Инженерный анализ методом конечных элементов (мкэ)

4. Формулировка метода конечных элементов По способу получения основных, т. е. разрешающих, уравнений различают четыре основных вида метода конечных элементов: прямой, вариационный, взвешенных невязок и энергетического баланса. Из приведенных видов МКЭ в строительной механике особенно актуальны вариационный метод и метод взвешенных невязок Галеркина.   Рассмотрим Вариационный метод. Данный метод основан на принципах стационарности некоторой переменной, зависящей от одной или нескольких функций (такая переменная носит название  функционала). Применительно к механике деформируемого твердого тела эта переменная представляет собой потенциальную (функционал Лагранжа) или дополнительную (функционал Кастилиано) энергию системы или формируется на основе этих двух энергий (функционалы Хеллингера-Рейсснера, Ху-Вашицу).  Если в функционал подставить аппроксимирующие выражения искомых функций и применить к нему экстремальные принципы (соответственно принцип Лагранжа, принцип Кастилиано и т. д.), получим систему алгебраических уравнений, решением которой будут значения узловых неизвестных.   Вариационный принцип Лагранжа: Потенциальная энергия приобретает стационарные значения на тех кинематическе возможных перемещениях, которые удовлетворяют заданным граничным условиям и условиям равновесия сил. В отличие от прямого вариационный метод может одинаково   успешно применяться как к простым, так и сложным задачам. И так, рассмотрим трехмерный объект произвольной формы, находящийся в равновесном состоянии под воздействием некоторой нагрузки (рис. 4.1). Силы трения, действующие на поверхность (Поверхностные силы), обозначим - p, массовые силы (объемные силы) – G. В общем случае эти силы раскладываются на компоненты, параллельные осям координат: G=, p=. (1) Рис. 4.1. Трехмерный объект с внешними силами Обозначим смещение произвольной точки объекта (X,Y,Z) по сравнению с конфигурацией в отсутствие нагрузки символом U. Тогда UT=[U(X,Y,Z) V(X,Y,Z) W(X,Y,Z)]. (2) Смещения U приведут к возникновению деформации εT=[ εXX εYY εZZ εXY εYZ εZX ] (3) и соответствующих напряжений σT=[ σX σY σZ τXY τ YZ τ ZX ]. (4) Необходимо рассчитать U, ε, σ в точке (X,Y,Z) по заданным внешним силам. Выражение для полной потенциальной энергии упругого тела описывается выражением: Э - энергия деформации; А - работа приложенных массовых и поверхностных сил. Три последних слагаемых уравнения (5) описывают внешнюю работу, выполняемую реальными силами G,p на виртуальных перемещениях . Верхний индекс S у вектора означает виртуальное смещение на поверхности. Напряжения вычисляются через деформации по соответствующим материальным уравнениям. Получим из уравнения (5) уравнения метода конечных элементов. Начнем с аппроксимации объекта, изображенного на рис. 4.1, сеткой конечных элементов. Элементы соединяются друг с другом в узловых точках, которые находятся на их границах. Смещение в любой точке с координатами (x, y, z) в локальной системе координат элемента считается функцией смещений в узловых точках. То есть для элемента т высказывается предположение, что где H — интерполяционная матрица смещений (функций формы), а — вектор смещений на всех узлах. Если общее количество узлов равно N вектор запишется следующим образом: Это выражение можно переписать так: Хотя в уравнении (8) перечисляются смещения всех узлов, а, следовательно, эти смещения входят и в выражение (6), для каждого конкретного элемента смещения внутри него определяются только смещениями в его собственных узлах. В уравнение же (6) все узлы вошли потому, что это облегчает процесс объединения матриц отдельных элементов в матрицу структуры в целом, как будет показано ниже. Уравнение (6) позволяет вычислить деформации: Строки матрицы деформаций-смещений из уравнения (9) получаются дифференцированием и объединением строк матрицы H(m). Теперь мы можем записать и выражения для напряжений внутри каждого элемента: где C — матрица упругости элемента т (матрица Гука), а — начальное напряжение внутри элемента. В структуре, состоящей из разных материалов, для каждого элемента можно задать свою собственную матрицу упругости. Перепишем уравнение (5) в виде суммы интегралов по объемам и поверхностям отдельных элементов: где т изменяется от 1 до полного количества элементов в системе. Подстановка (6), (9) и (10) в (11) даст следующее выражение: где поверхностные интерполяционные матрицы смещений получаются из объемных интерполяционных матриц смещений подстановкой координат поверхности элемента. Обозначим R=RВ+RS-Ro; (14) Минимизация энергии П приводит к уравнению: которое с учетов введенных обозначений запишется так: KU=R, (19) Обратите внимание, что суммирование интегралов по объемам отдельных элементов в формуле (14) выражает тот факт, что матрица жесткости набора элементов как целого получается сложением матриц жесткости элементов K(m). Аналогичным образом, вектор Rв объемной силы, действующей на все тело, получается суммированием векторов объемных сил, действующих на отдельные элементы. Тем же путем вычисляются и векторы прочих сил. Выражение (19) описывает статическое равновесие. Если приложенные силы изменяются во времени, это выражение применимо к любому конкретному моменту. Однако при быстром приложении нагрузки необходимо учитывать силы инерции. По принципу Даламбера силы инерции отдельных элементов могут быть добавлены к массовым силам. Если предположить, что ускорение в любой точке элемента связано с ускорениями в узловых точках матрицей H(m) подобно смещениям, вклад массовых сил в вектор нагрузки К будет выражаться так: где — ускорения узловых точек, а — массовая плотность элемента т. Подстановка (20) вместо (15) в (19) дает новое уравнение равновесия: M+KU=R, (21) где М — матрица масс. Обратите внимание, что U и R в уравнении (21) являются функциями времени. Демпфирующие силы могут быть учтены как дополнительный вклад в массовые силы, что позволяет описать эффект демпфирования (затухания). Уравнение (20) при этом принимает новый вид: где — вектор скоростей узловых точек, а — демпфирующий коэффициент для элемента т. Уравнение равновесия приобретает вид M+C+KU=R, (23) где С — матрица демпфирования. На практике матрицу С обычно конструируют из массовой матрицы и матрицы жесткости на основании экспериментальных данных по демпфированию в материале, потому что определить параметры демпфирования отдельных элементов достаточно сложно. 5. Предпроцессорная подготовка 5.1. Основные характеристики конечных элементов Основные типы КЭ: Рис.5.1. Типы КЭ Конечные элементы могут описываться одной, двумя или тремя пространственными координатами в зависимости от размерности задачи, для решения которой они предназначены. Соответствующее число внутренних или локальных координат называется собственной размерностью элемента. В динамическом анализе время рассматривается как дополнительная размерность. Каждый элемент описывается множеством характерных точек, называемых узловыми точками или узлами для краткости. Узлы предназначены для описания геометрии элемента и для задания физических степеней свободы (числа неизвестных функций). Узлы обычно находятся в угловых или крайних точках элемента, но могут быть также расположены между угловыми узлами и внутри элемента. Данное различие связано с порядком аппроксимации, который обеспечивает данный конечный элемент. Элементы, имеющие только угловые узлы, называются линейными и обеспечивают линейную интерполяцию геометрии и функций. Элементы, имеющие дополнительные узлы на своих границах между угловыми точками, могут обеспечивать квадратичную или даже кубичную интерполяцию. В первом случае такие элементы называются квадратичными. Отметим также, что существуют элементы, имеющие внутренние узлы. Теоретически такие элементы обеспечивают более точное описание геометрии тела и искомых функций, однако широкого распространения данный тип элементов не получил. При наличии современных автоматических генераторов конечно-элементных сеток часто бывает проще и удобнее разбить конструкцию на большое число линейных элементов простой формы, чем использовать элементы высокого порядка, требующие для построения сетки значительной работы вручную. Геометрия элемента определяется расположением узловых точек. Большинство элементов, используемых в расчетах, имеют достаточно простую геометрическую форму. Для конечных элементов, используемых в механических расчетах, определяющее соотношение задает поведение материала, из которого изготовлена конструкция. Например, в качестве такого соотношения во многих случаях используется обобщенный закон Гука, связывающий тензор деформаций и тензор напряжений в точке. Для линейного упругого стержневого элемента достаточно задать один модуль Юнга Е и один коэффициент температурного расширения .   5.2. Типы конечных элементов  При решении задач МКЭ используются элементы различных типов. Наиболее общие из них: Одномерные элементы: Простейшими среди элементов является одномерный элемент. Схематически он изображается в виде отрезка(рис. 5.2а), хотя и имеет поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но во многих встречающихся задачах она считается постоянной. Наиболее часто такой элемент используется в одномерных задачах распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых элементов конструкций. Простейший одномерный элемент имеет два узла, по одному на каждом конце. Элемент более высокого порядка, трехузловые (квадратичные) и четырехузловые (кубические), изображены на рис. 5.2б и 5.2в. Одномерный элемент может быть криволинейным (рис. 5.2в). Рис.5.2. Одномерные КЭ Двумерные элементы: Для построения дискретной модели двумерной области используются два основных семейства элементов: треугольники и четырехугольники. Стороны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (рис 5.3а). Квадратичные и кубические элементы могут иметь как прямолинейные так и криволинейные стороны(рис 5.3б). Возможность моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон элементов. Оба семейства элементов могут быть использованы одновременно внутри области, если только они имеют одинаковое число узлов на стороне(рис 5.3в). Толщина элемента может быть или постоянной, или являться функцией координат. Рис.5.3. Двумерные КЭ Трехмерные элементы: Наиболее часто встречающимися трехмерными элементами является тетраэдр и параллелепипед (5.4а и б). В обоих случаях линейные элементы ограничены прямолинейными сторонами(плоскостями), тогда как элементы более высокого порядка могут иметь в качестве границ криволинейные поверхности. При разбиении трехмерного тела трудно наглядно представить расположение элементов в дискретной модели, поэтому, вероятно, более желательным из этих двух типов является параллелепипед. На рис 5.4в показан другой вид элементов, которые используются при рассмотрении тел цилиндрической формы. Эти элементы подобны двумерному треугольнику и позволяют