ГБОУ СПО МО
«РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
Методическая разработка
«Разработка системы уроков повторения,
направленных на подготовку к ЕГЭ
по математике»
«Решение неравенств алгебраическим методом»
примерное планирование учебного времени;
план-конспект урока по теме «Неравенства, содержащие знак абсолютной величины»;
проверочная работа ;
краткий анализ знаний учащихся, полученных на уроках повторения.
Примерное планирование учебного материала:
-
№
|
Тема урока:
|
Количество часов:
|
1
|
Диагностическая работа
|
1
|
2
|
Решение рациональных неравенств.
Метод интервалов.
|
2
|
3
|
Неравенства, содержащие иррациональные выражения
|
2
|
4
|
Неравенства, содержащие знак абсолютной величины
|
2
|
5
|
Неравенства, содержащие показательные выражения
|
2
|
6
|
Неравенства, содержащие логарифмические выражения
|
2
|
7
|
Итоговая работа
|
2
|
План – конспект урока-семинара (2 часа) по теме:
«Неравенства, содержащие знак абсолютной величины»
Предварительная подготовка к уроку: обучающиеся должны знать: определение модуля действительного числа, его геометрический смысл уметь решать простейшие уравнения со знаком абсолютной величины. Предварительно все учащиеся разделены на группы, каждая группа получила задание самостоятельно изучить способы решения неравенств определенного типа (см. приложение 1)
Цели урока:
Образовательная: обобщение и систематизация знаний по теме «Неравенства, содержащие знак абсолютной величины»; выявить качество и уровень овладения знаниями и умениями, полученными на предыдущих уроках по теме «Решение неравенств алгебраическим методом».
Воспитательная: воспитывать общую культуру, активную жизненную позицию; создать условия для реальной самооценки учащегося, реализации его как личности.
Развивающая: развивать умение классифицировать, выявлять связи, формулировать выводы; коммуникативные навыки при работе в группах, развивать познавательный интерес; развивать умение объяснять особенности, закономерности, анализировать, сопоставлять, сравнивать и классифицировать.
Оборудование: доска, проектор, компьютер, карточки с заданиями
Тип урока: обобщения и систематизации знаний.
Форма: повторительно-общающий урок.
Ход урока:
Деятельность учителя
|
Деятельность учащихся
|
I. Организационный момент. Постановка цели.
|
Сегодня мы продолжаем изучение темы «Решение неравенств алгебраическим методом». На этом уроке мы познакомимся с некоторыми видами неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля, и изучим алгоритм решения таких неравенств.
1). Какие знания и умения из прошлых тем нам сегодня понадобятся ?
|
Ответы учащихся :
1). Нам необходимо уметь решать рациональные неравенства; знать определение модуля числа, уметь раскрывать модуль
|
Актуализация опорных знаний.
|
Итак, нам сегодня понадобится определение модуля.
1)Что называют модулем действительного числа?
2)Какой геометрический смысл имеет модуль действительного числа?
3)Каков геометрический смысл имеет выражение  ?
4)Вспомним, как мы решали простейшие линейные уравнения с модулем вида
│f(x)│= а.
5)Сформулируйте основные свойства модуля.
6) Раскройте модуль:
а) ; б) в) ; г) ; д) ; е)
|
Ответы учащихся :
1) Абсолютной величиной ( или модулем) │а│ действительного числа а называется : само это число, если а – неотрицательное число; число, противоположное числу а, если а – отрицательное число. (На доске один из учеников делает запись):
 =
2) Геометрически │а│ есть расстояние от точки 0 до точки, изображающей число а на координатной прямой.
3)есть расстояние между точками x и a на координатной прямой
4)При а < 0 уравнение данного вида не имеет решения.
При а = 0 мы решали уравнение f(x) = 0.
При а > 0 мы использовали определение модуля рассматривали следующие уравнения : f(x) = a или f(x) = - a.
1.  =
2. = , y≠0
3.
4.
5. ≥0 тогда и только тогда, когда  0.
6) а)
б) = ;
в) в) ;
г)= ;
д)
е)
|
III. Оперирования знаниями и способами деятельности. Выступления учащихся. Первичное закрепление.
|
Преподаватель осуществляет оперативный контроль, оказывает помощь поддержку выступающих и других учащихся и вносит коррективы в их деятельность.
Преподаватель обращается к аудитории с вопросом:
-не забыл ли выступающий потребовать, чтобы значение а было неотрицательным?
-как объяснить переход к двойному неравенству с геометрической интерпретацией модуля разности двух чисел?
Каким будет следующий случай ?
