Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики

Скачать 1.61 Mb.

Название	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
страница	4/6
Дата публикации	24.09.2013
Размер	1.61 Mb.
Тип	Программа дисциплины

100-bal.ru > Математика > Программа дисциплины

1 2 3 4 5 6

Упражнения

по курсу «Оптимизация и математические методы в принятии решений»
Методические рекомендации

по выполнению домашних заданий

Писать на одной стороне листа четким почерком (не скорописью, вызывающей подозрение о списывании). Новую задачу начинать с нового листа, указывая на нем номер задачи из задания, свою фамилию и номер группы. Листы скреплять степлером, надежной скрепкой или класть в прозрачный пластиковый пакет для бумаг. На первой странице нужно указать общее число сдаваемых листов. Листы необходимо занумеровать в порядке следования задач в задании.
Писать не только формулы, но и слова: название этапов решения задачи, краткое описание алгоритма решения, обозначения, определения ключевых понятий, формулировки теорем. Качественные выводы. Сообщенные Вами теоретичесские сведения и выводы отмечаются дополнительными баллами, которые могут частично компенсировать погрешности решения конкрретной задачи.
Чаще стройте графики, поточечные или качественные, даже если это не оговорено в условии решаемой задачи. Графики своей наглядностью помогают получить правильный результат, лучше воспринять его и проверить.
На всех графиках должны быть подписаны координатные оси. Стрелками на осях нужно указать направления возрастания соответствующих переменных и отметить начало координат.
На осях поточечного графика следует указать масштаб, как правило, равномерный, но не обязательно одинаковый для разных координат. Масштабы должны быть удобны для аккуратного нанесения расчетных точек, которые должны быть выделены на соединяющей их кривой.
На качественных графиках масштабная разметка не нужна. Но взамен нее должны быть указаны координаты характерных точек (экстремумы, точки пересечения с координатными осями и др.) и показаны асимптоты, если таковые имются. Построение качественного графика требует аналитического обоснования его свойств посредством анализа производных и градиентов.
Желательно производить аналитическую проверку промежуточных и окончательных результатов подходящим для этого способом: подстановка решения в исходную систему уравнений. Проверка выполнения первоначального определения или его необходимых и достаточных условий. За произведенную проверку начисляются поощрительные баллы.

Упражнения к теме 2

Задача 1

Фирма планирует объем своего производства в условиях точного знания выпуска конкурирующего производства. Объемы производств и измеряются в единицах переработки основного сырья, общие запасы которого ограничены: . Кроме того, выпуск ограничен сверху известной производственной мощностью фирмы: .

Рентабельность фирмы линейно падает с ростом суммарного объема производства из-за падения цены на готовую продукцию с ростом предложения и увеличения цены на сырье с ростом спроса: Найдите оптимальный объем производства фирмы, обеспечивающий ей максимальную прибыль при известном выпуске конкурирующего производства с учетом всех ограничений.

Требуется:

а) проверить выполнение достаточных условий Вейерштрасса существования максимума в данной задаче и установить границу ее разрешимости в терминах параметра ;

б) получить формулы для и посредством анализа знаков производной и с последующей проверкой всех ограничений на переменную .

Ответ: а) ; б) .

Задача 2

Постройте графики функций одной переменной на множестве , заданных в 2.1 – 2.6. Отметьте на графиках точки глобальных максимума и минимума или укажите причину их отсутствия. Найденные (или угаданные) оптимальные точки проверьте по определениям, убедившись в справедливости фигурирующих в них неравенств.

2.1. Ответ:

2.2. Ответ:

2.3. Ответ:

2.4. Ответ:

2.5. Ответ:

2.6. Ответ:
Задача 3

Пользуясь определением максимума докажите, что:

а) строгий глобальный максимум, если он существует, всегда единственен, и обратно;

б) если и – решения задачи оптимизации

в) если из множества X удалить все точки максимума функции по этому множеству, то в оставшемся подмножестве справедливо строгое неравенство
Задача 4

Может ли какая-нибудь допустимая точка быть одновременно и точкой глобального максимума и точкой глобального минимума одной и той же функции на одном и том же множестве X ? Если может, то какова эта функция ?
Задача 5

Дайте позитивные определения фактов:

а) отсутствия максимума,

б) отсутствия минимума,

в) отсутствия и максимума и минимума функции на непустом множестве X, построив их как отрицания определений без использования оборотов типа «не существует…», «не найдется…».
Задача 6

