Решение дифференциальных уравнений с помощью прикладного пакета Mathematica

Скачать 351.5 Kb.

Название	Решение дифференциальных уравнений с помощью прикладного пакета Mathematica
страница	3/9
Дата публикации	29.12.2014
Размер	351.5 Kb.
Тип	Реферат

100-bal.ru > Математика > Реферат

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Глава 3
Решение дифференциальных уравнений в Mathematica

3.1 Символьное (аналитическое) решение дифференциальных уравнений

Для символьного (аналитического) решения дифференциальных уравнений используется функция DSolve[][1, с. 320-329]. Результат её выполнения представляет собой список, где неизвестной функции ставится в соответствие её аналитическое представление.

В

се возможности DSolve[] представлены в Меню Help>Documentation Center>tutorial/DSolveOverview (Рис. 4).

Рис. 4 - Возможности DSolve[]

Синтаксис:

DSolve[egn,y[t],t] — решает дифференциальное уравнение egn относительно неизвестной функции y[t] от независимой переменной t.

DSolve[{egn1,egn2,…},{y1[t],y2[t],…},t] — решает систему дифференциальных уравнений {egn1,egn2,…} относительно неизвестных функций {y1[t],y2[t],…} с независимой переменной t.

DSolve[egn,y,{x1,x2,..}] — решает дифференциальное уравнение egn с частными производными относительно функции y от многих независимых переменных {x1,x2,..}.

Функция DSolve[] работает со следующими видами дифференциальных уравнений [2, с. 110-176]:

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с одной независимой переменной и их системы.

В этом случае результат DSolve[egn,y[t],t] — аналитическое представление y[t], — может применяться в дальнейшем только для объекта y[t]:

In[1]: DSolve[y´[x]+y[x]==1,y[x],x]

Out[1]: {{y[x]→1+e^-xC[1]}}

Предыдущий результат «не работает» для y[0] или y´[x]:

In[2]: y[x]+2y´[x]+y[0]/.%

Out[2]: {1+ e^-xC[1]+y[0]+2y´[x]}.

Чтобы найденным решением можно было манипулировать, оператор DSolve[] применяется с другим синтаксисом.

DSolve[eqn,y,t] — решение для y находится как «чистая» (pure) функция от независимой переменной x. Это решение можно применять в расчётах, подвергать преобразованиям:

In[3]; DSolve[y´[x]+y[x]==1,y,x]

Out[3]: {{y→Function[{x},1+e^-xC[1]]}}

Теперь вычисления выполняются полностью:

In[4]: y[x]+2y´[x]+y[0]/.%

Out[4]: {2+C[1]-e^-^xC[1]}.

Можно возвести найденную функцию в квадрат и взять производную:

In[5]: Simplify[y´´[x]+y[x]²/.%]

Out[5]: {1+3e^-^xC[1]+e^-2^xC[1]²}

Проверим найденное решение Out[3]:

In[6]: y´[x]+y[x]==1/.Out[3]

Out[6]: {True}.

В приведённых примерах ищется общее решение уравнения и выражение C[1] символизирует произвольный параметр, варьируя который получаются все частные решения уравнения. Если же изначально требуется найти какое-то частное решение, то к исходному уравнению присоединяются соответствующие начальные (граничные) условия. Можно решать уравнения не только первого, но и более высокого порядка.

In[11]: DSolve[y´´´´[x]==y[x],y[x],x]

Out[11]: {{y[x]→e^xC[1]+e^-xC[3]+C[2]Cos[x]+C[4]Sin[x]}}

Заданные начальные условия, сокращают количество произвольных постоянных.

Функция DSolve позволяет решать 11 типов ОДУ 1-го порядка, 7 типов линейных и 5 типов нелинейных ОДУ 2-го порядка, ОДУ высших порядков, линейные и нелинейные системы ОДУ, в том числе: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения 1-го порядка, уравнения Бернулли, уравнения Риккати, уравнения Клеро, линейные уравнения с постоянными коэффициентами, уравнения в полных дифференциалах, гипергеометрические уравнения, уравнения Лежандра, уравнения Бесселя, уравнения Абеля, уравнения Чини, уравнения Матьё.

