Алгебра, 7 класс (март-апрель)
Характеристика инструментария
Комплекты тестов были составлены для УМК, по которым изучается алгебра в школах (классах), участвовавших в диагностике.
Все комплекты тестов состояли из 4-х вариантов. В каждом варианте мартовских тестов было по 14 заданий: 12 заданий с выбором ответа и 2 задания с кратким ответом. В комплектах апрельских тестов по рекомендации ассоциации учителей математики общее число заданий было сокращено до 12, а количество заданий с кратким ответом увеличено до четырех в каждом варианте. В каждом варианте были представлены как задания базового уровня сложности, так и задания повышенного уровня сложности (до 30% заданий).
За правильное выполнение каждого задания выставлялся 1 балл. Максимальный балл, который можно было получить за правильное выполнение всей работы, — 14 баллов в марте и 12 – в апреле. Время выполнения работы – 45 минут.
Каждый комплект тестов охватывал учебный материал, изученный по программе соответствующего УМК на момент проведения диагностики, по следующим содержательным блокам:
алгебраические выражения;
уравнения и неравенства;
числовые функции;
арифметика.
Задания, включенные в диагностические работы, проверяли овладение следующими умениями:
выполнять арифметические действия с рациональными числами, сравнивать рациональные и действительные числа;
находить значения степеней с целыми показателями;
находить значения числовых выражений;
выполнять основные действия со степенями с натуральным (целыми) показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями;
решать линейные уравнения;
решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;
находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком, по ее аргументу;
описывать свойства изученных функций, строить их графики.
Результаты
Работу по алгебре выполняли 7429 обучающихся 7-х классов из 304 образовательных учреждений. Средний процент выполнения теста – 59%.
На основе анализа статистических характеристик теста была установлена граница, определяющая достаточный уровень овладения учебным материалом по алгебре: 5 заданий (50% от числа заданий базового уровня сложности).
Распределение учащихся по количеству полученных тестовых баллов представлено на диаграмме.
Распределение по тестовым баллам
Рис. 1
Доля учащихся, не достигших достаточного уровня овладения учебным материалом (выполнили менее 5 заданий), составляет 20% (1494 учащихся). Большинство учащихся (62%) выполнили 6-11 заданий.
Анализ выполнения заданий теста проводился по темам, общим для всех комплектов тестов, и темам, которые вошли в комплекты для программы изучения алгебры по наиболее массовым учебникам авторов: Макарычев Ю.Н., и Мордкович А.Г., (6804 учащихся выполняли работу по этим комплектам).
В таблице 1 представлены средние показатели выполнения заданий по контролируемым элементам содержания, которые входили во все комплекты тестов.
Таблица 1
Контролируемый элемент содержания
|
Средний % выполнения
|
Совместные действия с десятичными и обыкновенными дробями
|
73
|
Числовые подстановки в буквенные выражения
|
44 (КО)
|
|
|
Определение степени с натуральным показателем
|
66
|
Применение свойств степеней с натуральным показателем для преобразования выражений
|
64
|
|
|
Стандартный вид многочлена. Приведение подобных слагаемых. Степень многочлена
|
82
|
Умножение многочлена на одночлен
|
66
|
Умножение многочленов
|
69
|
Квадрат суммы двух выражений
|
76
|
Квадрат разности двух выражений
|
73
|
Произведение суммы и разности двух выражений
|
83
|
Способ группировки
|
67
|
Преобразование целых выражений
|
51
|
|
|
Решение линейных уравнений
|
76 (КО)
|
Решение задач составлением линейных уравнений
|
35 (КО)
|
Решение уравнений, сводящихся к линейным
|
35 (КО)
|
Решение неполных квадратных уравнений
|
55
|
|
|
График линейной функции
|
45
|
Взаимное расположение графиков линейной функции
|
48
|
Среднее:
|
59
|
Анализ данных, приведенных в таблице, позволяет утверждать, что семиклассники в целом овладели умениями (средний процент выполнения заданий по разделу не менее 65%):
выполнять основные действия со степенями с натуральным (целыми) показателями (65%) и с многочленами (71%);
решать линейные уравнения (76%).
