Джеймс Глейк. Хаос. Создание новой науки
Скачать 472.66 Kb.
|
| Глава 5. Странные аттракторы Проблема турбулентности имеет богатую историю. Все великие физики ломали над ней голову. Плавный поток разбивается на завитки и вихревые токи; беспорядочные изгибы разрушают границы между жидкостью и твердой поверхностью, энергия из крупномасштабного движения быстро перетекает в мелкие завихрения. Почему? Пожалуй, самые разумные идеи предлагали математики, большинство же физиков попросту опасались изучать турбулентность, которая казалась почти недостижимой. Доказательством тому может служить история о Вернере Гейзенберге, известном ученом, занимавшемся квантовой физикой. Последний признавался на смертном одре, что хотел бы задать Господину Богу два вопроса – об основах относительности и о причине турбулентности. «Думаю, что Господь ответит мне на первый из них», – заметил Гейзенберг. Что же представляет собой турбулентность? Полную неупорядоченность при всех масштабах, крошечные вихри внутри огромных водоворотов. Турбулентность неустойчива и в высшей степени диссипативна, то есть обладает способностью замедлять движение, истощая энергию. Она суть беспорядочное движение. Но, все же, каким образом течение жидкости превращается из плавного в турбулентное? Представьте себе безупречно гладкую полую трубку, в высшей степени стабильный источник водоснабжения, причем вся конструкция надежно защищена от вибрации. А теперь задайте себе вопрос: как же в потоке, текущем внутри трубы, может появиться что-либо беспорядочное? Фазовое пространство делает возможным превращение чисел в изображения, извлекая даже малую толику существенной информации из движущихся систем, механических или жидкостных, и наглядно демонстрируя все их возможности. Если система представляет собой качающийся маятник, свободный от действия силы трения, то одна из переменных является его положением в пространстве, а другая – скоростью. Они непрерывно меняются, образуя линию из точек, которая изгибается петлей, вновь и вновь повторяющей саму себя. Та же система, но обладающая более высокой энергией, раскачивающаяся быстрее и дальше, образует в фазовом пространстве петлю, схожую с первой, но большую по размерам. Впрочем, столкнувшись с одним из проявлений реальности – трением, система начинает претерпевать изменения. Чтобы описать поведение маятника, подверженного трению, не нужны уравнения движения: каждое его колебание фактически заканчивается на одном и том же месте, в центре, откуда начиналось движение, и скорость его в эти моменты равна нулю. Данная центральная фиксированная зона как бы «притягивает» колебания. Вместо того чтобы вечно чертить на графике петли, орбита маятника спирально закручивается внутрь. Трение рассеивает энергию системы, что в фазовом пространстве выглядит как толчок к центру. Наблюдается движение из внешних зон с высокой энергией к внутренним зонам с низкой энергией. Аттрактор – простейший из возможных – подобен магниту. Одним из преимуществ рассмотрения состояний системы как совокупности точек в пространстве является то, что система, в которой переменные непрерывно увеличиваются и уменьшаются, превращается в движущуюся точку, словно муха, летающая по комнате. Если некоторые комбинации переменных никогда не возникают, ученый может просто предположить, что пределы комнаты ограничены и насекомое никогда туда не залетит. Ученый, взглянув на фазовую картину, мог, призвав на помощь воображение, уяснить сущность самой системы: петля здесь соответствует периодичности там, конкретный изгиб воплощает определенное изменение, а пустота говорит о физической невероятности. Давид Руэлль подозревал, что видимые в турбулентном потоке объекты должны отражать то, что объяснялось законами физики, но еще принадлежало к сфере таинственного и неоткрытого. В его понимании рассеивание энергии в турбулентном потоке должно было вести к своеобразному сокращению фазового пространства, притягиванию к аттрактору. Бесспорно, последний не оставался неподвижной точкой, поскольку поток никогда не приходил в состояние покоя, – энергия поступала в систему и уходила из нее. Каким еще мог быть аттрактор? Помимо описанного, согласно догмату, существовал лишь один возможный тип – периодический аттрактор, или замкнутая кривая, орбита, притягивающая все близлежащие орбиты (рис. 7, 8).  Рис. 7. Новый способ изучения маятника. Одна лишь точка у фазовом пространстве (справа) передаст всю информацию о состоянии динамическом системы в конкретный момент времени (слева). Для простого маятника достаточно двух чисел, представляющих его скорость и местоположение. Точки образуют траекторию, которая позволяет наглядно представить непрерывное поведение динамической системы в течение длительного периода времени. Повторяющаяся «петля» отображает систему, которая всегда воспроизводит одно и то же свое состояние. Если повторяющееся поведение устойчиво, как у часов с маятником, система при незначительных помехах возвращается к прежней орбите движения. В фазовом пространстве траектории вблизи орбиты как бы вовлечены в нее, а сама орбита является аттрактором.  