А. В. Шатилова
Элективный курс
Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта
Балашов 2009
Содержание
Введение………………………………………………………………………...3
Программа элективного курса «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»………………………………………………………………………………6
Занятия элективного курса «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта» и их методическое обеспечение…………………………………………….11
Занятие 1 (вводное)………………………………………………………………………….11
Занятие 2. Решение диофантовых уравнений способом
перебора вариантов…………………………………………………………….18
Занятие 3. Решение диофантовых уравнений
с использованием алгоритма Евклида………………………………………….23
Занятие 4. Решение диофантовых уравнений
с использованием алгоритма Евклида (занятие-практикум)………………….29
Занятие 5. Решение диофантовых уравнений
с использованием цепной дроби……………………………………………….32
Занятие 6. Решение диофантовых уравнений
с использованием цепной дроби (занятие-практикум)……………………….37
Занятие 7. Метод рассеивания (измельчения) в решении
диофантовых уравнений………………………………………………………..40
Занятие 8. Решение диофантовых уравнений разными способами
(Урок одной задачи)…………………………………………………………….45
Занятие 9. Диофантовы уравнения и великие теоремы
(семинарское занятие)…………………………………………………………..49
Занятие 10–11. Решение задач с использованием различных
диофантовых уравнений или их систем……………………………………….55
Занятие 12. Ученые-математики, внесшие свой вклад в развитие
теории диофантовых уравнений (семинарское занятие)……………………59
Подведение итогов курса................................................................................60
Библиографический список…………………………………………………62
Приложения………………………………………………………………….65
Введение
Реализация идеи профильного обучения как обязательного на старшей ступени общего образования ставит выпускника основной школы перед необходимостью совершения ответственного выбора профилирующего направления собственной деятельности. Необходимым условием, способствующим самоопределению подростка, является введение в основной школе предпрофильной подготовки через организацию курсов по выбору (элективных курсов). Для проведения занятий курсов по выбору рекомендуется использовать часы регионального (национально-регионального) компонента и компонента образовательного учреждения, выделенные в Федеральном базисном учебном плане для V-IX классов образовательных учреждений Российской Федерации.
Элективные курсы должны помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, познакомить ученика со спецификой видов деятельности, которые будут для него ведущими, если он выберет тот или иной профиль, обеспечить расширение и/или углубление какого-либо базового курса. Решению поставленных задач способствуют элективные курсы различных видов: пробные, ориентационные, углубляющие, коррекционные, общекультурные и др. Данную классификацию элективных курсов предлагает А. Г. Каспржак [11]. Для усиления профориентационной работы с учащимися 9 классов целесообразно использовать пробные, ориентационные и углубляющие элективные курсы. Посещение занятий этих курсов позволит школьникам осознанно подойти к выбору как профиля обучения на старшей ступени, так и сферы профессиональной деятельности в дальнейшем.
Пробные элективные курсы создают условия для того, чтобы помочь ученику, совершившему в первом приближении выбор образовательной области для более тщательного изучения, увидеть многообразие видов деятельности, с ней связанных. Содержание и способы работы на занятиях по этим курсам может более напоминать работу творческого кружка. Как отмечает А. Г. Каспржак в своей работе [11] «программы этих курсов должны иметь больше свободы, учитель должен будет менять программу (каждый урок), реагируя на интерес данной группы учеников, каждого в отдельности. Написал ученик удачное эссе, сочинил стихотворение, принес в класс модель вечного двигателя – и учитель обязан остановиться, выслушать, обсудить».
Ориентационные курсы могут быть решены как коллективное выполнение проекта, которое интегрирует, во-первых, несколько видов деятельности, а во-вторых – содержание нескольких наук. Преимущество такого подхода очевидно: и результат деятельности учеников “ощутим”, и условия, при которых каждый школьник может “найти своё место”, создаются, и время экономится. Повторим ещё раз: создание пространства «учебная жизнь», которое поможет ученику в процессе самоопределения относительно профиля дальнейшего обучения и/или профессиональной деятельности, — основная задача предпрофильной подготовки.
