Скачать 196.63 Kb.
|
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики, естественных наук и информационных технологийКафедра алгебры и математической логикиПлатонов М. Л. Дополнительные главы теории чисел Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения специальности 09090.62 «Информационная безопасность», профиль подготовки: «Безопасность распределённых систем» Тюменский государственный университет 2011 Платонов М. Л. Дополнительные главы теории чисел. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 090900.62 «Информационная безопасность», профиль подготовки: «Безопасность распределённых систем», форма обучения – очная. Тюмень, 2011, 14 стр. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки. Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: «Дополнительные главы теории чисел» [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета. ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой алгебры и математической логики, доктор физико-математических наук, профессор, Кутрунов В.Н.© Тюменский государственный университет, 2011. © Платонов М.Л., 2011.
Дисциплина "Дополнительные главы теории чисел" обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления. Цели дисциплины:
Задачи изучения дисциплины:
Дисциплина «Дополнительные главы теории чисел» в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению «Информационная безопасность» относится к вариативной части цикла профессиональных дисциплин. Она является логическим продолжением базовых профессиональных курсов алгебры, математического анализа и комплексного анализа. С методической точки зрения она хорошо иллюстрирует общие теоремы и конструкции этих базовых дисциплин на примерах исследования свойств конкретных объектов – целых чисел. Знания, полученные после изучения этой дисциплины, позволяют ориентироваться в различных направлениях практической деятельности, связанных с дискретной математикой, защитой информации, компьютерными науками. В качестве входных знаний необходимы основы алгебры, действительного и комплексного анализа. Изучение этой дисциплины может сопровождаться практикумом на ЭВМ по теоретико-числовым алгоритмам с использованием пакетов прикладных программ, таких как «Математика», и практикумом по параллельным методам решения теоретико-числовых задач на кластерах. В ходе изучения дисциплины «Дополнительные главы теории чисел» студенты должны усвоить основные понятия и методы теории чисел, получить основные сведения о структурах, используемых в персональных компьютерах. Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с соответствующими учебниками, учебными пособиями, монографиями, научными статьями. На основе приобретенных знаний формируются умения применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, владеть методами построения математической модели профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов. Знание теории чисел может существенно помочь в научно-исследовательской работе.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями: общекультурными компетенциями (ОК):
профессиональными компетенциями (ПК):
В результате освоения дисциплины студент должен: Знать: свойства простых и составных чисел, законы распределения простых чисел в натуральном ряде, свойства колец классов вычетов по натуральным модулям, основные свойства алгебраических расширений поля рациональных чисел и конечных полей, свойства арифметических функций. Уметь: решать линейные и квадратичные уравнения от нескольких переменных, системы линейных уравнений в целых числах. Устанавливать разрешимость и находить решения алгебраических сравнений и систем сравнений, показательных сравнений. Вычислять значения арифметических функций. Строить рациональные приближения к действительным числам. Владеть: современными теоретико-числовыми алгоритмами.
Семестр 2. Форма промежуточной аттестации: зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
Таблица 1. Тематический план.
Таблица 2. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля.
Таблица 3. Планирование самостоятельной работы студентов.
Модуль 1.
Свойства делимости. Алгоритм Евклида и следствия из него. НОК. Связь алгоритма Евклида с непрерывными дробями. Простые числа. Каноническое разложение целых чисел.
Функция [x]. Мультипликативные функции. Вывод формул для S(n) и . Функции Мёбиуса и Эйлера, их свойства. Модуль 2.
Свойства сравнений (Теорема 1 и 2). Полная и приведённая системы вычетов. Теорема Эйлера и Ферма.
Сравнения первой степени. Система сравнений первой степени, китайская теорема об остатках. Сравнения любой степени по простому и составному модулях. Решение сравнения .
Общие свойства сравнения . Символы Лежандра и Якоби, их свойства. Случай составного модуля. Модуль 3.
Иррациональность числа е. Теорема Линдемана. Трансцендентность числа π Теорема Гельфонда (без доказательства) и следствие из неё.
Теорема Дирихле. Бесконечность простых чисел вида 4t + 3, 4t + 1 и 6t + 1.
Модуль 1.
Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольших делителей двух чисел. Разложения рациональных чисел в непрерывные дроби с составлением таблиц подходящих дробей. Нахождение канонического разложения чисел. Применение решета Эрастосфена.
Нахождение канонического разложения числа вида n!. Вычисление числа и суммы делителей . Составление таблиц значений для функции Мёбиуса и Эйлера Модуль 2.
Использование свойств сравнений для их упрощения.
Решение сравнений вида: и систем сравнений.
Решение сравнений второй степени вида: Вычисление символов Лагранжа и Якоби. Модуль 3.
Использование критериев для определения по числу его алгебраичность или иррациональность. Иллюстрация теорем численными примерами.
Использование формул для оценки числа простых чисел, меньших данного ( возможно применение персональных компьютеров).
Не предусмотрены.
Текущая аттестация: Три контрольные работы ( примеры контрольных работ указаны ниже). Промежуточная аттестация: Зачет (письменно-устная форма). Зачет выставляется после решения задач всех контрольных работ и выполнения самостоятельной работы. Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) системы оценок. Варианты контрольных работ. Контрольная работа № 1. Найти НОД (6188,4709). Разложить в непрерывную дробь . Найти каноническое разложение числа 125! Вычислить S(α), α =2800. Найти φ (5040), µ(147) и µ(143). Контрольная работа № 2. Решить сравнение 256х . Решить систему сравнений х , х х . Решить сравнение +29х . Контрольная работа № 3. Указать число решений сравнения: Темы рефератов: Теорема Дирихле. Работа П.Л.Чебышева о функции π(х). Теорема Мертенса. Трансцендентность числа π. Трансцендентность числа е. Вопросы к зачету: Алгоритм Евклида, НОД и НОК. Непрерывные дроби. Таблицы подходящих дробей. Функции [x] и {x}. Мультипликативная функция. Формулы S(n) и . Функция Мёбиуса. Функция Эйлера. Предложения 1 о сравнениях (5 свойств). Предложения 2 о сравнениях (6 свойств). Полная и приведённая система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнение Система сравнений первой степени. Сравнения Теорема Вильсона. Сравнения Сравнения Свойства символа Лежандра. Свойства символа Якоби. Сравнения вида и . Показатели и первообразные корни. Бесконечность простых чисел вида 4t + 1 и 6t + 1.
При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и проблемного обучения в сочетании с современными информационными технологиями обучения (различные демонстрации с использованием проекционного и мультимедийного оборудования). При проведении практических занятий применяются технологии проблемного обучения, дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии обучения (самостоятельное изучение студентами учебных материалов в электронной форме, выполнение студентами электронных практикумов, различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования). При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном изучении части теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии обучения (системы поиска информации, работа с учебно-методическими материалами, размещенными на сайте университета). В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное практическое занятие, работа в малых группах, практические занятия в диалоговом режиме, самостоятельная работа с учебными материалами.
Основная литература:
Дополнительная литература:
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том числе, оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютеру с Microsoft Office. |