Рис. 8. В случае с маятником, непрерывно теряющим энергию на трение (слева показаны затухающие физические колебания), все траектории имеют форму спирали, закручивающейся внутрь, по направлению к точке, в которой система устойчива, — в таком случае движения не наблюдается вообще (справа представлены движения маятника в фазовом пространстве). В короткий период времени каждая точка фазового пространства может означать возможное поведение динамической системы. При изучении долгосрочной перспективы единственными моделями поведения становятся сами аттракторы. Все иные типы движения преходящи. По определению, аттракторам присуще важнейшее качество – устойчивость. Однако турбулентность в жидкостях – явление иного порядка, никогда не порождающее единичный ритм. Известное свойство такого явления заключается в том, что в данный момент времени наблюдается весь спектр возможных колебаний. Турбулентность можно сравнить с «белым шумом» или статикой. Могла ли простая детерминистская система уравнений описывать подозрительный феномен? Руэлль и Такенс задались вопросом, обладает ли какой-либо иной тип аттрактора подходящим набором характеристик: устойчивостью, малым числом измерений, непериодичностью. Какой вид должна иметь орбита, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы она никогда не повторяла и не пересекала самому себя? Ведь система, вернувшаяся в свое прежнее состояние, согласно принятой модели, должна следовать по своему обычному пути. Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной фазовой площади. Другими словами, она должна стать фрактальной. На самом деле к 1971-му году в научной литературе уже имелся один небольшой набросок того невообразимого чудовища, которое пытались оживить Руэлль и Такенс. Эдвард Лоренц сделал его приложением к своей статье о детерминистском хаосе, вышедшей в 1963-м году. Этот образ представлял собой сложную конструкцию из двух кривых, одна внутри другой, справа и пяти кривых слева (рис. 9). Аттрактор был устойчивым, непериодическим, имел малое число измерений и никогда не пересекал сам себя. Если бы подобное случилось, и он возвратился бы в точку, которую уже миновал, движение в дальнейшем повторялось бы, образуя периодичную петлю, но такого не происходило. Как может бесконечное множество траекторий лежать в ограниченном пространстве? До того как изображения фракталов Мандельброта буквально наводнили научный мир, представить себе особенности построений подобных форм казалось весьма трудным. Планеты, двигающиеся с точностью часового механизма, обеспечили триумф Ньютона и вдохновили Лапласа. Однако небесная механика значительно отличалась от земной: земные системы, теряющие энергию на трение, являются диссипативными, чего нельзя сказать об астрономических, считающихся гамильтонианскими.  Рис. 9. Первый странный аттрактор. В 1963 г. Эдвард Лоренц смог вычислить только первые несколько элементов аттрактора для своей простой системы уравнений. Однако он понял, что «прослойка?» двух спиральных крылообразных форм должна иметь необычную структуру, неразличимую в малых масштабах. Прошли годы, и признание феномена странных аттракторов подготовило благодатную почву для революции в изучении хаоса, дав тем, кто занимался расчетами, ясную программу исследований. Странные аттракторы стали искать везде, где в явлениях природы ощущалась неупорядоченность. Многие утверждали, что основой погоды на планете Земля служит не что иное, как странный аттрактор. Другие, сведя воедино миллионы цифр из сводок фондовых бирж и обработав их на компьютерах, вглядывались в результаты в надежде обнаружить аттрактор и там. Странный аттрактор наполнял математическим содержанием неизвестные дотоле основные характеристики хаоса, в частности «сильную зависимость от начальных условий». Странные аттракторы казались фрактальными, то есть их истинная размерность была дробной. Никто не знал, как измерить ее или как использовать результаты подобных измерений для решения реальных задач инженерии. Аттрактор Лоренца раскрывал стабильность и скрытую структуру системы, которая при другом подходе казалась совершенно неструктурированной. Глава 6. Всеобщность Определенные характеристики (такие, например, как масса частицы) всегда считались постоянными, как и масса любого предмета, встречающегося нам в повседневной жизни. Принцип масштабирования быстро распространился благодаря тому, что трактовал величины вроде массы не как постоянные. Масса и подобные ей характеристики в процессе перенормировки варьируются как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения в зависимости от масштаба, в котором их рассматривают. Эта идея, казавшаяся полной нелепостью, была