Как мы будем действовать, если в неравенствах, показанных ребятами и з 1 и 2-й групп заменить знаки на >,≥?
А теперь рассмотрим ситуацию, когда нервенство содержит несколько выражений с модулем. Слово представителям 4-й группы.
Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки, границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений, а затем неравенство решается на каждом из промежутков.
Этот метод работает всегда. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели.
|
Ответы учащихся 1 группы. Выполняются записи на доске, но лучше будет, если группа подготовит презентацию для своего выступления. (Во время выступления представителей групп остальные учащиеся делают соответствующие записи в теоретических тетрадях).
Рассмотрим неравенство вида │f(x)│< а, где а – некоторое число. В этом случае неравенство не имеет решений, так как левая часть этого неравенства положительна, а правая отрицательна. Положительное число не может быть меньше отрицательного.
При а > 0 неравенству │f(x)│< а удовлетворяют все точки находящиеся на расстоянии, меньшем а, от точки 0, т.е. точки отрезка ( - а; а). Промежуток ( -а; а) – это множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:
- а < f(x) < а.
Вывод:
(│f(x)│< а ) <=> (-а< f(x)<а)
Пример:
Решить неравенство │5 – 3х │< 8.
Данное неравенство равносильно двойному неравенству – 8 < 5 – 3х < 8, которое равносильно системе 5 – 3х > - 8,
5 – 3х < 8.
Выполняя равносильные преобразования, получаем :
- 3х > - 8 – 5, - 3х > - 13, х < 4 ,
- 3х < 8 – 5. - 3х < 3. х > - 1.
Решением системы, а значит, и исходного неравенства, является числовой промежуток ( -1; 4).
Примеры для самостоятельного выполнения:
1) ; ответ (-3;7)
2) ; ответ (-6;-2)
3) ; ответ нет решения
4) ; ответ (-0,4;1,2).
представитель 1 группы показывают правильные решения и дают ответы (слайд).
Ответы учащихся 2 группы.
Рассмотрим неравенство вида :
│f(x) │< g (x), где g(x) - некоторая функция.
Используя опыт решения предыдущего типа неравенств, попробуем определить, в каком случае данное неравенство будет иметь решения? -g(x)
При решении такого неравенства переходить к двойному неравенству будет неудобно, так как при переходе к двойному неравенству неизвестное будет находиться сразу в трех частях двойного неравенства, лучше сразу перейти к системе:
Давайте запишем этот ввод в общем виде :
(│f(x) │< g (x)), где g(x) – некоторая функция, равносильно следующей системе:
Решая эту систему, мы находим решение исходного неравенства.
Учащиеся делают записи в теоретических тетрадях.
Пример :
Решить неравенство : │х - 1│< 2х – 4.
Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств: 
. Выполняя равносильные преобразования, получаем :
х – 2х < - 4 + 1, - х < - 3, х > 3,
. 3х > 5. х > 1 . Решением данной системы, а значит, и исходного неравенства, является множество чисел, удовлетворяющих условию: х > 3.
Ответ: х > 3.
Примеры для самостоятельного выполнения:
 ответ: (2;5)
 ; ответ: -  < x <- 
Ответы учащихся 3 группы:
Мы рассмотрим решение неравенств вида
│f(x) │< g (x), в соответствии с геометрической интерпретацией, перейдем к совокупности неравенств: 
Пример:
│2х - 3│> х + 1.
2х – 3 < - х – 1 или 2х – 3 > х + 1
3х < 2 х > 2
х < х > 2.
Ответ : х < , х > 2.
Примеры для самостоятельного выполнения:
1) │2х + 5│> х + 4; 2) │2х - 3│> х + 1.
Учащиеся 3-й группы отвечают на вопросы класса, дают для проверки верные ответы.
Ответы учащихся 4 группы:
В этом случае мы поступим, как и при решении уравнений со знаком модуля: разобьем числовую ось на промежутки, где подмодульные выражения сохраняют знак. В соответствии с этими знаками раскроем модули, решим обыкновенные (без модуля) неравенства и выберем ответ в соответствии с промежутками, на которых мы раскрывали модуль.
Пример:  .
Это неравенство равносильно совокупности трех систем:
 <=> <=>
 <=> нет решений;
 <=> <=>
Ответ: x<0 или x>6.
Примеры для самостоятельного выполнения:
 (ответ: нет решения);
 (ответ:x≥1,5 )
Учащиеся проверяют собственные решения.
|
IV. Рефлексия. Подведение итогов урока.
|
Итак, подведем итог сегодняшнего урока.
1). С какими неравенствами мы познакомились сегодня на уроке?
2). Сколько видов таких неравенств мы сегодня узнали?
3). Всегда ли такие неравенства имеют решения?
4). Как в таком случае мы поступаем?
|
Учащиеся отвечают, используя записи в тетрадях; рассказывают о своих трудностях в решении неравенств, если они были.
|
V. Постановка домашнего задания
|
К следующему уроку вам необходимо повторить и выучить теоретические основы сегодняшнего урока: определение модуля, его геометрический смысл, вид изученных неравенств и способы их решения. Попробуйте составить дома самостоятельно алгоритм решения изученных неравенств для различных случаев и оформите в виде опорного конспекта.
Письменно выполнить следующие упражнения :
Решить неравенства.
1) ответ: (-2;-0,5)
2) 
3)  ответ: (-∞; или
4) ответ: (-∞; или (3;∞)
5)
|
|
Приложение 1.Задания для подготовки к семинару:
1 группа.
Научиться решать неравенства вида │f(x)│< а. Ответить на вопрос: в каком случае неравенство имеет решения? Рассмотреть геометрическую интерпретацию решения данного неравенства. Подготовить примеры данного типа и рассказать другим учащимся о способе решения этих примеров.
2 группа.
Научиться решать неравенства вида │f(x)│< g(x). Ответить на вопрос: в каком случае неравенство имеет решения? Рассмотреть переход от неравенства с модулем к системе неравенств. Подготовить примеры данного типа и рассказать другим учащимся о способе решения этих примеров.
3 группа.
Научиться решать неравенства вида │f(x)│ g(x). Рассмотреть переход от неравенства с модулем к совокупности неравенств. Подготовить примеры данного типа и рассказать другим учащимся о способе решения этих примеров.
4 группа.
Научиться решать неравенства, содержащие несколько выражений со знаком модуля. Рассмотреть переход от неравенства с модулем к совокупности систем неравенств, раскрывая модули в соответствии со знаками подмодульных выражений. Подготовить примеры данного типа и рассказать другим учащимся о способе решения этих примеров.
Проверочная работа по теме:
«Решение неравенств алгебраическим методом»
Решить неравенство:
№1.  >4-x ответ: x> ;
№2.  <2 ответ (-∞;0,2) или (1;+∞);
№3.  ответ: (0;1);
№4.  <0 ответ: (-4;-3) или (8;+∞);
№5. Решите систему неравенств:
Ответ: (- ) .
Критерий оценки проверочной работы:
За каждое верно выполненное задание учащийся получает количество баллов, приведенное в таблице:
№ задания
|
№1
|
№2
|
№3
|
№4
|
№5
|
Количество
баллов
|
1
|
1
|
3
|
4
|
6
|
Учащийся получает оценку:
оценка
|
«5»
|
«4»
|
«3»
|
«2»
|
Количество
баллов
|
от 13 до 15
|
от 9 до 12
|
от 7 до 8
|
Менее 7
|
Краткий анализ знаний учащихся:
Итоговую работу выполнило: 27 учащихся.
Итоги выполнения работы:
№
задания
|
№1
|
№2
|
№3
|
№4
|
№5
|
общее
число
|
%
от всех участ.
|
общее
число
|
%
от всех участ.
|
общее
число
|
%
от всех участ.
|
общее
число
|
%
от всех участ.
|
общее
число
|
%
от всех участ.
|
Количество успешно выполневших
|
23
|
85%
|
25
|
93%
|
24
|
89%
|
18
|
67%
|
15
|
56%
|
Общие результаты работы:
оценки
|
«5»
|
«4»
|
«3»
|
«2»
|
успеваемость
|
абсолютная
|
качественная
|
количество
учащихся
|
4
|
14
|
7
|
2
|
93%
|
67%
|
Типичные ошибки:
-потеря корней при записи ответа в система,
-ошибки при определении знаков в промежутках;
-невнимательность при выборе решений с учетом раскрытия модуля;
-вычислительные ошибки; ошибки при определении корней квадратного трехчлена;
-«забытые» ограничения на основание логарифма, содержащее переменную.
Работа по коррекции знаний:
-выполнение внеаудиторной самостоятельной работы по типам примеров, неосвоенных учащимися;
-индивидуальные консультации.
ЛИТЕРАТУРА
А.Г.Корянов, А.А.Прокофьев «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников» М.: Педагогический университет «Первое сентября» 2012.-100с.
Ященко И.В. и др. «Подготовка к ЕГЭ по математике в 2013 году. Методические указания» -М.:МЦНМО, 2013.-224с.
Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И.-М.: Наука 1987.-240с.
|
