Решение. Найдем абсциссы точек пересечения двух графиков, решив систему уравнений

4.3 Геометрические приложения определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции , прямыми х=а и х=b и отрезком [a;b] оси O (рис. 4.2) вычисляется по формуле (4.7) Рис. 4.2 Рис4.3 Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и у =g(x) (f(x)g(x)) и двумя прямыми x=a и x=b (рис. 4.3) вычисляется по формуле dx (4.8) Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у=х и параболой у = 2 - . Решение. Найдем абсциссы точек пересечения двух графиков, решив систему уравнений Тогда Рис. 4.4 Криволинейная трапеция (рис.4.4) ограничена сверху параболой у=2-, снизу – прямой y=x и проектируется на ось OX в отрезке [-2;1] Следовательно, искомая площадь равна Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами Решение. Если криволинейная трапеция ограничена графиками непрерывных функций и прямыми у=с и у=d (c (4.9) Здесь - левая граница, – правая граница криволинейной трапеции. В нашем случае криволинейная трапеция имеет вид (рис. 4.6) Рис 4.5 Рис. 4.6 Здесь – левая граница, – правая граница и площадь S вычисляется по формуле (4.9) Для того, чтобы найти пределы интегрирования, решим систему уравнений Ординаты точек пересечения парабол определяют пределы интегрирования в формуле (4.9). Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), прямыми х=а, x=b и отрезком [a,b] оси ОХ, то площадь этой фигуры вычисляется по формуле (4.10) где определяются из уравнений , причем y(t)0 на отрезке []. Формула (4.10) применяется также для вычисления площади фигуры, ограниченно замкнутой кривой, при этом изменение параметра t от до должно соответствовать обходу граници фигуры по часовой стрелке. Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x=a(1-cost) и осью ОХ. Решение. Циклоидой называется траектория точки, лежащей на окружности круга, который без скольжения катится по прямой. Принимая прямую за ось ОХ и полагая, что в исходном положении точка находится в начале координат, получаем параметрические уравнения циклоиды x=a(t-sin t), y=a(1-сos t), где t – переменный параметр, а – радиус круга. Первая арка циклоиды вычерчивается точкой при изменении t в пределах от 0 до 2, так как y(0)= о и у (2)=0, а в остальных точках интервала (0, 2)у>0 (рис. 4.7) Рис. 4.7 Площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью ОХ определяется по формуле (4.10) Если фигура ограничена графиком непрерывной функции , двумя лучами - полярные координаты (рис. 4.8), то ее называют криволинейным сектором, площадь которого вычисляют по формуле (4.11) Рис. 4.8 Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией . Решение. Так как значения радиуса-вектора неотрицательны, то возможные значения полярного угла определяются из решения неравенства . Откуда следует, что . Но, так как полярный угол принимает возможные значения на интервале длинной не больше 2, то . При изменении от конец радиуса описывают замкнутую фигуру. Площадь этой фигуры вычисляют по формуле (4.11) Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной дугами окружностей . Решение. Уравнение 0 задает окружность радиуса 1 с центром в точке (1;0). Действительно, это уравнение можно преобразовать к виду . Аналогично, уравнение задает окружность радиуса 1 с центром (0;1). Так как уравнения границ заданной области содержат выражение , то необходимо перейти к полярным координатам: . Тогда и уравнения окружностей в полярных координатах приобретают вид: . Окружности пересекаются при и рассматриваемая фигура симметрична относительно луча (рис. 4.9) Рис. 4.9 Площаль этой фигуры надо вычислять по формуле (4.11). В силу симметрии площадь всей фигуры равна удвоенной площади заштрихованной части, которая представляет собой сектор, ограниченной линией и лучами . Тогда С помощью определенного интеграла можно вычислить длину дуги кривой. Если кривая задана уравнением y=f(x) на отрезке [a,b], где f(x) – непрерывно дифференцируемая функция, то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле (4.12) Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), где x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции, то длина дуги, соответствующей монотонному изменению параметра t от до , находится по формуле (4.13) Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t), : (4.14) Если дуга кривой задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги равна (4.15) Пример 6. Найти длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки (4;8). Решение. Так как точка (4;8) находится в верхней полуплоскости, то на отрезке изменения х от 0 до 4 и . В этом случае длина дуги вычисляется по формуле (4.12) Пример 7. Вычислить длину дуги кривой Решение. Длину дуги найдем по формуле (4.13). Для этого продифференцируем по t параметрические уравнения Тогда Пример 8. Найти длину дуги кардиоиды , расположенной в верхней полуплоскости. Решение. При изменении от 0 до длина радиуса-вектора возрастает от 0 до 4, а конец радиуса вектора описывает дугу ОМВ, расположенную в верхней полуплоскости (рис 4.10) Рис. 4.10 Вычислим длину этой дуги, используя формулу (4.15). Найдем Определенный интеграл используется для вычисления площадей поверхностей вращения. Если поверхность образована вращением вокруг оси ОХ дуги кривой, заданной непрерывно дифференцируемой функцией y=f(x), , то площадь этой поверхности вычисляется по формуле (4.16) Если дуга задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), , где x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции на , то (4.17) Если дуга задана в полярных координатах , то (4.18) Пример 9. Вычислить площадь поверхности шара радиуса R. Решение. Будем считать, что шар получен вращением вокруг оси ОХ верхней чести полукруга, ограниченного окружностью . Перейдем к полярным координатам : . Тогда уравнение окружности принимает вид . При изменении 0 до радиус-вектор описывает верхнюю дугу окружности. Для вычисления площади поверхности шара воспользуемся формулой (4.18), в которой , и Вычисление объемов тел вращения также производится с помощью определенного интеграла. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x) и прямыми y=0, x=a и x=b вращается вокруг оси ОХ, то объем тела, образованного при вращении, вычисляется по формуле (4.19). Если фигура, ограниченная кривыми и прямыми x=a и x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела, образованного при вращении, вычисляется по формуле (4.20) Пример 10. Найти объем тела, образованного при вращении одной арки циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost) вокруг оси ОХ. Решение. Рассмотрим арку циклоиды, соответствующую изменению параметра t от 0 до . Тогда абсциссы точек на этой дуге изменяются от x(0)=0 до и объем тела вращения вычисляют по формуле (4.19) Перейдем к переменной t, полагая x=a(t-sint), и при изменении x от 0 до переменная t меняется от 0 до , dx=a(1-cost)dt и y=a(1-cost). Задачи для самостоятельного решения Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой x+y=3. Вычислить площадь эллипса, границы которого заданы уравнениями x=2cost, y=3sint. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией . Вычислить длину дуги кривой Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически уравнением . Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в полярных координатах . Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями xy=4, x=1, x=4, y=0 вокруг оси ОХ. Ответы: 1. 4,5; 2. 6; 3. 9; 4. 0.5ln3; 5. 12; 6. 16; 7. 12; ===

Похожие:

	Урок математики в 6 ом классе по теме : «решение уравнений» Обучающие цели: повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Решение уравнений» и их применение отработка практических...		Решение уравнений на языке Delphi Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств
	Тематический план курса I. Целые рациональные уравнения. 21 Лекция... Сведение уравнения к квадратному с помощью удачной подстановки. 13 Решение возвратных и обобщенных возвратных уравнений. 23 Решение...		Урок конференция по теме "Решение задач с помощью квадратных уравнений" 8-й класс Решение задач с помощью квадратных уравнений”. Продолжить закрепление решение квадратных уравнений по формуле
	Решение иррациональных уравнений и систем (10 класс) Цель: Закрепить решение иррациональных уравнений; развивать логическое мышление; расширять кругозор учащихся		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать условия пересечения и параллельности графиков линейных функций, определение углового коэффициента
	Ивановский Леонид Игоревич Реализовано изменение отображения графиков на плоскости, их перемещение с последующим изменением линейного уравнения. Также пользователь...		Тема: Решение задач с помощью системы уравнений первой и второй степени. Здравствуйте, ребята. Ещё начиная с начальной школы вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым...
	Тема : Решение показательные уравнений Сегодня я дам вам действовать,чтобы вы поняли и запомнили способы и методы решения показательных уравнений		Урока по теме: «уравнения. Решение задач с помощью уравнений» Зун учащихся по теме «Уравнения. Решение задач с помощью уравнений», навыков устных и письменных вычислений, упрощения алгебраических...
	Урок математики в 4 классе по теме «Решение уравнений вида х×8 = 26 + 70» Познакомить с приемом решения уравнений на основе знаний связи между множителями и произведением		Конспект урока на обобщающее повторение алгебры в 11 классе по теме... Повторение и обобщение знаний учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
	Элективный курс. Выполнила учитель математики моу сош №29 г. Чебоксары Морушкина Вера Васильевна Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр. 5		Реферат по математике на тему: Способы устного решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена
	Решение дифференциальных уравнений с помощью прикладного пакета Mathematica Соискатель кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа Малышева Ольга Николаевна		Урок по теме «Решение квадратных уравнений». 8 класс Цели урока Обобщить, систематизировать, проверить основные умения и навыки решения квадратных уравнений