Скриншот решений экспоненциального уравнения и граничной задачи с графиком см. ПРИЛОЖЕНИЕ А на стр. 42.

Системы ОДУ.

Системы ОДУ, матрица коэффициентов которых имеет вещественные и различные корни.

Системы ОДУ, матрица коэффициентов которых имеет комплексно-сопряжённые корни.

Однородные системы линейных уравнений любого порядка.

Системы ОДУ с непостоянными коэффициентами, вообще говоря, могут быть решены лишь в случаях, когда матрица коэффициентов имеет простую структуру. Что касается неоднородных систем, то DSolve реализует алгоритмы, где применяется как метод вариации произвольных постоянных, так и метод неопределённых коэффициентов. Что касается нелинейных систем ОДУ, то даже для достаточно простых систем решение может представлять сложные выражения от независимой переменной.

Скриншот решения неоднородной системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами см. ПРИЛОЖЕНИЕ Б на стр. 43.

Скриншот решения линейной и нелинейной систем уравнений см. ПРИЛОЖЕНИЕ В на стр. 44.

На практике, однако, решение часто существует лишь в неявной форме и поэтому может содержать объекты InverseFunction или Solve.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Похожие:

	Применение пакета Mathematica для математических вычислений Данный реферат посвящен использованию информационных технологий для математических вычислений на примере пакета Mathematica версии...		Решение нелинейных уравнений Цель работы Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Excel при решении нелинейных уравнений. Приобретение навыков решения нелинейных уравнений...
	Математические пакеты mathcad и mathematica в решении прикладных химических задач Решение некоторых химических задачис помощью математических пакетов mathcad и mathematica 13		Урок конференция по теме "Решение задач с помощью квадратных уравнений" 8-й класс Решение задач с помощью квадратных уравнений”. Продолжить закрепление решение квадратных уравнений по формуле
	Выпускная работа по «Основам информационных технологий» После того как Ньютон решил задачу Кеплера, теория дифференциальных уравнений стала одним из основных инструментов математического...		Урока по теме: «уравнения. Решение задач с помощью уравнений» Зун учащихся по теме «Уравнения. Решение задач с помощью уравнений», навыков устных и письменных вычислений, упрощения алгебраических...
	Рабочей программы дисциплины дв «Избранные главы теории дифференциальных... Изучение дисциплины способствует формированию математической культуры магистрантов; умению строить математические модели наблюдаемых...		Тематический план курса I. Целые рациональные уравнения. 21 Лекция... Сведение уравнения к квадратному с помощью удачной подстановки. 13 Решение возвратных и обобщенных возвратных уравнений. 23 Решение...
	Урок математики в 6 ом классе по теме : «решение уравнений» Обучающие цели: повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Решение уравнений» и их применение отработка практических...		Тема: Решение задач с помощью системы уравнений первой и второй степени. Здравствуйте, ребята. Ещё начиная с начальной школы вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым...
	Реферат по математике на тему: Способы устного решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена		Радиофизический факультет Цель дисциплины – ознакомление с фундаментальными понятиями и методами исследования обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений...
	Теоретико-групповой подход к решению систем нелинейных дифференциальных... Теоретико-групповой подход к решению систем нелинейных дифференциальных уравнений		Решение текстовых задач с помощью систем. Воспитательная Обучающая: Закрепить умение решать системы уравнений второй степени. Повторить алгоритм решения систем уравнений второй степени
	Радиофизический факультет Содержание дисциплины направлено на изучение физических принципов построения волноведущих и антенных устройств и базируется на знаниях...		Радиофизический факультет Ип в различных системах. Также содержание дисциплины направлено на обучение студентов основам решения задач линейной алгебры, решения...

Школьные материалы

Решение дифференциальных уравнений с помощью прикладного пакета Mathematica

Глава 3Решение дифференциальных уравнений в Mathematica

3.1 Символьное (аналитическое) решение дифференциальных уравнений

Похожие:

Глава 3
Решение дифференциальных уравнений в Mathematica