта равно … Варианты ответов: a) b) c) d) Линейная алгебра - Детерминанты Значение детерминанта равно … Варианты ответов: a) b) c) d) Линейная алгебра – Матрицы – Обратные матрицы К матрице обратной является матрица … Варианты ответов: a) b) c) d) Линейная алгебра – Системы линейных уравнений Решением матричного уравнения является … Варианты ответов: a) c) b) d) Линейная алгебра – Системы линейных уравнений Решением системы линейных уравнений является … Варианты ответов: a) c) b) d) Линейная алгебра – Системы линейных уравнений Общее решение системы линейных уравнений имеет вид … Варианты ответов: a) c) b) d)

Похожие:

	Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направление... И. Математическая логика. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направления 010500....		Основная образовательная программа высшего профессионального образования... Основная образовательная программа высшего профессионального образования, реализуемая вузом по направлению подготовки 010500 Математическое...
	Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ:... В. Философия. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010500. 62 " Математическое обеспечение и...		Учебно-методический комплекс для студентов не психологических специальностей... Гидрология 010100. 62 Математика 010101. 65 Математика 010101. 65 Математика 010101. 65 Математика 010300. 62 Математика. Компьютерные...
	Рабочая программа для студентов специальности 010500. 65 Математическое... Федеральное Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Основная образовательная программа высшего профессионального образования... Федеральные законы Российской Федерации: «Об образовании» (от 10 июля 1992 г. №3266-1) и «О высшем и послевузовском профессиональном...
	Пояснительная записка рабочая программа дисциплины «Иностранный язык... «Математика и компьютерные науки», 010500. 62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 230100. 62...		Рабочая программа для студентов очной формы обучения направление... Иванов Д. И. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы...
	Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов очной формы обучения Шармин Д. В. История развития математической науки. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения,...		Рабочая программа для студентов очной формы обучения направление... Иванов Д. И. Дополнительные главы лгебры. Учебно-методический комплекс. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов...
	Государственный образовательный стандарт Общая характеристика специальности 351500 «математическое обеспечение и администрирование информационных систем»		Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направление... Иванов Д. И. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы...
	Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов очной формы обучения Шармин Д. В. История и методология математики. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения,...		Пример типового теста для студентов 5 курса специальности «математическое... Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования II поколения (номер государственной регистрации...
	Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направление 030100. 62 «Философия» Дёгтев А. Н. Математическая логика. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направления...		Рабочая программа для студентов направлений: 090301. 65 «Компьютерная безопасность» ...