Диагностика показала также, что семиклассники испытывают затруднения при
решении задач составлением уравнений (35%);
выполнении заданий, связанных с графиками линейных функций (в среднем по разделу – 46%);
нахождении значения буквенного выражения при числовых подстановках (44%).
Описание уровня подготовки учащихся, получивших различные отметки на тестировании
Категории участников тестирования
|
Описание уровня подготовки по физике категорий участников тестирования
|
Отметка «5».
Процент учащихся этой категории – 15%.
|
Уровень освоения достигнут по всем проверяемым элементам содержания.
Средний процент выполнения заданий теста – 93%.
|
Отметка «4».
Процент учащихся этой категории – 34%.
|
Задания тестов выполнены этими учащимися на уровне 72%.
Недостаточно освоены следующие элементы содержания:
преобразование целых выражений (59%);
решение уравнений, сводящихся к линейным (49%);
решение задач составлением линейных уравнений (47%);
график линейной функции (56%).
|
Отметка «3».
Процент учащихся этой категории – 31%.
|
Процент выполнения 65% и выше достигнут для заданий, проверяющих умения выполнять
действия с многочленами с использованием формул сокращенного умножения;
совместные действия с десятичными и обыкновенными дробями.
Средний процент выполнения заданий теста составляет 46%.
|
Отметка «2.
Процент учащихся этой категории – 20%
|
Тестируемые с неудовлетворительным уровнем подготовки показали крайне низкий уровень овладения математическими умениями. Для учащихся этой группы отсутствуют полностью усвоенные контролируемые элементы содержания.
|
Примеры проблемных заданий
Пример 1
Найдите значение выражения  при  .
Запишите ответ в виде десятичной дроби.
Правильный ответ: – 1,8 дали только 29% тестировавшихся, 21% потеряли знак минус в ответе, 22% не приступали к выполнению этого задания, остальные допустили самые различные вычислительные ошибки.
Умение выполнять числовые подстановки в буквенные выражения является необходимым при изучении в школе предметов естественно-научного цикла. Отсутствие навыка может стать одной из причин неуспешности в дальнейшем обучении физике и химии.
Несмотря на то, что в среднем по теме «Многочлены» выявлен уровень усвоения материала на уровне выше 65%, отдельные задания вызвали затруднения у семиклассников.
Пример 2
Какой многочлен надо поставить сомножителем вместо , чтобы получилось тождество – 3x3 = 6x6a – 12x3a + 9x4?
1)
|
– 2x3a + 4a – 3x (51% - правильный ответ)
|
2)
|
– 2x2a + 4a – 3x (21%)
|
3)
|
2x3a + 4a – 3x (15%)
|
4)
|
– 2x3a – 4a – 3x (9%)
|
4% учащихся не выполняли это задание, так как тема «Умножение многочлена на одночлен» была отмечена некоторыми школами как неизученная на момент тестирования.
Большие трудности вызвали задания на преобразование выражений. Пример 3
Какое из выражений нельзя преобразовать в произведение  ?
1)
|
 – (26%)
|
2)
|
 – (32% - правильный ответ)
|
3)
|
 - (23%)
|
4)
|
 - (15%)
|
4% учащихся не приступили к выполнению задания. Возможно, низкий результат связан с одной из двух причин: обучающиеся седьмого класса не привыкли к выполнению заданий с «отрицанием» и невнимательны при чтении задания.
Пример 4
Решите уравнение  .
Правильный ответ: – 15.
С решением уравнения справились 38% учащихся, 28% – даже не приступали к решению.
Пример 5
Лодка прошла 3 ч против течения реки и 2 ч по течению реки, проплыв за всё это время 37 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Правильный ответ: 8 км/ч.
Задачи на движение учащиеся учатся решать с 3 класса, семиклассники решают такие задачи на уроках математики и физики, тем не менее, справились с задачей только 34% тестировавшихся. 35% учащихся не приступали к решению.
Пример 6
На рисунке изображён график линейной функции. Укажите формулу, задающую эту функцию.
1)
|
y = 2x (7%)
|
2)
|
y = 2x + 2 (48%-правильный ответ)
|
3)
|
y = x + 2 (23%)
|
4)
|
y = x – 1 (22%)
|
45% учащихся, выбравших 3 и 4 варианты ответов, не понимают математического смысла коэффициента при независимой переменной, почти треть учащихся не знают, какую роль играет свободный член при построении графика линейной функции.
