Математические модели и методы отыскания квазиэффективных портфелей в условиях неопределенности комбинированного типа

На правах рукописи ШЕФОВА Наталья Александровна МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ КВАЗИЭФФЕКТИВНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ КОМБИНИРОВАННОГО ТИПА Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Тверь – 2012 Работа выполнена на кафедре информационных технологий факультета прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета. Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Язенин А.В. Официальные оппоненты - доктор технических наук, кандидат физико-математических наук, профессор Рыжов А.П. доктор физико-математических наук, доцент Соломаха Г.М. Ведущая организация - Вычислительный центр РАН им. А.А.Дородницына, г. Москва. Защита состоится «16» ноября 2012 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170100, г. Тверь, Садовый переулок, 35, ауд.200. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, 44а. Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы __ _______2012 года на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/. Автореферат разослан __ ___________2012 года. Ученый секретарь диссертационного совета Общая характеристика работы Актуальность темы. На фоне стремительного развития экономики и постоянно повышающегося интереса к фондовому рынку особую актуальность приобрела проблема оптимизации фондовых портфелей и прогнозирования фондовых индексов. В условиях участившихся кризисов, принесших за последние два десятилетия миллиарды убытков инвесторам по всему миру, появилась необходимость в ревизии существующих методов фондового менеджмента и последующей модернизации моделей и методов портфельной оптимизации. Задача выбора оптимальной структуры портфеля ценных бумаг была впервые комплексно изучена Г. Марковицем в 1952 году. Предложенная им методика и модель портфельной оптимизации, основанные на понятии ожидаемой доходности и риска ценных бумаг, стала ядром исследований и основой развития современной теории принятия инвестиционных решений. Однако на фондовый рынок оказывает влияние не только внешняя среда, но и экспертные прогнозы, что совместно с ограниченной способностью инвестора распознавать и прогнозировать состояния фондового рынка, порождает фактор субъективной неопределенности. В результате рыночная неопределенность не обладает только классически понимаемой стохастической природой и носит комбинированный (гибридный) характер, а это ставит под сомнение возможность применения чисто классических методов теории вероятностей при построении инвестиционного портфеля. В итоге, инвестор, отказываясь от классического вероятностного подхода, вынужден применять для анализа и прогнозирования состояния рыночной среды экспертные, минимаксные и другие детерминистские подходы, которые не в состоянии учитывать неопределенность фондовых рынков надлежащим образом. Использование достижений теории нечетких множеств и теории возможностей в экономических исследованиях открыло новые горизонты для развития моделей и методов оптимизации инвестиционных портфелей ценных бумаг и прогнозирования фондовых индексов. Это позволяет более адекватно учитывать при моделировании неопределенности присущие знаниям эксперта проблемы и строить множества квазиэффективных (эффективных с заданной возможностью/необходимостью и вероятностью) оценок инвестиционных возможностей. Для широкого применения данного подхода необходимо дальнейшее развитие моделей, позволяющих комбинированный (гибридный) типы неопределенности, обоснование соответствующих принципов принятия решений и методов оптимизации. Более того, на сегодняшний день существует необходимость создания соответствующего программного обеспечения. Ввиду этого диссертационная работа, направленная на решение описанной проблемы является актуальной. Цель работы. Исследование и развитие математического аппарата обработки нечеткой случайной информации в контексте портфельной теории, разработка моделей и методов возможностно-вероятностной оптимизации, ориентированных на поддержку принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного (гибридного) типа. Основные задачи. Для достижения целей диссертационной работы решаются следующие задачи: разработка исчисления характеристик нечетких случайных величин с учетом сдвиг-масштабной экспликации неопределенности комбинированного типа; теоретическое обоснование и построение обобщённых возможностно-вероятностных моделей портфеля минимального риска при ограничении по возможности и вероятности на уровень ожидаемой доходности; разработка непрямых методов решения сформулированных задач возможностно-вероятностной оптимизации; исследование влияния взаимосвязи между нечеткими случайными переменными на степень диверсификации портфеля; обоснование влияния уровня возможности и вероятности на множество инвестиционных возможностей участников рынка; разработка архитектуры и реализация программного комплекса поддержки принятия решений для задач портфельной оптимизации в рамках возможностно-вероятностного подхода. Методы исследований. Для формализованного описания проблемы принятия решений в нечеткой случайной среде используется математический аппарат современной теории возможностей, нечеткой случайной переменной и теории вероятностей. Построение эквивалентных детерминированных аналогов поставленных задач базируется на методах возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют современная портфельная теория и базовые принципы принятия инвестиционных решений. Разработка программного комплекса выполнена на языке высокого уровня Borland Delphi. Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми: получены формулы для исчисления характеристик нечетких случайных величин с учетом разделения нечеткого и случайного факторов, что позволяет расширить круг исследуемых задач и учитывать влияние гибридной неопределенности на множество инвестиционных возможностей; построена модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности и вероятности на уровень доходности; разработан непрямой метод решения задач портфельной оптимизации, позволяющий получить эквивалентные детерминированные аналоги задач в возможностно-вероятностном контексте; исследовано влияния взаимосвязи между нечеткими случайными переменными на степень диверсификации портфеля; обосновано влияние уровней возможности и вероятности на множество инвестиционных возможностей участников рынка. Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации модели принятия инвестиционных решений в условиях неопределенности комбинированного типа дополняют современную теорию портфельного анализа. Представленное в работе исследование влияния параметров модели на множество инвестиционных возможностей позволяет проводить сравнительное изучение разработанных моделей и методов принятия решений при различных уровнях возможности и вероятности. Полученные в работе методы могут быть использованы для «интеллектуального» анализа фондовых индексов. Разработанная на базе диссертационного исследования система поддержки принятия решений может быть применена для практического решения задач портфельного анализа в режиме реального времени. Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты: исчисление нечетких случайных величин, ориентированное на решение задач портфельного анализа; математическая модель портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности; непрямой метод решения портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности; исследование возможностей диверсификации портфеля в условиях нечетких случайных данных на примере двумерного портфеля; исследование инвестиционных возможностей и поведения критериев оценки портфеля в зависимости от уровня возможности и вероятности; программный комплекс поддержки моделей и методов портфельного анализа. Внедрение результатов работы. Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ: проект №10-01-00052a «Модели и методы оптимизации и принятия решений при гибридной неопределенности» и проектом №01201168129 «Разработка математических моделей и методов возможностно-вероятностного программирования и их реализация в прикладных программных системах». Результаты диссертации внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета. Кроме того, с целью овладения практическими навыками анализа и оценки информации в условиях неопределенности комбинированного типа на базе теоретических знаний, получаемых в рамках курсов «Теория неопределенностей» и «Неклассические логики» разработаны «Методические рекомендации по использованию программного комплекса поддержки моделей и методов принятия инвестиционных решений в условиях гибридной неопределенности». Апробация работы. Основные результаты исследования были представлены на 17-м Международном коллоквиуме (Zittau East-West Fuzzy Colloquium 2010, Циттау, Германия), конференции с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, 2010), международной научно-практической конференции «Факторы развития экономики России» (Тверь, 2011), а также на семинарах в Тверском государственном университете. Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, приведенных в конце автореферата, две из которых опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и изложена на 159 страницах. Список литературы содержит 114 наименований, включая работы автора. Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи исследования, проводится обзор литературы и осуществляется краткое изложение основных положений и результатов диссертационной работы. В первой главе подготавливается и систематизируется необходимый математический аппарат теории возможностей, формулируются базовые определения и теоремы, составляющие теоретическую основу дальнейших исследований. В разделе 1.1 вводятся понятия нечетких величин, проводится обзор методов агрегирования и обработки нечеткой информации, описываются наиболее значимые для практических исследований классы параметризованных распределений. Рассмотрим основные понятия, которые потребуются нам в дальнейшем. Пусть есть возможностное пространство. Здесь - множество всех подмножеств , - возможностная мера, - двойственная ей мера необходимости, - числовая прямая. Определение 1.5. Возможностной (нечеткой) величиной (переменной) называется отображение . Распределение возможных значений величины описывается функцией , определяемой по правилу , где есть возможность того, что нечеткая величина может принять значение . Возможностная величина называется выпуклой, если ее распределение является квазивогнутым, то есть для любых , мы имеем . Приведем понятие минисвязанных возможностных величин. Функция распределения совокупности возможностных величин определяется следующим образом: , где - -мерное евклидово пространство. Определение 1.9. Возможностные величины называются взаимно минисвязанными, если для любого подмножества множества . Здесь есть одномерные функции распределения возможностей. Следующая теорема определяет бинарные операции над минисвязанными возможностными величинами. Теорема 1.3. Пусть есть множество арифметических операций , , - минисвязанные возможностные величины, определенные на возможностном пространстве , тогда возможностная величина , где , определяется функцией распределения , где , есть соответственно взятие минимума и максимума на отрезке . Для работы с нечеткой информацией важным является понятие -уровневого множества возможностной величины. Определение 1.10. Множеством -уровня возможностной величины называется множество . На практике для моделирования нечетких величин, как правило, используются распределения - типа Определение 1.15. Нечеткая величина называется величиной - типа, если ее распределение имеет вид: Здесь , имеют смысл границ интервала толерантности нечеткой величины , а , есть левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно. Тогда нечеткая величина может быть обозначена следующим образом . В разделе 1.2 приводится понятие нечеткой случайной величины, описываются основные свойства и характеристики нечетких случайных величин. Пусть есть вероятностное пространство. Определение 1.16. Нечеткая случайная величина (переменная) есть вещественная функция , такая, что при любом фиксированном , величина является случайной величиной, определенной на . Распределение нечеткой случайной величины можно рассматривать также, как и в случае нечеткой величины, а именно: . Определение 1.17. – уровневым множеством нечеткой случайной величины при фиксированном называется множество . При этом границы определенного –уровневого множества являются случайными величинами: , . Определение 1.18. Математическое ожидание нечеткой случайной величины есть нечеткая величина, такая что . Определение 1.19. Ковариация нечетких случайных величин и определяется следующим образом: . Определение 1.20. Дисперсия нечеткой случайной величины определяется следующим образом: . При практической работе с нечеткими случайными величинами ключевой задачей является экспликация комбинированного вида неопределенности, а именно, выделение нечеткой и случайной составляющей рассматриваемой величины. В разделе 1.3 проводится исследование модели нечеткой случайной величины, имеющей сдвиг-масштабное представление, разрабатываются формулы для оценки основных характеристик нечетких случайных величин с учетом разделения нечеткой и случайностной составляющей, осуществляется конкретизация формул для триангулярного класса возможностных распределений. Получены следующие результаты. Лемма 1.4. Пусть , где , - случайные величины с математическими ожиданиями , и дисперсиями , соответственно, и являются некоррелированными случайными величинами, – нечеткая величина. Тогда является нечеткой случайной величиной и имеет матема-тическое ожидание и дисперсию с возможностью . Лемма 1.5. Пусть , где , - случайные величины с математическими ожиданиями , и дисперсиями , соответственно, , , – минисвязанные нечеткие величины. Тогда ковариация случайных величин и с возможностью исчисляется по формуле: (1.6) Лемма 1.7. Пусть , где , - случайные величины, имеющие конечные моменты первого и второго порядка, , . Тогда ковариация нечетких случайных величин и определяется по формуле: (1.10) В разделе 1.4 приводятся формулы для расчета моментов первого и второго порядка взвешенной суммы нечетких случайных величин, доказываются леммы, определяющие свойства числовых характеристик нечетких случайных величин. Лемма 1.9. Пусть , где , - случайные величины, имеющие конечные моменты второго порядка и математические ожидания , , - взаимно минисвязанные нечеткие величины, , . Тогда с возможностью дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных величин исчисляется по формуле: (1.12) , Лемма 1.10. Функция является выпуклой функцией относительно переменных . Лемма 1.11. Функция является выпуклой функцией относительно переменных . Вторая глава диссертации посвящена исследованию двумерной модели портфеля минимального риска в условиях гибридной неопределенности. В разделах 2.1, 2.2 приводится комплексный анализ классической двумерной модели портфеля ценных бумаг. Полученный анализ дополнен исследованием величины раствора параболы в зависимости от значений коэффициента корреляции. В разделе 2.3 проведено обобщение двумерного портфеля ценных бумаг на случай нечетких случайных данных при ограничении по возможности на уровень доходности, построена соответствующая модель портфеля. Формируемый инвестором портфель описывается парой: , где – веса финансовых активов в портфеле ценных бумаг, для которых выполняется основное ограничение . Пусть доходности финансовых активов моделируются нечеткими случайными величинами, имеющими сдвиг-масштабное представление: , где , , - есть класс нормальных вероятностных распределений, - нечеткая величина, . Тогда характеристики двумерного портфеля являются нечеткими случайными величинами и могут быть представлены следующим образом: ожидаемая доходность портфеля: , где ; риск портфеля: , Исследование модели проводится для случая, когда нечеткие факторы имеют нормированное симметричное триангулярное распределение, т.