Реферат по теме: «Необыкновенные обыкновенные дроби»

Дроби в Древнем Китае В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э.; они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Вычисляя на основе правила, аналогичного алгоритму Евклида, (наибольший общий делитель числителя и знаменателя), китайские математики сокращали дроби. Умножение дробей представлялось как нахождение площади прямоугольного земельного участка, длина и ширина которого выражены дробными числами. Деление рассматривалось с помощью идеи дележа, при этом китайских математиков не смущало, что число участников дележа может быть дробным, например, 3⅓ человека. Первоначально китайцы использовали простейшие дроби, которые получили наименования с использованием иероглифа бань : бань («половина») –1\2; шао бань («малая половина») –1\3; тай бань («большая половина») –2\3. Следующим этапом было развитие общего представления о дробях и формирование правил оперирования с ними. Если в древнем Египте применялись только аликвотные дроби, то в Китае они, считаясь долями-фэнь, мыслились как одна из разновидностей дробей, а не единственно возможные. Китайская математика с древних времен имела дело со смешанными числами. Самый ранний из математических текстов, «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского гномона»/«Математический трактат о гномоне»), содержит вычисления, при которых возводятся в степень такие числа, как, например, 247933/1460. [5] В «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») дробь рассматривается как часть целого, которая выражается в n-ном числе его долей-фэнь – m (n < m). Дробь – это «застывший» процесс деления одного числа на другое – делимого на делитель. Дробь всегда меньше единицы. Если в результате деления одного числа на другое получается остаток, то он принимается как числитель дроби, знаменателем которой является делитель. Например, при делении 22 на 5 получается 4 и остаток 2, который дает дробь 2\5. В первом разделе «Цзю чжан суань шу», посвященном в целом измерению полей, отдельно приводятся правила сокращения, сложения, вычитания, деления и умножения дробей, а также их сравнения и «уравнивания», т.е. такого сравнения трех дробей, при котором необходимо найти их среднее арифметическое (более простое правило вычисления среднего арифметического двух чисел в книге не приводится). Например, для получения суммы дробей в указанном сочинении предлагается следующая инструкция: «Поочередно перемножьте (ху чэн) числители на знаменатели. Сложите – это делимое (ши). Перемножьте знаменатели – это делитель (фа). Делимое соедините с делителем в одно (и). Если имеется остаток, то свяжите его с делителем». Эта инструкция означает, что если складывается несколько дробей, то числитель каждой дроби надо умножить на знаменатели всех остальных дробей. При «соединении» делимого (как суммы результатов такого умножения) с делителем (произведение всех знаменателей) получается дробь, которую следует при необходимости сократить и из которой путем деления следует выделить целую часть, тогда «остаток» – это числитель, а сокращенный делитель – это знаменатель. Сумма набора дробей есть результат такого деления, состоящий из целого числа плюс дробь. Указание «перемножьте знаменатели» означает, по сути, приведение дробей к наибольшему общему знаменателю. Правило сокращения дробей в «Цзю чжан суань шу» содержит алгоритм нахождения общего наибольшего делителя числителя и знаменателя, который совпадает с так называемым алгоритмом Евклида, предназначенным для определения общего наибольшего делителя двух чисел. Но если последний, как известно, дан в «Началах» в геометрической формулировке, то китайский алгоритм представлен чисто арифметически. Китайский алгоритм нахождения общего наибольшего делителя, называемого дэн шу ( «одинаковое число»), строится как последовательное вычитание меньшего числа из большего. На это число дэн шу и надо сократить дробь. Например, предлагается сократить дробь 49\91. Проводим последовательное вычитание: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Дэн шу = 7. Сокращаем дробь на это число. Получаем:7\13. Деление дробей в «Цзю чжан суань шу» отличается от принятого сегодня. В правиле «цзин фэнь» («порядок деления») указывается, что перед делением дробей их следует привести к общему знаменателю. Таким образом, процедура деления дробей имеет излишний этап: a/b : c/d = ad/bd : cb/bd = ad/cb. Только в V в. Чжан Цю-цзянь в своем сочинении «Чжан Цю-цзянь суань цзин» («Счетный канон Чжан Цю-цзяня») от него избавился, производя деление дробей по обычному правилу: a/b : c/d = ad/cb. Возможно, долгая приверженность китайских математиков к усложненному алгоритму деления дробей была обусловлена стремлением сохранить его универсальность и использованием счетной доски. По сути дела, он заключается в сведении деления дробей к делению целых чисел. Этот алгоритм справедлив, если делится целое число на смешанное. В делении, например, 2922 на 1825/8, оба числа сначала умножались на 8, что позволяло далее делить целые числа: 23376:1461= 16 Дроби в других государствах древности и средних веков. Дальнейшее развитие понятия обыкновенной дроби было достигнуто в Индии. Математики этой страны сумели достаточно быстро перейти от единичных дробей к дробям общего вида. Впервые такие дроби встречаются в «Правилах веревки» Апастамбы (VII-Vв. до н.э.), которые содержат геометрические построения и результаты некоторых вычислений. В Индии использовалась система записи – возможно, китайского, а возможно, позднегреческого происхождения, – при которой числитель дроби писался над знаменателем – как у нас, но без дробной черты, зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку. Иногда использовалось и «трехэтажное» выражение с тремя числами в одной рамке; в зависимости от контекста это могло обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на дробь b/c. Например, дробь записывали как 2 1 5 Правила действий с дробями, изложенные индийским ученым Брамагуптой (VIII в.), почти не отличались от современных. Как и в Китае, в Индии для приведения к общему знаменателю долгое время перемножали знаменатели всех слагаемых, но с IX в. пользовались уже наименьшим общим кратным. Средневековые арабы пользовались тремя системами записи дробей. Во-первых, на индийский манер, записывая знаменатель под числителем; дробная черта появилась в конце XII – начале XIII в. Во-вторых, чиновники, землемеры, торговцы пользовались исчислением аликвотных дробей, похожим на египетское, при этом применялись дроби со знаменателями, не превышающими 10 (только для таких дробей арабский язык имеет специальные термины); часто использовались приближенные значения; арабские ученые работали над усовершенствованием этого исчисления. В-третьих, арабские ученые унаследовали вавилонско-греческую шестидесятеричную систему, в которой, как и греки, применяли алфавитную запись, распространив ее и на целые части. Индийское обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в IX в. в мусульманских странах благодаря Мухаммеду Хорезмскому (аль-Хорезми). В торговой практике стран Ислама широко пользовались единичными дробями, в науке применяли шестидесятиричные дроби и в гораздо меньшей мере обыкновенные дроби. Ал-Караджи (X-XI вв.), ал-Хассар (XII в.), ал-Каласади (XVв.) и другие ученые представляли в своих трудах правила представления обыкновенных дробей в виде сумм и произведений единичных дробей. Сведения о дробях были перенесены в Западную Европу итальянским купцом и ученым Леонардо Фибоначчи из Пизы (XIII в.). Он ввел слово дробь, стал применять черту дроби (1202г), дал формулы для планомерного разбиения дробей на основные. Названия числитель и знаменатель ввел в 13 веке Максим Плануд – греческий монах, ученый, математик. Способ приведения дробей к общему знаменателю был предложен в 1556 г. Н.Тартальей. Современная схема сложения обыкновенных дробей встречается в 1629г. у А.Жирара. Заключение. Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи XVв. пишет: «Несть се дивно, что …в целых, но есть похвально, что в долях…». Я сделала вывод, что история обыкновенных дробей - это извилистая дорога со многими препятствиями и трудностями. При работе над рефератом я узнала много нового и интересного. Прочитала много книг и разделов из энциклопедий. Познакомилась с первыми дробями, которыми оперировали люди, с понятием аликвотная дробь, узнала новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. Ответ на вопрос, который я задала себе перед началом работы над рефератом: обыкновенные дроби необходимы, они важны. Задачи, которые я ставила перед началом работы над рефератом, считаю, мною выполнены. Литература. 1.Бородин А.И. Из истории арифметики. Головное издательство «Вища школа»-К.,1986 2. Глейзер Г. И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. 3.Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука»,М.,1978. 4. Кордемской Г.А.Математическая смекалка.-10-е изд., перераб. И доп.-М.:Юнисам,МДС,1994. 5.Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1990. 6.Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. Москва, «Аванта+»,1998. 7. http://ru.wikipedia.org/wiki.Материал из Википедии — свободной энциклопедии.