Вместе с тем, если школа является математической или ориентируется на профильное изучение предмета в 10-11 классах, то, целесообразно, чтобы в её учебном плане присутствовали и «углубляющие» курсы. Элективные курсы этого вида вероятнее всего могут использоваться на прохождение дополнительных разделов учебного предмета. То есть на элективных курсах данного вида будет решаться задача углубления, расширения знания учебного предмета. Выбирая подобный курс, руководству школы, учителю следует оценить реально свои силы, уровень подготовки школьников. Завышение “планки” может привести к прямо противоположенному эффекту относительно запланированного. Элективные углубляющие курсы ориентированы, прежде всего, на формирование практических умений у учащихся. Это означает, что основными учебными материалами на углубляющих элективных курсах по математике станут сборники задач. Такие элективные курсы должны быть согласованы по времени с изучением программного материала по учебному предмету. На этапе предпрофильной подготовки углубляющие курсы не должны иметь длительный характер, в основном такой курс может быть рассчитан на 10 – 12 часов. Это связано с тем, что этот курс можно было бы реализовать как в первом, так и во втором полугодии учебного года, обеспечив тем самым большему количеству учащихся возможность выбрать данный элективный курс.
Обратим внимание на то, что выше приведённое деление элективных курсов на виды неполно и весьма условно. По большому счету, и те и другие курсы ориентированы на создание условий, которые должны позволить ученику успешно завершить программу основной ступени образования, «состояться» на следующей ступени обучения. Внедрение элективных курсов призвано удовлетворить образовательный запрос (интересы, склонности) ученика (его семьи). Отсюда — многообразие видов элективных курсов.
Для учителя математики одной из важных задач в процессе обучения является работа по подготовке достаточного числа девятиклассников, которые выбрали бы для себя изучение математики на профильном уровне в 10 – 11 классах. В связи с этим, как при изучении общеобразовательного курса, так и в процессе проведения занятий курса по выбору, необходимо уделять серьезное внимание формированию интереса учащихся к предмету математики, демонстрируя ее разнообразные приложения и убеждая школьников в необходимости знания математики для решения задач в различных научно-производственных сферах, и в жизни человека. Привлечению школьников, как правило, способствует и необычное название элективного курса, суть которого будет затем раскрываться на занятиях.
В данной работе рассматривается содержание углубляющего элективного курса «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта» и его методическое обеспечение. Кто такой Диофант? Почему именно решение диофантовых уравнений взято в качестве основы данного элективного курса? Как лучше организовать занятия курса по выбору? Об этом и пойдет речь в представленном элективном курсе.
Программа элективного курса
«Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»
Пояснительная записка
Общая характеристика курса. Предлагаемый курс органически вписывается в систему предпрофильной подготовки учащихся в соответствии с принципами личностно-ориентированного образования. Курс «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта» является одним из альтернативных курсов, предлагаемых учащимся 9 класса. В содержании курса освящаются вопросы, связанные с проблемой решения неопределенных уравнений первой степени в целых (натуральных) числах, с рассмотрением данных уравнений в качестве математических моделей реальных задачных ситуаций, позволяющих продемонстрировать интересные приложения математических методов.
Работа с учащимися на занятиях данного курса опирается на базовый уровень знаний и умений по теме «Линейные уравнения с двумя переменными и их системы», а также на умения учащихся выполнять операции над числами различной природы, особое внимание уделяется использованию знаний, связанных с вопросами делимости во множестве целых чисел.