Пример 7
Найдите координаты точки пересечения графика линейной функции y = 0,5x +2 и оси абсцисс.
1)
|
(0; 2) (45%)
|
2)
|
(2; 0) (13%)
|
3)
|
(– 4; 0) (34%-правильный ответ)
|
4)
|
(0; – 4) (8%)
|
Анализ выполнения такого типа заданий показывает, что более половины учащихся не знают уравнений координатных осей, не понимают, какие координаты должны быть равны нулю при пересечении прямых с координатными осями.
Алгебра, 7 класс (май)
Характеристика инструментария
При проведении независимой диагностики знаний учащихся по алгебре в мае 2012 года было составлено несколько комплектов тестов с учетом прохождения программы по различным УМК (таблица 1).
Таблица 1
Комплект
|
Авторы учебников по алгебре
для 7 класса
|
Количество
классов
|
%
|
1, 2, 4
|
Макарычев Ю.Н.
|
625
|
73%
|
Мордкович А.Г.
|
141
|
16,4%
|
Алимов Ш.А.
|
27
|
3%
|
Дорофеев Г.В.
|
6
|
0,6%
|
Другие
|
34
|
4%
|
3
|
Никольский С.М.
|
26
|
3%
|
|
Всего:
|
859
|
100%
|
Большинство тестировавшихся семиклассников выполняли работу по трем комплектам, разработанным для программы изучения алгебры по наиболее массовым учебникам. Контрольно-измерительные материалы, составленные по данным комплектам, проверяли уровень сформированности у учащихся знаний и практических умений по общим для всех УМК разделам курса алгебры, изучаемым в 7 классе, а также вычислительные навыки, совершенствование которых, продолжается в течение всех лет обучения:
выражения и их преобразования (алгебраические выражения);
уравнения (уравнения с одним неизвестным);
функции (линейная функция);
степень с натуральным показателем;
многочлены (одночлены и многочлены);
формулы сокращенного умножения (разложение многочленов на множители).
В комплект тестов для учебника Никольского С.М. вместо заданий по разделу «Функции» были включены задания по теме «Рациональные выражения и их преобразования».
По рекомендации ассоциации учителей математики количество заданий в тесте по сравнению с прошлым годом было сокращено до 12 и при этом увеличено число заданий с кратким ответом. Все комплекты тестов состояли из 4-х вариантов, в каждом варианте по 12 заданий: 8 заданий с выбором ответа и 4 задания с кратким ответом.
За правильное выполнение каждого задания начислялся 1 балл. Максимальное количество баллов, которое можно было получить за выполнение всего теста, – 12 баллов. Время выполнения теста – 45 минут.
Результаты
Работу по алгебре выполняли 18431 обучающийся из 809 образовательных учреждений. Средний процент выполнения теста – 69%.
Таблица 2
Комплекты
|
Количество
классов
|
Число учащихся
|
Средний % выполнения теста
|
1, 2, 4
|
833
|
17874
|
69,4%
|
3
|
26
|
557
|
64,1%
|
Всего:
|
859
|
18431
|
69,0%
|
На основе анализа статистических характеристик теста была установлена граница, определяющая достаточный уровень овладения учебным материалом по алгебре: 5 заданий (50% от числа заданий базового уровня сложности). Для учащихся, достигших достаточного уровня (перешагнувших через границу в 5 баллов), определялся рейтинг в классе. Оценки за выполнение теста не выставлялись.
Распределение учащихся по количеству полученных тестовых баллов представлено на диаграмме.
Рис.1
Доля учащихся, не достигших достаточного уровня овладения учебным материалом, составляет 12% от числа участников.
61% тестировавшихся семиклассников выполнили правильно от 8 до 12 заданий теста.
В таблице 3 представлены данные о выполнении заданий по контролируемым элементам содержания учащихся 7-х классов в 2012 и 2011 году.
Таблица 3
Контролируемый элемент содержания
|
Средний % выполнения
|
2012 г.
|
2011 г.
|
Число учащихся
|
18431
|
6333
|
Совместные действия с десятичными и обыкновенными дробями
|
53 (КО)
|
66
|
Числовые подстановки в буквенные выражения
|
45 (КО)
|
63
|
|
|
|
Определение степени с натуральным показателем
|
76
|
57
|
Применение свойств степеней с натуральным показателем для преобразования выражений
|
89
|
48
|
|
|
|
Умножение многочлена на одночлен
|
80
|
60
|
Умножение многочленов
|
77
|
63
|
Квадрат суммы двух выражений
|
81
|
71
|
Квадрат разности двух выражений
|
80
|
72
|
|
|
|
Способ группировки
|
74
|
65
|
Решение уравнений высших степеней методом разложения на множители
|
56
|
45
|
|
|
|
Корни уравнения
|
79
|
68
|
Решение линейных уравнений
|
76 (КО)
|
26 (КО)
|
Решение задач составлением линейных уравнений
|
56 (КО)
|
25 (КО)
|
|
|
|
Принадлежность точки графику функции
|
73
|
56
|
График линейной функции
|
69
|
62
|
Среднее:
|
69
|
55
|
Согласно принятым в практике педагогических измерений критериям1 проверяемые в 2012 году элементы содержания за исключением «числовых подстановок в буквенные выражения» учащимися 7-х классов усвоены.
Ниже представлен сравнительный анализ выполнения заданий в 2012 и 2011 году по блокам.
Арифметические действия
Умения выполнять совместные действия с десятичными и обыкновенными дробями, а также числовые подстановки в буквенные выражения проверялись в 2012 году заданиями с кратким ответом, а в 2011 году заданиями с выбором ответа. Замена типа заданий привела к снижению результатов. Следует отметить, что проверяемое содержание при этом не менялось.
Пример 1
Найдите значение числового выражения 8 : 0,16 – 1 6,4.
Правильный ответ: 42, получили только 49% тестировавшихся в 2012 году. Это же задание в 2011 году правильно выполнили (выбрав число 42 из предложенных ответов) 79% семиклассников.
Пример 2
Найдите значение выражения  при  .
Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Правильный ответ (–1,4) смогли получить только 32% учащихся. Анализ ответов учащихся позволяет выявить наиболее типичные ошибки:
потеря в ответе знака минус – (ответ 1,4 – 15%);
ошибка при вычитании отрицательного числа – (ответ– 2,52 – 1%);
две ошибки: при вычитании отрицательного числа и потеря знака минус – (ответ 2,52 – 7%).
45% учащихся получили 30 различных ответов, допустив ошибки, свидетельствующие о неумении производить элементарные арифметические действия, а 17% не дали никакого ответа.
Таким образом, можно констатировать снижение уровня овладения вычислительными навыками.
Одночлены и многочлены
С 3-мя заданиями, проверявшими умения выполнять умножение многочленов, в том числе и одночлена на многочлен, а также применять формулы сокращенного умножения при преобразовании алгебраических выражений, справились около 80% учащихся (в прошлом году 67%).
Пример 3
Какой многочлен надо поставить вместо , чтобы получилось тождество 6x2 = – 12x5 + 30x3y – 18x2y3?
1)
|
– 2x3 + 5xy – 3y3
|
2)
|
– 6x3 + 5xy – 12y3
|
3)
|
– 2x3 – 5xy – 3xy3
|
4)
|
– 2x3 + 6xy – 2y3
|
В прошлом году с этим заданием справились 67% тестировавшихся, а в этом году выполнение задания выросло до 81%.
Разложение многочленов на множители
Семиклассники продемонстрировали уверенное владение умением применять способ группировки для представления многочлена в виде произведения (выполнение 74%) и при решении неполного квадратного уравнения (56% - задания повышенного уровня сложности).
Ниже приведены примеры заданий, которые использовались в комплектах тестов 2012 и 2011 годов.
Пример 4
Разложите на множители многочлен 5a3 – 3a2 – 10a + 6.
1)
|
(a2 – 2)(5a + 3)
|
2)
|
(a2 + 2)(5a – 3)
|
3)
|
(a2 + 2)(5a + 3)
|
4)
|
(a2 – 2)(5a – 3)
|
Пример 5
Решите уравнение 
52% учащихся, выполняя это задание, нашли только один из двух корней уравнения. 18% допустили вычислительную ошибку и только 30% дали правильный ответ.