еще учесть изменение неизвестной величины вдоль третей координаты. Рис.5.4. Трехмерные КЭ На рис 5.5 показан элемент широко используемый в осесиметрических задачах. Этот элемент образуется поворотом треугольника на 360º. Подобный элемент может быть получен вращением четырехугольника. Рис.5.4. Осесимметричный КЭ 5.3. Предпроцессорная подготовка Действия, относящиеся к подготовке данных, обобщенно называют моделированием конечных элементов. Выполняются эти действия чаще всего препроцессором, рассчитанным на работу с какой-либо конкретной программой анализа методом конечных элементов (FEA). Типы моделей в инженерном анализе: геометрическая; расчетная; сеточная. Геометрическая модель обычно представляет собой модель машиностроительного изделия в целом или его детали. Расчетная модель - это упрощенная геометрическая модель, которая используется для анализа. Упрощение или идеализация геометрической модели достигается путем удаления тех ее элементов, которые несущественно влияют на результаты анализа. Сеточная модель представляет собой совокупность узлов и элементов, которая натягивается на расчетную модель. Геометрическая и расчетная модель обычно создаются на этапе конструирования средствами твердотельного и поверхностного моделирования. Построение сеточной модели. В различных программах анализа имеются специальные средства генерации произвольной сетки, с помощью которых она может наносится непосредственно на модель достаточно сложной геометрии. Генераторы произвольной сетки обладают широким набором функций управления качеством сетки. Например, в программе ANSYS реализован алгоритм выбора размеров конечного элемента, позволяющий строить сетку элементов с учетом кривизны поверхности модели и наилучшего отображения ее реальной геометрии. Когда каждой ячейке сопоставляются узлы, она становится конечным элементом. От сложности сетки зависит размер глобальной матрицы жесткости, численная сложность задачи и объем требуемых вычислительных ресурсов. Точность решения можно повысить увеличением количества ячеек или использованием функций формы более высоких порядков. Размерность элементов должна совпадать с размерностью области задачи. Для одномерных задач используются одномерные элементы, для двумерных — двумерные, и т. д. Наконец, в зонах, где ожидаются резкие изменения неизвестных (напряжения, например, сосредоточиваются в окрестностях отверстий), плотность узлов и ячеек должна быть выше, чем в областях с плавным изменением параметров. Толщина оболочек и пластин рассматривается скорее как свойство материала, чем как геометрический параметр, что позволяет избежать перехода к трем измерениям. Разные элементы могут иметь разные свойства, благодаря чему пользователь может анализировать составной объект, о чем уже говорилось выше.

Похожие:

	Моделирование течения ледников методом конечных элементов ...		Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями фгос во... Салтанова Т. В. Метод конечных элементов в расчётах прочности. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления...
	Повышение точности технологических систем горизонтальных координатно-расточных... ...		Решение заданий из №128, 129 у доски по схеме ...
	Министерство образования Российской Федерации Санкт Петербургский... Задачи курса: Изучить основные математические результаты и методы, лежащие в основе метода конечных элементов и других вариационных...		Прогнозирование трещиностойкости бетона на основе метода конечных элементов Реальное строение материала и особенности его поведения под нагрузкой отражено в структурных теориях прочности. Однако практическое...
	Методические указания к выполнению расчетно-графического задания... В методических указаниях изложены краткие сведения о пк «лира», о методе конечных элементов, реализуемом в системе «лира», рассмотрен...		Образовательная программа «Компьютерные и информационные науки» Форма... Ук-1 Способность к критическому анализу и оценке современных научных достижений, генерированию новых идей при решении исследовательских...
	Физический факультет Сравнительное исследование парамагнитных свойств образцов, полученных методом пиролиза аэрозолей и золь-гель методом 19		Окислительно-восстановительные реакции Уметь определять степени окисления элементов в простых и сложных веществах, различать понятия: степень окисления, составлять уравнения...
	При некоторых хронических бактериальных заболеваниях с успехом применяется Сравнительный и количественный анализ белков мочи и перитонеальной жидкости, разделенных методом гель		Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Управление... Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Управление проектами» для студентов и слушателей факультета «Инженерный...
	Ее Величества Реакции Цель: продолжить формировать умения учащихся в определении степени окисления элементов, процессов окисления и восстановления в овр;...		Хорошавин Лев Борисович Докт техн наук реферат Периодической системе элементов, но и дополнительно по кластерам химических элементов, определять прогнозные свойства новых элементов...
	Курсовая работа по курсу «Теория случайных потоков» на тему «Анализ... «Анализ надёжности электроснабжения подстанции «Новая» методом случайных потоков»		Методические рекомендации к самоанализу урока с позиций системно деятельностного подхода Основой любого анализа урока может служить структурный анализ. Структурный (поэтапный) анализ – это выявление и оценка доминирующих...