точным аналогом рассуждений Мандельброта о геометрических формах и береговой линии Великобритании (о том, что их длину невозможно измерить вне зависимости от масштаба). Здесь присутствовала определенная доля относительности. Местоположение наблюдателя – близко ли он, далеко ли, на берегу моря или на космическом спутнике – влияло на результат. Мандельброт также заметил, что наблюдаемые при переходе от одного масштаба к другому перемены подчиняются определенным закономерностям, далеким от произвольности. Изменчивость общепринятых измерений массы или длины говорила о том, что фиксированной остается некая величина иного типа. В случае с фракталами такой величиной было фрактальное измерение – инвариант, который можно рассчитать и использовать в качестве инструмента для дальнейших вычислений. Допущение, что масса может варьироваться в зависимости от масштаба, означало, что математики могут различить феномен подобия, невзирая на масштаб явления. Файгенбаум, начав в Лос-Аламосе размышлять над феноменом нелинейности, понял, что из долгих лет своего обучения он, в сущности, не почерпнул ничего полезного. Решить систему нелинейных дифференциальных уравнений, не придерживаясь примеров из учебника, казалось невозможным. Ученый сделал вывод, что сколько-нибудь разумному физику они мало чем помогут. Имея в своем распоряжении лишь карандаш и бумагу для вычислений, Файгенбаум решил начать с аналога простого уравнения, рассмотренного в свое время Робертом Мэем применительно к биологии популяций. С таким уравнением – его можно записать как у = r(х-х2) – ученики средней школы знакомятся в курсе алгебры при построении параболы. Каждое значение х дает новое значение у, полученная в результате кривая выражает связь между х и у в определенном диапазоне значений, при х, меняющемся от нуля до r. Если х (численность популяции в текущем году) мала, то у (численность популяции в следующем году) также будет невелика, но больше, чем х. Кривая резко поднимается вверх. Если значение х находится в середине диапазона, то в этом случае значение у велико. Но парабола выравнивается близ своей вершины и начинает снижаться так, что если значение х велико, значение у вновь мало. Именно это и является эквивалентом скачков численности популяции в экологическом моделировании, предотвращая ничем не ограниченный рост. Для Мэя, а затем и для Файгенбаума главное заключалось в том, чтобы произвести это простое вычисление не один раз, а повторять его бесконечно, как в «петле обратной связи». Итоги одного подсчета служили начальными данными для следующего. Для графического представления результатов парабола оказывалась незаменимой. Надо было выбрать начальную точку на оси х, провести перпендикуляр вверх до пересечения с параболой, найти соответствующее значение на оси у и принять его за новое значение х. И так далее и тому подобное… Результат сначала будет «скакать» от одной точки к другой, а потом, вероятно, установится на уровне устойчивого равновесия, где значения х и у равны, то есть численность популяции остается неизменной. Результат являл собой ряд чисел, не всегда достигавший в итоге стабильного значения: он мог завершиться и скачками значения в некотором интервале, или, как разъяснял Мэй своим коллегам, ряд мог продолжать изменяться совершенно хаотичным образом и настолько долго, насколько хватит терпения за ним наблюдать. Поведение числового ряда зависело от выбранного значения параметра. В то время никто не догадывался, что Лоренц еще в 1964-м году рассматривал то же уравнение, пытаясь разрешить один вопрос, касавшийся климата. Вопрос этот был столь глубок, что почти никому не приходил в голову. Никто не задумывался, а существует ли климат, можно ли вывести долгосрочные средние значения погодных характеристик для определенных зон земного шара? Тогда, как и сейчас, большинство метеорологов считали, что ответ очевиден: конечно, любая поддающаяся измерению величина – неважно, какие она демонстрирует колебания, – должна иметь некое среднее. Если же вдуматься, все далеко не так ясно. Лоренц указывал, что средняя погода на Земле в течение последних 12 тысяч лет заметно отличалась от средних климатических условий предыдущих 12 тысяч лет, когда почти вся Северная Америка лежала под ледяным покровом. Значило ли это, что переход от одного климата к другому произошел в силу физических причин? Или упомянутые временные отрезки были периодами отклонений от стабильных долгосрочных погодных условий? А может, система, подобная погоде, никогда не усредняется? Как и Мэй, Лоренц прежде всего выяснил, что происходит, если задавать разные значения параметра. При низких значениях числовой ряд достигал стабильной фиксированной точки, то есть модель климата вела себя абсолютно предсказуемо: погода никогда не изменялась. Умеренный рост значения параметра провоцировал колебания между двумя точками, но и в этом случае система также усреднялась. За определенной чертой появлялся хаос. Поскольку Лоренц занимался проблемой климата, его интересовало не только то, приведет ли обратная связь к периодическому поведению, – он хотел знать среднее значение полученного результата. Лоренц выяснил, что среднее также подвержено колебаниям. При незначительном варьировании параметра оно могло измениться довольно существенно. Аналогично и земной климат мог никогда не знать прочного равновесия. Продолжая изучать изменчивые лики динамических систем, Лоренц осознал, что зависимости чуть более сложные, чем квадратичная, способны внезапно обнаруживать иные типы структур. Внутри отдельно взятой системы нередко таилось не одно устойчивое решение. Если система довольно долго демонстрировала лишь один тип поведения, это не означало, что ей в равной мере не присущ совершенно иной тип поведения. Подобные системы именуют непереходными (интранзитивными), они могут находиться или в одном, или в другом состоянии равновесия, но никак не в обоих сразу, и лишь толчок извне способен заставить систему изменить свое состояние. Ученым, изучающим климат и использующим компьютерные программы для моделирования долгосрочного поведения атмосферы и гидросферы Земли, уже несколько лет назад стало известно, что их модели способны демонстрировать как минимум два состояния равновесия, различающихся коренным образом. Один из этих сценариев, весьма драматический, не был реализован ни в одну из минувших геологических эпох. Как бы то ни было, он остается вторым верным решением системы уравнений, управляющих земной погодой. Некоторые специалисты называют его климатом Белой Земли – планеты, континенты которой погребены под снегами, а океаны скованы льдом. Для того чтобы вся Земля оделась во льды, необходим мощный толчок извне. Но Лоренц описал еще один тип поведения, названный им «квазиинтранзитивностью». В течение длительного времени система ведет себя примерно одинаково, флуктуации остаются в определенных границах; затем, без какой бы то ни было причины, система резко меняет свое поведение, все еще колеблясь, но обнаруживая уже другое среднее. Не нужно много фантазии, чтобы увидеть в квазиинтранзитивности вполне убедительные объяснения того, почему в истории Земли случались ледниковые периоды, наступавшие через случайные интервалы времени. Если это объяснение действительно справедливо, нет нужды доискиваться до физических предпосылок оледенения. Ледниковый период может быть побочным продуктом хаоса. Роль Файгенбаума стала предметом ожесточенных споров. Как бы то ни было, именно Файгенбаум открыл всеобщность и создал теорию, ставшую точкой опоры для новой дисциплины. |
Похожие:
 | Тэд Джеймс, ms, PhD с Лорейн Флорес и Джеком Шобером Гипноз полное... Публикуется с разрешения Crown House Publishing при участии Агентства Александра Корженевского (Россия) Тэд Джеймс | | Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов... Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую... |
| Урок-расследование. Дидактическая ... | | Джеймс Олдхейм Техники гештальт-терапии на каждый день «Психотерапия» Москва 2009 Яро старак, Тонн кей, Джеймс олдхейм с 77 техники гештальт-терапии на каждый день: Рискните быть живым / Пер с англ родред. Г. П.... |
| Одним из популярных, современных подходов, стремящихся построить... На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления.... | | Тема урока: «Моделирование юбки» Моделирование – создание новой выкройки путем внесения изменений в выкройку основу |
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... В этой теме мы рассмотрим работу с базами данных оборудования: создание новой базы, подключение существующей базы; создание, копирование... | | 1. Размышления над двойным виски Приняв пару двойных виски, Джеймс... ... |
| Программа дисциплины «мягкая сила» И«управляемый хаос» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Программа дисциплины «мягкая сила» И«управляемый хаос» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
| Реферат На тему: Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпретация квантовой механики Министерство народного образования, культуры и здравоохранения республики казахстан | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Дидактическая цель урока: создание условий для осознания и осмысления блока новой учебной информации |
| Создание и редактирование документов, презентаций, таблиц Индивидуальные и коллективные работы над фотографиями, создание коллажей и тд. Создание своих семейных альбомов с родителями | | Вклад Френсиса Гальтона 51 Джеймс Кэттелл и первые умственные тесты Анастази А., Урбина С. Психологическое тестирование. – Спб.: Питер, 2001. – 688 с |
| Современная русская литература Алан Милн, Джеймс Ривз, Роберт Льюис Стивенсон, Элеонор Фарджон «Королевская считалка», Розовый жираф, 4-8 | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ... |