Степень с натуральным показателем
Результаты выполнения заданий этого блока выросли по сравнению с прошлым годом в среднем на 30%. При этом следует учесть, в этом году каждый учащийся выполнял только одно задание по этой теме (в двух вариантах были задания на определение степени, а в двух на свойства степеней с натуральным показателем).
Пример 6
Выполните действия: m3 m6; n14 : n2; (p4)2.
1)
|
m9; n7; p8
|
2)
|
m9; n12; p8
(88% - правильный ответ)
|
3)
|
m18 ; n7 ; p8
|
4)
|
m9 ; n12 ; p6
|
Большинство семиклассников успешно справляются с выполнением заданий на действия со степенями, когда основание задано буквами (без вычислений). В прошлом году задание по этой теме было комбинированным, его выполнение предполагало дополнительно знание порядка выполнения действий и умение вычислять (пример 7).
Пример 7
Вычислите:  .
1)
|
|
2)
|
8
|
3)
|
|
4)
|
 (47% - правильный ответ)
|
Линейная функция
Два задания базового уровня сложности по этой теме выполнили 71% всех тестировавшихся учащихся.
Задания на определение графика функции были подобны прошлогодним, при этом задания, в которых линейные функции были с отрицательным коэффициентом выполнены учениками хуже, чем задания с положительным коэффициентом.
Пример 8 (2002№7)
На каком рисунке изображён график функции y = –  ?
1)
(7%)
|
2)
(21%)
|
3)
(10%)
|
4)
61% - правильный ответ
|
Уровень выполнения этого задания вырос на 10% по сравнению с прошлым годом, однако каждый пятый ученик, выполнявший это задание, не знает о связи углового коэффициента и свободного члена с расположением прямой на координатной плоскости.
Три задания теста проверяли умение решать уравнения.
С заданиями на понимание смысла термина «корень уравнения» и на решение линейного уравнения (задание с кратким ответом) справилось в среднем 78% учащихся.
Задачи (задания с кратким ответом), решение которых предусматривало составление линейных уравнений, выполнены более, чем половиной тестировавшихся (56%).
В 2011 году в тесты по этой теме были включены задания, не сводящиеся к непосредственному применению известного алгоритма (повышенного уровня сложности), на нахождение абсциссы точки пересечения графиков двух линейных функций и на решение задач составлением линейных уравнений (задачи на движение), с которыми справилось только четверть тестировавшихся учеников.
Изучение математики в школе не должно сводиться только к обучению применять алгоритмы, требуется использование более широкого арсенала методических приемов для обучения пониманию, интерпретации, распознаванию стандартных вопросов в измененной ситуации.
Выводы и рекомендации
1. По результатам тестирования 88% учащихся 7-х классов продемонстрировали достаточный уровень подготовки по алгебре.
2. 12185 (66%) учащихся продемонстрировали овладение большинством контролируемых элементов содержания. Одной из проблем у этих учащихся является неумение выполнять вычисления при подстановке числовых значений в буквенные выражения и преобразования рациональных уравнений (комплект тестов по учебнику Никольского С.М.).
3. В 83 школах доля учащихся, не достигших достаточного уровня подготовки по алгебре (выполнили менее 5 заданий), составляет от 40% до 90%. Для 1608 учащихся этих школ нет ни одного проверяемого элемента содержания, усвоенного на достаточном уровне (выполнение заданий базового уровня ниже 65%).
4. Для повышения качества математической подготовки рекомендуется оптимально использовать самостоятельную работу учеников на уроке, которая способствует формированию навыков самоконтроля, выполняя обучающую функцию, в то же время позволяет учителю получить информацию об ошибках, недочетах и пробелах в знаниях и умениях учащихся. На основе анализа данных о затруднениях учащихся, учителю необходимо своевременно вносить коррективы в тематическое планирование, выбирая наиболее действенные методические приемы обучения.
5. Для развития познавательного интереса к математике, который непосредственно влияет на успешность изучения предмета, следует включать в практику преподавания больше задач практической направленности.
|