е. . Двумерная модель портфеля ценных бумаг исследуется при ограничении по возможности на уровень ожидаемой доходности: В данной модели, - заданный уровень возможности, , - уровень доходности, приемлемый для инвестора (в общем случае параметр может быть нечёткой случайной величиной). Эквивалентный детерминированный аналог системы (1) имеет вид: где есть границы - уровневых множеств соответствующих нечетких случайных величин, моделирующих ожидаемую доходность i-го финансового актива . В разделе 2.4 на уровне эквивалентного детерминированного аналога проведено исследование влияния коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей в случае двумерной возможностно-необходимостной модели портфеля ценных бумаг; реализовано графическое представление результатов исследований. Для исследования влияния коэффициентов корреляции на множество инвестиционных возможностей предлагается следующая схема: определяется траектория движения вершины параболы в зависимости от значений коэффициентов корреляции и проводится её исследование; определяется раствор параболы в зависимости от коэффициентов корреляции. В итоге получено два множества «граничных» парабол и , где и - есть -уровневые дисперсии. На рисунке, приведенном ниже (рис. 2.12), представлены «граничные» множества инвестиционных возможностей для модели по Блеху, соответствующие значениям корреляции . Рис. 2.12. «Граничные» параболы множества инвестиционных возможностей для модели по Блеху при . При рассмотрении квазиэффективных решений принимаем во внимание только правые ветви парабол. С возможностью получаем коридор, который представляет множество квазиэффективных оценок инвестора. Вершины парабол, лежащие внутри полученного коридора, в зависимости от значений коэффициентов корреляции, перемещаются по гиперболе. При приходим, фактически, к классической модели портфельного анализа. Для модели Марковица критериальные множества «граничных» кривых на плоскости , соответствующие значениям представляют собой части парабол. Полученные множества квазиэффективных оценок представлены на рисунке 2.13. Рис. 2.13. Множество квазиэффективных инвестиционных возможностей для модели по Марковицу при . Таким образом, при крайних значениях коэффициентов корреляции инвестор может полностью элиминировать риск. Однако, если мы рассматриваем коэффициенты корреляции равные 1, элиминирование риска возможно только при разрешенных коротких продажах ценных бумаг. В случае, когда коэффициенты корреляции равны -1, инвестор может элиминировать риск как на коротких, так и на длинных позициях, что согласуется с результатами классической теории портфельного анализа. В разделе 2.5 продемонстрировано влияние коэффициентов корреляции на множество решений инвестора для конкретных числовых данных: акции компаний Газпром и Норильский Никель. Осуществлена графическая визуализация полученных результатов. Третья глава диссертации посвящена комплексному исследованию портфеля минимального риска в условиях неопределенности комбинированного типа. В разделе 3.1 анализируется многомерный портфель ценных бумаг при ограничении по возможности на уровень ожидаемой доходности. В этом случае доходности финансовых активов моделируются нечеткими случайными величинами. В разделе 3.2 проведен обзор существующих моделей и методов возможностной оптимизации, ориентированных на решение этой задачи при ограничении по возможности/необходимости на уровень ожидаемой доходности. Модель портфеля минимального риска в нечёткой случайной среде при ограничении по возможности (необходимости) на уровень ожидаемой доходности может быть записана в следующей форме: В данной модели , есть четкое бинарное отношение: .

Похожие:

	Математические методы и модели Габрин К. Э., Математические методы и модели: Семестровое задание и методические рекомендации к решению задач. – Челябинск: Издательство...		Васильев е. П. Экономико математические методы и модели часть I Лукинова С. Г., Шатохина Л. В., Васильев Е. П. Экономико-математические методы и модели Часть I. Учебно-методический комплекс. –...
	Горюшкин А. А., Хуторецкий А. Б. Математические модели и методы исследования... Горюшкин А. А., Хуторецкий А. Б. Математические модели и методы исследования операций: курс лекций: Учеб пос. Новосиб национ иссл...		Методические рекомендации по изучению дисциплины «экономико-математические... Методические рекомендации по изучению дисциплины «экономико-математические методы и модели»
	План чтения лекции по учебной дисциплине «Математические методы» Раздел №2 Учебные и воспитательные цели: изучить основные виды задач линейного программирования, их математические модели		Тема: «Математические расчеты семейного бюджета» Математическая экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов...
	Фгбоу впо «сгэу» от 09. 11. 2012г. № Решение ученого совета Самарского... «Математическое моделирование», «Математические модели в финансовых операциях», «Методы оптимизации», «Экономико-математические методы...		Программа дисциплины «Экономико-математические методы и модели в... ...
	Лекция приемы разработки и выборов управленческих решений в условиях... Пособствовать формированию у учащихся навыков экономического соперничества, психологии успеха, умений работать в группе, выступать...		Методические указания по выполнению реферата по учебной дисциплине... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Методические указания по выполнению реферата по учебной дисциплине... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Методические указания по выполнению реферата по учебной дисциплине... Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Курса «Математические методы в психологии» Выписка из образовательного стандарта по дисциплине «Математические методы в психологии»		Дисциплины «математические методы в инженерных задачах» Кафедра математики Направление Математические методы в инженерных задачах – это прикладная математическая дисциплина, в которой изучаются, способствующая развитию...
	Методические рекомендации к самостоятельной работе студентов по дисципли... Содержание внеаудиторной самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математические методы в психологии» включает в себя различные...		Примерная программа наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется... Эконометрика, Математический анализ, Микроэкономика, Макроэкономика, Дифференциальные и разностные уравнения, Дискретные математические...