Похожие:

	Реферат по дисциплине: «Математика» по теме: «Необыкновенные обыкновенные дроби»		Урок по теме: "Обыкновенные дроби". 5-й класс Систематизация знаний по темам: "Обыкновенные дроби", "Сложение и вычитание смешанных чисел", "Сравнение обыкновенных дробей"
	Тема урока «Необыкновенные обыкновенные дроби» Цель урока: обобщение понятий натурального числа и доли; ознакомить с понятием обыкновенная дробь; формирование навыка решения заданий...		Урок математики в 5-м классе по теме: "Обыкновенные дроби" Цели урока.... Закрепление умения сравнивать обыкновенные дроби и выполнять арифметические операции над ними
	Тема урока: «Обыкновенные дроби». Цель урока: закрепить пройденный... Цель урока: усвоение знаний по теме: «Сложение и вычитание десятичных дробей», умение самостоятельно в комплексе применять зун, отработка...		Урок изучения нового материала 5 класс Тема: Доли. Обыкновенные дроби Организовать деятельность учащихся по изучению понятий обыкновенные дроби, числитель и знаменатель дроби, доли
	Урок математики в 5 классе по теме «Доли. Обыкновенные дроби» Технологическая карта урока математики в 5 классе по теме: «Доли. Обыкновенные дроби»		Урок- повторение в 5 классе по теме «Обыкновенные дроби» Обучающие: систематизировать знания учащихся об обыкновенных дробях. Совершенствовать умение складывать и вычитать дроби с одинаковыми...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: подвести обучающихся к ответу по теме урока, повторить, как получить обыкновенные дроби, ввести понятие основного свойства...		«Обыкновенные дроби» Цели: Обобщить и закрепить знания учащихся по понятию дроби, сложению и вычитанию
	Здравствуйте ребята! Продолжаем тему «Смешанные числа» «Дробные числа», урок «Неправильные дроби. Смешанные числа», тренажер ( в конце конспекта в дополнительных рекомендациях), 5класс,...		Конспект урока повторения по теме «Обыкновенные дроби» Частное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа «Альтернатива»
	Конспект урока по математике в 5-м классе по теме "Обыкновенные дроби" Частное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа «Альтернатива»		Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений-Мнемозина, Москва,... «Математика», Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов. Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений-Мнемозина, Москва, 2008г
	Урок обобщение (математика, 5 класс) Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Обыкновенные дроби». На этом уроке мы повторим правильные и неправильные дроби, сложение и...		Урок математики Тема: «Доли. Обыкновенные дроби» Цель урока: обобщение понятий натурального числа и доли; ознакомить с понятием обыкновенная дробь; формирование навыка решения заданий...