В базовом школьном курсе при изучении линейного уравнения с двумя переменными рассматриваются только самые общие вопросы: определение линейного уравнения с двумя переменными, определение решения данного уравнения, равносильность уравнений с двумя переменными, график линейного уравнения. Вопрос о нахождении целых (натуральных) решений линейного уравнения с двумя переменными, о возможных методах его решения остается за рамками школьного учебника. Однако многие практические задачи сводятся к решению линейного уравнения с двумя переменными, эти задачи часто встречаются в вариантах математических олимпиад, конкурсах по решению задач. Знание общих методов решения таких уравнений, названных в математике – диофантовыми, существенно расширяет математический арсенал учащихся, позволяет им осознать необходимость изучения математики, способствует повышению интереса к предмету «математика», а как следствие ориентирует их на выбор математического (естественно-научного) профиля в старших классах средней школы.
Классы: 8 - 9
Тип элективного курса: углубляющий курс, имеющий временное согласование с учебным предметом
Количество часов: 12 (в неделю – 1 час)
Образовательная область: математика
Цель изучения курса: углубление и расширение знаний по математике, развитие логического мышления, формирование познавательного интереса к предмету, ориентация учащихся на выбор математического (естественно научного) профиля обучения в старших классах.
Основные задачи курса:
– познакомить учащихся с понятием диофантова уравнения, историей его появления в математической науке;
– научить решать диофантовы уравнения первой степени с двумя переменными различными способами;
– научить решать текстовые задачи, описывающие различные практические ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения первой степени с двумя переменными или их системы;
– расширить представления учащихся в области истории математики;
– продемонстрировать значимость математических методов в решении разнообразных задач науки и практики.
Организация изучения курса. Целесообразно включать предлагаемый элективный курс в учебный процесс после изучения необходимого материала в базовом курсе. В целях проведения профессиональной ориентации школьников, наиболее удачным будет постановка этого курса в 9 классе.
Основные организационные формы реализации предлагаемой программы – лекционные, практические и семинарские занятия. Методы обучения, применяемые в процессе проведения занятий – школьная лекция, рассказ, беседа, метод упражнений и др. Формы обучения имеют как фронтальный, так и групповой, и индивидуальный характер. В ходе изучения курса используются и современные информационные технологии. Учащимся предлагается тематика учебно-исследовательских заданий, результаты выполнения которых, школьники представляют в форме доклада (реферата), сопровождая свое выступление на семинарских занятиях презентацией, подготовленной авторами в программе Power Point.
Планируемые результаты:
– выбор учащимися математического (естественно-научного) профиля на старшей ступени средней школы;
– овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для решения диофантовых уравнений первой степени с двумя переменными, для изучения естественнонаучных дисциплин в классах соответствующего профиля;
– развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;
– формирование навыков самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде, умения ставить, формулировать и решать проблемы.
Система оценки достижений учащихся. В технологии проведения занятий присутствуют элементы перекрестной и самопроверки, что позволяет учащимся самим проверить, как усвоен ими изученный материал. Форма итогового контроля – командные соревнования, на которых для выполнения заданий учащимся требуются знания и умения, формируемые в ходе изучения элективного курса «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта». Также оценивается и самостоятельно подготовленный школьниками образовательный продукт в форме доклада (реферата) и компьютерной презентации.
Содержание элективного курса
«Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»
Введение. Цели и задачи курса, его организация. Диофант и его уравнения (исторический экскурс).
Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов. Актуализация знаний по теме «Линейное уравнение с двумя переменными» (определение уравнения, решения уравнения, график уравнения). Определение диофантова уравнения первой степени с двумя неизвестными. Способ перебора вариантов – метод решения диофантовых уравнений. Решение текстовых задач.
Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида. Актуализация знаний по теме «Наибольший делитель двух чисел. Алгоритм Евклида». Вывод формул для целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения алгоритма Евклида. Решение уравнений с использованием алгоритма Евклида. Решение текстовых задач.
Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби. Введение понятия цепной дроби. Алгоритм получения цепной дроби. Формулы целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения цепных дробей. Решение уравнений с использованием цепной дроби. Решение текстовых задач.
Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений. Алгоритм решения диофантова уравнения методом измельчения коэффициентов. Решение уравнений. Решение текстовых задач.
Диофантовы уравнения и великие теоремы. Теорема Пифагора. Теорема Ферма.
Решение задач, сводимых к диофантовым уравнениям или их системам. Решение диофантовых уравнений и их систем с использованием других приемов и методов.
Ученые - математики, внесшие свой вклад в теорию диофантовых уравнений: П. Ферма, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс, Д. Гильберт и др.
Тематический план элективного курса
«Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»
№
п/п
|
Тема занятия
|
Количество часов
|
1
|
Вводное занятие
|
1
|
2
|
Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов
|
1
|
3–4
|
Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида
|
2
|
5–6
|
Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби
|
2
|
7
|
Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений
|
1
|
8
|
Решение диофантовых уравнений различными способами
Урок одной задачи (обобщающее занятие)
|
1
|
9
|
Диофантовы уравнения и великие теоремы
|
1
|
10-11
|
Решение задач, с использованием различных диофантовых уравнений или их систем
|
2
|
12
|
Ученые – математики, внесшие свой вклад в развитие теории диофантовых уравнений
|
1
|
Итого:
|
12
|
Занятия элективного курса
«Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»
и их методическое обеспечение
Занятие №1
Вводное занятие
План занятия
Цели и задачи элективного курса «Диофантовы уравнения». Организация занятий курса.
Диофант и его уравнения (исторический экскурс).
Распределение заданий к семинарским занятиям для групповой и индивидуальной работы учащихся.
Оборудование. Портрет Диофанта, плакаты (слайды) с текстом надписи на гробнице Диофанта (компьютерная презентация, иллюстрирующая рассказ учителя о Диофанте и его уравнениях).
Ход занятия
Вступительное слово учителя
На первом вводном занятии слушателям сообщаются цели проведения данного элективного курса, обращается внимание на необходимость выбора учащимися профиля класса на старшей ступени, задается ориентация на математический (естественнонаучный) профиль, подчеркивается значимость математических методов для решения различных задач, отражающих реальные ситуации.
Раскрывая суть названия курса, первое занятие, следует начать с задачи «о сказках Шехерезады»:
Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если x ночей она будет рассказывать по 3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей (Сюжет был предложен Б. А. Кордемским в статье «Этому виду задач более 1600 лет» в журнале «Квант» [13]).
Сказочнице, очевидно, потребуется x+ у ночей, где x и у – натуральные корни уравнения 3х+5у=1001, которое и называют диофантовым уравнением в честь знаменитого математика II – III веков н. э. Диофанта. Обращаем внимание, что изучение различных способов решения таких уравнений и будет находиться в центре внимания на занятиях элективного курса. Предложить учащимся, в качестве домашнего задания, найти хотя бы одно решение данного уравнения. Как правило, учащиеся выполняют это задание подбором корней или с использованием способа переборов возможных вариантов, который и будет рассматриваться на занятии №2. В связи с этим к решению задачи имеет смысл вернуться на этом занятии.
2. Рассказ учителя об известном ученом – математике Диофанте и его уравнениях
Диофант и его уравнения
В наши дни каждый, кто занимался математикой как профессионал или как любитель, слышал о диофантовых уравнениях и даже о диофантовом анализе. За последние 15–20 лет эта область сделалась «модной» благодаря своей близости к алгебраической геометрии — властительнице дум современных математиков. Между тем, о том, кто дал имя неопределённому анализу, о самом Диофанте, одном из наиболее интересных учёных античности, почти ничего не написано. О его работах даже историки науки имеют самое превратное представление. Большинство из них считает, что Диофант занимался решением отдельных задач, равносильных неопределённым уравнениям, применяя для этого хитроумные, но частные методы.
Между тем простой разбор задач Диофанта показывает, что он не только обозначил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения.