Докажите достаточность каждого из двух нижеследующих условий для отсутствия максимума функции на непустом множестве :

а) неограниченность сверху функции на ,

б) недостижимость на конечной точной верхней грани функции .
Задача 7

Докажите, что

а) при сужении допустимого множества максимум не возрастает, а минимум не убывает:

(в предположении их существования);

б) если точка максимума (или минимума), разыскиваемого по множеству , попадает на некоторое его подмножество , то она же будет точкой максимума по этому подмножеству:

(верно ли обратное?).
Задача 8

Будет ли существовать оптимальная экспортная цена в модели выхода новой страны на внешний рынок, если объем ее экспорта ограничен следующей функцией спроса:

где – сложившаяся рыночная цена, являющаяся фиксированным параметром задачи.

Максимизируемая страной экспортная прибыль равна а ее собственные экспортные возможности и диапазон назначаемой ею цены определены неравенствами .

Ответ подтвердите процедурой последовательной оптимизации (сначала по , потом по ) в различных диапазонах значений параметра .

Ответ:

Задачи 9

Для заданных ниже функций 9.1 –9.6 и фиксированных точек А и В требуется:

изобразить линии уровня функции, проходящие через точки А и В, вычислить ее градиенты в этих точках и нарисовать градиенты в виде векторов, исходящих из соответствующей точки (рисунки строить только для функций от двух переменных);
найти производную функции в точке А по направлению из А в В;
написать в векторно-матричной форме, т.е. с использованием градиента и матрицы Гессе, разложение заданной функции в ряд Тейлора в окрестности точки А до членов второго порядка включительно с указанием порядка ошибки ;
перейти от векторно-матричной формы разложения к координатной по правилам сложения и умножения матриц;
построить по нескольким точкам графики, иллюстрирующие нарастание ошибок линейного и квадратичного приближений заданной функции при удалении ее аргументов от центра разложения, т.е. от точки А по прямой в точку получив предварительно формулы для функций

9.1.

Ответ: а) линии уровня:

б)

в)

г)

д)

9.2.

Ответ: а) линии уровня:

б)

в)

г)

д)

9.3.

Ответ: а) линии уровня:

б)

в)

г)

д)

9.4.

Ответ: а) линии уровня:

б)

в)

г)

д)

9.5.

Ответ: а) линии уровня:

б)

в)

г)

д)

9.6.

Ответ: а) линии уровня:

б)

в)

г)

д)

Задачи 10

Найдите локальные экстремумы следующих функций 10.1-10.8. Существуют ли у них глобальные экстремумы на всем множестве определения?

10.1. ;

Ответ: – глобальный минимум.

10.2.

Ответ:экстремумов нет.

10.3. ;

Ответ: – множество точек глобального минимума.

10.4. ;

Ответ: экстремумов нет.

10.5. ;

Ответ: – локальный минимум; глобальных экстремумов нет.

10.6. ;

Ответ: (0; 0) – глобальный минимум.

10.7. ;

Ответ: (0; 1; –3) – локальный максимум; (2; –1; 3) – локальный минимум;

глобальных экстремумов нет.

10.8.

Ответ: (1; –1; –1) – локальный минимум; глобальных экстремумов нет.
Упражнения к теме 3
Задачи 1

Для следующих задач математического программирования 1.1 – 1.5 требуется:

привести задачу к стандартному и унифицированному видам;
изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции; определить, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения;
определить, является ли данная задача выпуклой (задачей выпуклого программирования); для выпуклых задач проанализировать выполнение условия Слейтера (необязательный пункт к § 8);
вычислить и изобразить на рисунке направления градиентов целевой функции и функций, описывающих активные ограничения в угловых точках;
по рисунку определить точки, в которых не выполняется условие Якоби; результат подтвердить аналитически;
рассматривая различные наборы активных ограничений, последовательно увеличивая их количество, начиная с нуля, найти с использованием рисунка точки (вычислить координаты), в которых выполняется условие неотрицательной разложимости градиента целевой функции по градиентам функций, задающих активные ограничения, найти коэффициенты разложения;
опираясь на известные теоремы, определить точки, в которых имеет место локальный и глобальный максимумы; если теоремы не дают ответа, изобразить необходимые линии уровня целевой функции и проверить геометрически наличие или отсутствие в этих точках локального и глобального максимумов;
подтвердить выполнение или невыполнение условий Куна-Таккера в угловых точках с использованием функции Лагранжа: решить систему уравнений и проверить неравенства, найти множители Лагранжа и сравнить с результатами пункта е) – необязательный пункт к § 6,7.

