БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Выпускная работа по
«Основам информационных технологий»
Соискатель кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа Малышева Ольга Николаевна
Руководители:
профессор Черкас Леонид Антонович
ст. преподаватель Кожич Павел Павлович
Оглавление
Оглавление 2
Список обозначений ко всей выпускной работе 4
Реферат на тему: «Решение дифференциальных уравнений с помощью прикладного пакета «Mathematica» 5
Введение 6
Глава 1
Прикладной пакет Mathematica 10
Глава 2
Математическое моделирование 13
Глава 3
Решение дифференциальных уравнений в Mathematica 16
3.1 Символьное (аналитическое) решение дифференциальных уравнений 16
3.2 Численное решение дифференциальных уравнений 18
3.3 Визуализация функций 20
3.4 Визуализация данных 22
3.5 Интерактивная визуализация 23
Глава 4
Анализ результатов 25
Заключение 26
Список литературы к реферату 27
Предметный указатель к реферату 28
Интернет ресурсы в предметной области исследования 30
Действующий личный сайт в WWW 34
Граф научных интересов 35
Тестовые вопросы по Основам информационных технологий 36
Презентация кандидатской диссертации 37
Список литературы к выпускной работе 38
ПРИЛОЖЕНИЕ А 39
ПРИЛОЖЕНИЕ Б 40
ПРИЛОЖЕНИЕ В 41
ПРИЛОЖЕНИЕ Г 42
ПРИЛОЖЕНИЕ Д 43
ПРИЛОЖЕНИЕ Е 44
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж 45
ПРИЛОЖЕНИЕ И 46
ПРИЛОЖЕНИЕ К 47
ПРИЛОЖЕНИЕ Л 48
Список обозначений ко всей выпускной работе
ОДУ — обыкновенное(-ые) дифференциальное(-ые) уравнение(-ия).
ИТ — информационные технологии.
СЛНДУ — система(-мы) линейных неоднородных дифференциальных уравнений.
Реферат на тему: «Решение дифференциальных уравнений с помощью прикладного пакета «Mathematica» Введение
Длительная эволюция применения компьютеров для численных расчетов привела к развитию методов компьютерного моделирования и вычислительного эксперимента. Активное использование компьютеров для проведения символьных и графических вычислений, освобождающее исследователя от проведения рутинных, но трудоемких и чреватых ошибками преобразований, существенно сократило время реализации научных и технических проектов.
В контекст рассмотренных изменений органично вписывается программный продукт Mathematica американской компании Wolfram Research, Inc (WRI), впервые появившийся в 1988 году. Несмотря на само название системы, использование Mathematica распространяется далеко за границы традиционной математики и математических наук. В действительности только пятую часть ее пользователей составляют математики (как теоретики, так и практики). Фундаментальная подвижность Mathematica позволяет применять ее в невероятно широком диапазоне. Можно провести аналогию с текстовым редактором, который одинаково хорош для написания деловых документов, диссертаций и беллитристики.
Программа, созданная для профессионалов, с течением времени преобразилась настолько, что теперь ее могут использовать люди самых разных профессий и возрастов. Mathematica представляет собой мощнейшее средство, и более чем миллионную армию ее пользователей сегодня составляют исследователи, финансовые аналитики, юристы, преподаватели, ученые-практики и даже художники.
Одной из наиболее быстро растущих отраслей человеческой деятельности является проектирование. В этой области все большее количество профессионалов ощущают преимущества универсальной среды для числовых и символьных вычислений, позволяющей к тому же создавать отчеты и другие документы.
Mathematica является универсальной технической компьютерной системой, обладающей возможностями компьютерной математики, имеющей свой язык программирования, инструменты публикации, разнообразные графические возможности, а также высокий уровень интеграции между всеми этими компанентами.
Непосредственно нас интересуют возможности данного прикладного пакета для решения дифференциальных уравнений и систем в аналитическом, численном и графическом виде, то есть предметное использование ИТ для решения конкретных математических задач.
Одним из основных методов познания является опыт, эксперимент. С помощью экспериментов были установлены закон сохранения вещества и энергии, периодическая системаэлементов Д. И. Менделеева и т.д. Однако, не всегда бывает целесообразно проводить эксперимент, иногда это может быть связано с очень большими, неоправданными затратами или риском. Достаточно представить себе картину чисто «экспериментального» изучения хода термоядерной реакции или ядерного взрыва. Можно привести много других примеров на этот счёт из различных областей человеческой деятельности. С развитием математики всё большую роль в самых различных областях науки и техники стал играть метод математического моделирования.
Математическая идеализация описывает основные законы, управляющие явлением в математической форме. Очень часто эти законы выражаются в виде дифференциальных уравнений. Исследуя эти уравнения вместе с дополнительными ограничениями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, учёный получает сведения о происходящем явлении, а иногда может узнать, что происходило в прошлом или будет происходить в будущем.
Математические методы позволяют не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дают возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда и предсказать новые физические эффекты. Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений, как правило, нужно знать только локальные связи, и не нужна информация обо всем явлении в целом. Такими оказываются различные явления механики сплошной среды, химические реакций, электрические и магнитные явления, процессы в экономике и др., хотя бывают и более сложные случаи.
Следует отметить, что именно на основе анализа дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные волны, а в 1846 году в результате такого же анализа французский астроном Урбен Леверье (1811–1877) открыл планету Нептун.
Изучение математических моделей конкретных физических задач привело к созданию в середине XVIII века новой ветви анализа – уравнений математической физики, которую можно рассматривать как науку о математических моделях физических явлений. Основы этой науки были заложены трудами Даламбера (1717 - 1783), Эйлера (1707 - 1783), Бернулли (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 - 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) и других ученых. Разработанные ими при исследовании конкретных задач идеи и методы оказались применимыми к изучению широких классов дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века основой для развития общей теории. Таким образом, дифференциальные уравнения родились из приложений. В то же время, они не могут плодотворно развиваться в отрыве от физических задач. Неудивительно поэтому, что эта дисциплина является одним из самых больших разделов современной математики.
Математическая модель в виде дифференциальных уравнений в принципе позволяет по состоянию системы в данный (начальный) момент времени определить ее состояние в любой последующий момент. Такие модели описывают динамические системы. Они связывают абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения.
Ввиду вышесказанного ясно, что решение дифференциальных уравнений подразумевает конкретный результат, нужный и пригодный для применения в действительности, на практике, в повседневной жизни. Здесь, конечно же, имеют существенное значение не только качественные, но и количественные характеристики исследуемого объекта или процесса, поэтому связь теории дифференциальных уравнений с вычислительными методами в практической деятельности неразрывна.
В связи с этим возникает задача — с наименьшими затратами времени и ресурсов получить интересующие исследователя данные, — числовые, аналитические, графические. Известно, что не всякое дифференциальное уравнение имеет аналитическое решение, а если и имеет, то найти его бывает чрезвычайно трудно. Часто удаётся вычислить лишь некоторые значения определённых параметров при заданных начальных или граничных условиях, которые в свою очередь используются для других вычислений или решения исходной задачи. Всё это влечёт за собой насущную потребность и необходимость в использовании ЭВМ и специального программного обеспечения.
Благодаря быстрому развитию вычислительной техники и прикладных информационных технологий, не прибегая к существенным затратам на реализацию эксперимента и в значительной мере облегчая исследование при применении известных программных продуктов, решается широкий класс задач.
|