Большинство из нас составляет впечатление об античной математике по «Началам» Евклида, сочинениям Архимеда и Аполлония. Диофант открывает нам мир арифметики и алгебры, не менее богатый и красочный.
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы.
Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!
Французский историк науки Поль Таннери, издатель наиболее полного текста Диофанта, попытался сузить этот промежуток. В библиотеке Эскуриала он нашёл отрывки из письма Михаила Пселла, византийского учёного XI века, где говорится, что «учёнейший Анатолий, после того как собрал наиболее существенные части этой науки (речь идёт о введении степеней неизвестного и об их обозначениях), посвятил их своему другу Диофанту». Анатолий Александрийский действительно составил «Введение в арифметику», отрывки из которой приводят в дошедших до нас сочинениях Ямблих и Евсевий. Но Анатолий жил в Александрии в середине III века н. э. и даже более точно — до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого. Итак, если знаменитый александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант составляют одно лицо, то время жизни Диофанта — середина III века н. э.
Сама же «Арифметика» Диофанта посвящена «достопочтенному Дионисию», который, как видно из текста его «Введения», интересовался арифметикой и её преподаванием. Хотя имя Дионисий было в то время довольно распространённым, Таннери предположил, что «достопочтенного» Дионисия следует искать среди известных людей эпохи, занимавших видные посты. И вот оказалось, что в 247 году епископом Александрии стал некий Дионисий, который с 231 года руководил христианской гимназией города! Поэтому Таннери отождествил этого Дионисия с тем, которому посвятил свой труд Диофант, и пришёл к выводу, что Диофант жил в середине III века н. э. Мы можем, за неимением лучшего, принять эту дату.
Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.
После распада огромной империи Александра Македонского Египет в конце IV века до н. э. достался его полководцу Птолемею Лагу, который перенёс столицу в новый город — Александрию. Вскоре этот многоязыкий торговый город сделался одним из прекраснейших городов древности. Размерами его превзошёл впоследствии Рим, но долгое время ему не было равного. И вот именно этот город стал на многие века научным и культурным центром древнего мира. Это было связано с тем, что Птолемей Лаг основал Музейон, храм Муз, нечто вроде первой Академии наук, куда приглашались наиболее крупные учёные, причём им назначалось содержание, так что основным делом их были размышления и беседы с учениками. При Музейоне была построена знаменитая библиотека, которая в лучшие свои дни насчитывала более 700 000 рукописей. Неудивительно, что учёные и жаждущие знаний юноши со всего мира устремились в Александрию, чтобы послушать знаменитых философов, поучиться астрономии и математике, иметь возможность в прохладных залах библиотеки углубиться в изучение уникальных рукописей.
Музейон пережил династию Птолемеев. В первые века до н.э. он пришёл во временный упадок, связанный с общим упадком дома Птолемеев в связи с римскими завоеваниями (Александрия была окончательно завоевана в 31 году до н. э.), но затем в первые века н. э. он снова возродился, поддерживаемый уже римскими императорами. Александрия продолжала оставаться научным центром мира. Рим никогда не был в этом отношении её соперником: римской науки (мы имеем в виду естественные науки) просто не существовало, и римляне оставались верными заветам Вергилия, писавшего:
Тоньше другие ковать будут жизнью дышащую бронзу, —
Верю тому, — создадут из мрамора лики живые,
Красноречивее будут в судах, движения неба
Тростью начертят своей и вычислят звёзд восхожденья,
Ты же, римлянин, знай, как надо народами править.
И если в III–II веках до н. э. Музейон блистал именами Евклида, Аполлония, Эратосфена, Гиппарха, то в I–III веках н. э. здесь работали такие учёные как Герон, Птолемей и Диофант.
Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Примечание. Существуют различные интерпретации данной задачи. Приведем еще один перевод стихотворения о жизни Диофанта.
Путник. Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его
жизни.
|