1.1.

Ответ: б) выполняется; в) не является; д) условие Якоби выполняется всюду;

е) ; ,

, , ,

    ;     ж)   –  точки    строгого локального максимума (по теореме об угловой точке), а также и глобального.

1.2.

Ответ: б) выполняется; в) является, условие  Слейтера выполняется;

е,ж) – глобальный максимум.

1.3.

Ответ: б) выполняется; в) не является; д) условие Якоби выполняется всюду;

е) ; ж)

– точки строгого локального максимума, а также и глобального.
1.4.

Ответ: б) выполняется; в) не является; д) условие Якоби выполняется всюду,

кроме точки (0;2), эту точку нужно исследовать особо;

е) ; ж) – точки строгого

локального максимума; – точка глобального максимума.

1.5.

Ответ: б) выполняется; в) не является; д) условие Якоби выполняется всюду,

кроме точки (1;0), эту точку нужно исследовать особо; е) ; ж) (1;0) –

точка глобального максимума (графический анализ).
Задача 2

Фирма производит два вида товаров: А и В. Для производства единиц товара А и единиц товара В требуется заранее приобрести кг сырья. Из-за ограниченности объема склада количество сырья не должно превышать 2100 кг. Доход от реализации единицы товара А составляет 60 тыс. р., а от реализации единицы товара В – 30 тыс. р. Определить план выпуска, максимизирующий доход. Оценить, на сколько изменится доход, если объем склада увеличить на 1 кг.

Ответ:
Задача 3

Фирма производит продукцию трех видов: A, B, C. Для ее изготовления используются оборудование и трудовые ресурсы. Для изготовления единицы продукции A требуется один час работы оборудования и два человеко-часа трудовых ресурсов, для изготовления единицы продукции B – два часа работы оборудования и один человеко-час трудовых ресурсов, продукции C – один час работы оборудования и 3 человеко-часа. Прибыль (в тыс.р.) от реализации продукции A и B прямо пропорциональна ее количеству с коэффициентом пропорциональности 0,3 и 0,18 соответственно, а вида C – квадратному корню из ее количества с коэффициентом пропорциональности 13,2. В настоящее время фирма арендует 1210 часов работы оборудования и 2420 человеко-часов трудовых ресурсов в месяц. Определить план выпуска, максимизирующий прибыль. Проанализировать чувствительность максимальной прибыли к константам ограничений на ресурсы. Дополнительная аренда одного часа работы оборудования стоит 30 р., а одного человеко-часа трудовых ресурсов 300 р. Во что выгоднее вложить небольшие дополнительные средства: в аренду оборудования или трудовых ресурсов. Какую дополнительную прибыль получит фирма при дополнительном вложении 3 тыс.р. в тот или иной вид ресурсов.

Ответ:    при   дополнительном вложении 3 тыс.р. в аренду оборудования фирма получит дополнительную прибыль в размере 2 тыс.р., а при вложении той же суммы в аренду трудовых ресурсов получит 1,4 тыс.р.

1 2 3 4 5 6

	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Нормативные документы, использованные при разработке основной образовательной программы 5
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Баскаков Владимир Анатольевич, старший преподаватель кафедры Маркетинга и Рекламы		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Искать учебные ресурсы лучше на соответствующих страницах крупных образовательных порталов
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Фгбоу впо «поволжская государственная академия физической культуры, спорта и туризма»		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Устав образовательного учреждения. (Наличие и правильность оформления раздела по охране труда)
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Тема Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства. 19		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... В соответствии с Законом Челябинской области "О стимулировании туристско-рекреационной деятельности в Челябинской области" Правительство...
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 020400. 68 «Биология», магистерская программа 020400....		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Рабочая программа составлена на основании рабочего учебного плана по фгос, переутвержденного ученым советом юргту (нпи) протоколом...
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... ...		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... П18 Паремические жанры русского фольклора [Текст]: методические рекомендации по изучению курса / З. Ж. Кудаева – Нальчик: Каб. Балк...
	Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... О порядке аттестации лиц, претендующих на замещение вакантной должности руководителя краевого государственного образовательного учреждения,...		Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное... Форма обучения – очная, заочная, заочная (сокращенная) на базе впо, очно-заочная (вечерняя) на базе спо
	«Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Национальный исследовательский университет высшая школа экономики Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Похожие: