Тема: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

ГЕОМЕТРИЯ. УРОК: «РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ» Предмет: Геометрия Тема: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Класс: 9 класс Педагог: Аширбекова Лариса Александровна, заместитель директора по воспитательной работе, учитель математики и информатики. Учреждение образования: МОУ Шуринская средняя общеобразовательная школа Кемеровской области Город: Кемеровская область Учащиеся должны: Знать формулировку и доказательство леммы о коллинеарных векторах и теорему о разложении по двум неколлинеарным векторам; Уметь решать задачи, применяя полученные знания. Ход урока Организационный момент: назвать цели урока. Анализ контрольной работы. Объяснение нового материала: План объяснения: 1. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. При решении задач часто возникает необходимость выразить какой-либо вектор через уже заданные векторы. Такая операция называется разложением вектора по неколлинеарным векторам. 2. Лемма о коллинеарных векторах. Лемма - это вспомогательное утверждение, с помощью которого доказывается следующая теорема или несколько теорем. Теорема:Если векторы и коллинеарны и 0, то существует такое число k, что = k. Так как рассматриваемые векторы, по условию коллинеарны, то они могут иметь одинаковые направления. Рассмотрим два случая, когда векторы и сонаправлены и противоположно направлены. Доказательство: 1) . Возьмем число . Так как k 0, то векторы k и сонаправлены (рисунок 1). Кроме того, их длины равны: k= k = =. Поэтому = k 2) . Возьмем число . Так как k<0, то векторы k и снова сонаправлены (рисунок2). Их длины также равны: k= k = =. Поэтому = k рисунок2 3. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Пусть и - данные неколлинеарные векторы, вектор представлен в виде = х+у, где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор разложен по векторам и . Числа х и у называются коэффициентами разложения. Доказательство: Возможны два случая: 1) Вектор коллинеарен одному из векторов и , например, вектору (рисунок1). В этом случае по лемме о неколлинеарных векторах вектор можно представить в виде = у, где у - некоторое число, и, следовательно, =0+у, т.е. вектор разложении по векторам и . 2) Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим какую-нибудь точку О и отложим от нее векторы = , =, = (рисунок2). Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через А1 точку пересечения этой прямой с прямой ОА. По правилу треугольника = + . Но векторы и коллинеарны соответственно векторам и , поэтому существует числа х и у, такие, что = х, = у. Следовательно, = х+у, т.е. вектор разложен по векторам и . Докажем теперь, что коэффициенты х и у разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением = х+у имеет место другое разложение = х1+у1. Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем =(х-х1) + (у-у1) . Это равенство может выполняться только в том случае, когда коэффициенты х-х1 и у-у1 равны нулю. В самом деле, если предположить, например, что х-х1 0, то из полученного равенства найдем = -, а значит векторы и коллинеарны. Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, х-х1=0 и у-у1=0, откуда х=х1 и у=у1. Это и означает, что коэффициенты вектора определяются единственным образом. Теорема доказана. Выводу по теме: 1.Лемма - это вспомогательное утверждение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем. 2. Лемма (о коллинеарных векторах). Если векторы и коллинеарны и вектор 0, то существует такое число k, при котором = k 3. Пусть и - данные неколлинеарные векторы, вектор представлен в виде = х+у, где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор разложен по векторам и . Числа х и у называются коэффициентами разложения. 4. Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. IV. Закрепление полученных знаний: Тестирование: 1. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Выразите вектор через векторы и . а) = - б) = - в) =+ 2. №911 (а) Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство = k, если известно, что векторы и противоположно направлены и  =0,5 см,  = 2см. а) -4 б) 4 в) 0,4 3. №911(б). Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство = k, если известно, что векторы и сонаправлены и  =12 см,  = 24 дм. А) -20 Б) 20 В) 0,2 4. №912(а,г). Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О, М - середина отрезка АО. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: = k, = k а) -2, б) 2, 1 в) 2, 5. Дан произвольный треугольник АВС с медианой АD. Найдите , как вектор выражается через векторы и . А) = + Б) = + В) = + V. Подведение итогов. VI. Задание на дом: п. 86, №№ 911 (в,г), 912 2,3 столбик), 916 (в,г)

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: доказать лемму о коллинеарных векторах и теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам и закрепить их знание...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: учащиеся должны знать понятие вектора, абсолютной величины и направление вектора, равенство векторов, сложение и вычитание...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать: понятие координат вектора в данной системе координат; форма разложения вектора по координатным векторам I, j, k; правила сложения,...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Отметим произвольную точку на плоскости и откладываем от неё лучи, параллельные двум векторам
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели: сформировать у учащихся понятие вектора как направленного отрезка, показать применение вектора к решению простейших задач познакомить...		Календарно-тематическое планирование. № Требования к зун тема урока Знать: определение вектора и равных векторов, законы сложения, определение разности двух векторов, противоположный вектор, произведение...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Понятие вектора. Правила сложения, вычитания, умножения вектора на число. Алгебраическая сумма векторов		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... На прошлых уроках мы познакомились с понятием «вектора», мы научились выполнять с векторами действия сложения, вычитания векторов...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основная цель: сформировать понятие вектора как направленного отрезка, показать учащимся применение вектора к решению простейших...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Связь между координатами вектора и координатами точек. Простейшие...
	Урок 3 Связь между координатами вектора и координатами его начала... Цели: рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины...		Понятие вектора Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Модуль 1 (контрольный) Векторы в пространстве. Направление и модуль вектора. Равенство векторов. Действия над векторами. Сложение...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать: представление о прямоугольной системе координат, понятие координат вектора уравнение прямой и плоскости. Знать и выводить...
	Тема урока Тип урока Определение десятичной системы счисления. Римская нумерация. Разложение числа по разрядным единицам. Сравнение чисел		Тема: Умножение вектора на число Педагог: Аширбекова Лариса Александровна, заместитель директора по воспитательной работе, учитель математики и информатики