Глава 1
Прикладной пакет Mathematica
В настоящее время среди многочисленных прикладных математических пакетов следует выделить систему компьтерной алгебры Mathematica [4,5] как один из лучших. Сайт компании разработчика Wolfram Research (Рис. 1) расположен по адресу http://library.wolfram.com/infocenter/Books/. На сайте в 12-ти разделах представлено 874 книги по применению пакета Mathematica. Из них 70 книг относится к разделу «Прикладная математика» и 322 книги к разделу «Математика».
Р
ис. 1 – Cайт компании разработчика Wolfram Research
Раздел «Математика» состоит из 8-ми разделов (Рис. 2):
Алгебра — 36 книг;
Исчисления и анализ — 161 книга;
Дискретная математика — 26 книг;
Основания математики — 6 книг;
Геометрия — 36 книг;
Теория чисел — 7 книг;
Теория вероятности и статистика — 21 книга;
Занимательная математика — 6 книг.
Подраздел «Дифференциальные уравнения» (Рис. 3) находится в подразделе «Исчисления и анализ» раздела «Математика» и содержит 46 книг.
Р
ис. 2 - Раздел Mathematics
 Рис. 3 - Подраздел Differential Equations
Свободно скачать прикладной пакет Mathematica можно по адресу можно по адресу http://www.wolfram.com/webresources.html.
Глава 2
Математическое моделирование
Одним из основных методов познания является опыт, эксперимент. С помощью экспериментов были установлены закон сохранения вещества и энергии, периодическая система элементов Д. И. Менделеева и т.д. Однако, не всегда бывает целесообразно проводить эксперимент, иногда это может быть связано с очень большими, неоправданными затратами или риском. Достаточно представить себе картину чисто «экспериментального» изучения хода термоядерной реакции или ядерного взрыва. Можно привести много других примеров на этот счёт из различных областей человеческой деятельности. С развитием математики всё большую роль в самых различных областях науки и техники стал играть метод математического моделирования.
Математическая идеализация описывает основные законы, управляющие явлением в математической форме. Очень часто эти законы выражаются в виде дифференциальных уравнений. Исследуя эти уравнения вместе с дополнительными ограничениями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, учёный получает сведения о происходящем явлении, а иногда может узнать, что происходило в прошлом или будет происходить в будущем.
Математические методы позволяют не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дают возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда и предсказать новые физические эффекты. Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений, как правило, нужно знать только локальные связи, и не нужна информация обо всем явлении в целом. Такими оказываются различные явления механики сплошной среды, химические реакций, электрические и магнитные явления, процессы в экономике и др., хотя бывают и более сложные случаи.
Следует отметить, что именно на основе анализа дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные волны, а в 1846 году в результате такого же анализа французский астроном Урбен Леверье (1811–1877) открыл планету Нептун.
Изучение математических моделей конкретных физических задач привело к созданию в середине XVIII века новой ветви анализа – уравнений математической физики, которую можно рассматривать как науку о математических моделях физических явлений. Основы этой науки были заложены трудами Даламбера (1717 - 1783), Эйлера (1707 - 1783), Бернулли (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 - 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) и других ученых. Разработанные ими при исследовании конкретных задач идеи и методы оказались применимыми к изучению широких классов дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века основой для развития общей теории. Таким образом, дифференциальные уравнения родились из приложений. В то же время, они не могут плодотворно развиваться в отрыве от физических задач. Неудивительно поэтому, что эта дисциплина является одним из самых больших разделов современной математики.
Математическая модель в виде дифференциальных уравнений в принципе позволяет по состоянию системы в данный (начальный) момент времени определить ее состояние в любой последующий момент. Такие модели описывают динамические системы. Они связывают абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения.
Ввиду вышесказанного ясно, что решение дифференциальных уравнений подразумевает конкретный результат, нужный и пригодный для применения в действительности, на практике, в повседневной жизни. Здесь, конечно же, имеют существенное значение не только качественные, но и количественные характеристики исследуемого объекта или процесса, поэтому связь теории дифференциальных уравнений с вычислительными методами в практической деятельности неразрывна.
В связи с этим возникает задача — с наименьшими затратами времени и ресурсов получить интересующие исследователя данные, — числовые, аналитические, графические. Известно, что не всякое дифференциальное уравнение имеет аналитическое решение, а если и имеет, то найти его бывает чрезвычайно трудно. Часто удаётся вычислить лишь некоторые значения определённых параметров при заданных начальных или граничных условиях, которые в свою очередь используются для других вычислений или решения исходной задачи. Всё это влечёт за собой насущную потребность и необходимость в использовании ЭВМ и специального программного обеспечения.
Благодаря быстрому развитию вычислительной техники и прикладных информационных технологий, не прибегая к существенным затратам на реализацию эксперимента и в значительной мере облегчая исследование при применении известных программных продуктов, решается широкий класс задач.
Прикладной пакет Mathematica позволяет находить решение дифференциального уравнения или системы как в символьном, так и в численном виде. Кроме того есть возможность визуализации полученных результатов. Естественным образом, любая поставленная математическая задача предварительно исследуется классическими методами теории познания, такими как анализ и синтез, индукция и дедукция, а затем происходит ее формализация и алгоритмическая реализация. Наличие языка программирования в прикладном пакете Mathematica позволяет составлять программы для широкого класса задач, в которых исходные данные можно свободно варьировать и проводить крупномасштабные эксперименты, подтверждая или опровергая выдвинутые гипотезы. Это также дает возможность исследовать реальные физические процессы с целью их прогнозирования.
|
