Математическая секция Круги Эйлера
Скачать 51.9 Kb.
|
| Муниципальное образовательное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа №3 г. Баймака. Математическая секция Круги Эйлера. Выполнила: Ильясова Назгуль, ученица 5б класса МОБУ СОШ №3 г. Баймака. Научный руководитель: учитель математики МОБУ СОШ №3 г. Баймака Мурзабаева Ф.М. 2008 Оглавление. 1. Введение. а) Исторические сведения. б) Изображение множества чисел с помощью кругов Эйлера. 2. Решение задач с помощью кругов Эйлера. а) Простые задачи. б) Сложные задачи. 3. Заключение. 1. Введение. Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь (он родился в 1707 г., а умер в 1783 г.) написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна». Эйлер писал тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера». Этот метод даёт ещё более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах. Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N-множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вех действительных чисел.  Ну а как же круги Эйлера помогают при решении задач? Для ответа возьмем несколько задач: 2. Решение задач с помощью кругов Эйлера. 1. Часть жителей нашего города умеет говорить только по-русски, часть – только по-башкирски и часть умеет говорить на обоих языках. По-башкирски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках? Решение. Составим схему –  В кружке под буквой «Б» обозначим жителей, говорящих по-башкирски, под буквой «Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «Б» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%). 2. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг? Решение. Обратимся к кругам Эйлера:  Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг. 3. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей? Решение.  18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит вратарей будет 30-28=2. Ответ: 2 вратаря. 4. В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта? Решение. 1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:  Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро: 20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2 Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3. 2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20+15+23-10-12-9+х=30, 27+х=30, х=3. 5. В восьмом классе учится 40 человек. Каждый из них изучает не менее одного иностранного языка: английский, немецкий, французский. 34 человека изучают хотя бы один из двух языков: английский, немецкий. 25 человек — хотя бы один из языков: немецкий, французский. 6 человек только немецкий. Одновременно два языка — английский и немецкий — изучают на 3 человека больше, чем французский и немецкий языки. Сколько человек изучает каждый из языков и сколько изучает одновременно каждую пару языков? Решение А  хотя бы 1 + Н = 34 Ф + Н = 25 Н = 6 А + Н = на 3 человека >, чем Ф + Н = х одновр. одновр.  34 – х – – 2х = 40 – 34 + 3 – 25 – 2х = –10 х = 5 Ф + Н = 5 человек. А + Н = 8 человек. А = 34 – 8 – 6 – 5 =15 человек. Н = 6 человек. Ф =25 – 5 – 6 –8 = 6 человек. Всего 40 человек. 4. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего? Решение:  Купили только холодильники: 35-(20-3)-(15-3)-3=4. Купили только микроволновки: 36-(20-3)-(19-3)-3=0. Купили только телевизоры: 37-(15-3)-(19-3)-3=6. Тогда всего покупателей было: 4+17+3+16+12+6=58. 65-58=7 посетителей магазина не купили ничего. Заключение. В результате работы над данной темой я пришел к следующим выводам: 1) Все множества чисел связаны между собой так, что каждое следующее, более объемное, включает в себя предыдущее множество полностью; 2) Любое натуральное число является элементом любого следующего множества. 3) Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Программа ноу «Эврика» (физико-математическая секция) «Основы учебной... Основная часть. Организация исследовательской деятельности обучающихся на уроках физики и во внеурочной деятельности | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «огневой рубеж»,где сможете проверить своё решение. Если не все мишени удалось поразить, то отправляетесь на «штрафные круги», то... |
| Секция A. Макроэкономика и экономический рост Секция Wa. Развитие образования. Специальные сессии с презентацией исследований ниу вшэ 47 | | Презентация «Решение задач с помощью кругов Эйлера». Презентация... Интегрированное занятие математического кружка (математика + информатика) в 5-м классе по теме "Решение задач с помощью кругов Эйлера.... |
| Секция №1 «Социально-гигиенические аспекты здоровья населения Омской области» Методические указания предназначены для студентов, выполняющих расчетно-графическое задание по курсу «Математическая статистика»... |  | Презентация нового умк по технологии Секция «Негосударственное образовательное учреждение» Секция общественных дисциплин. Перекличка регионов на тему: "Легко ли быть историком в школе?" |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Математическая экономика – это прикладная математическая дисциплина, в которой изучаются конкретные количественные отношения экономических... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Секция: Развитие научно-исследовательского потенциала учащихся. Организация проектной деятельности (секция для педагогов) |
| Всемирный библиотечный и информационный конгресс Секция по школьным библиотекам и Секция по информационной грамотности приглашают принять участие в совместном заседании этих секций... | | Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются |
| Рабочая программа Математическая экономика Математическая экономика: рабочая программа / А. Ю. Вальков, В. Л. Кузьмин, А. Н. Протопопов, Н. О. Васильева. – Спб.: Ивэсэп, 2012.... | | Учебно-методический комплекс по дисциплине математическая логика и теория алгоритмов Курс математическая логика и теория алгоритмов обеспечивает приобретение знаний в соответствии с государственным образовательным... |
| Урока по геометрии в 10 классе по теме «Правильные многогранники. Теорема Эйлера» Весновская Оксана Валерьевна, учитель математики и оригами моу «сош №20» г. Новочебоксарск | | Ссылки в. В. Радченко Цель урока: ознакомить учащихся с понятием многогранника, элементами многогранника, рассмотреть теорему Эйлера |
| Секция «Непрерывное медицинское образование в современных условиях»... «Воспитательные и образовательные технологии в современном вузе» 22 апреля 2010 г | | Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... |
