АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ
МАТЕМАТИКА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЧАСТЬ I
Учебно-методическое пособие
для студентов-заочников
направлений и специальностей
Института информационных технологий
и коммуникаций
Астрахань 2008
Авторы:
Джураева В.Д. – ассистент кафедры математика
Ткачева Н.Ф. – старший преподаватель кафедры математика
Рецензент :
Шамайло О.Н. – старший преподаватель кафедры математика.
Математический анализ. Часть 1.
Учебно- методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и
коммуникаций. АГТУ / Джураева В.Д., Ткачева Н.Ф.. Астрахань, 2008. – 60 с.
Одобрено и рекомендовано к использованию в учебном процессе
заседанием кафедры математики, протокол № 8 от 31.10.08
Учебно- методическое пособие «Математика» (Математический анализ. Часть 1) представляет собой программу курса, методические указания и варианты контрольных работ, список учебно-методической литературы для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и коммуникаций. Оно содержит подробные методические указания к решению типовых задач, иллюстрируемые множеством примеров. Настоящее пособие будет полезно также для студентов и слушателей всех форм обучения с использованием дистанционных образовательных технологий, а также для студентов высших технических учебных заведений, изучающих математический анализ.
Методика изучения математической дисциплины в высшем учебном заведении студентами – заочниками
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом: по математическим дисциплинам она складывается из чтения учебников, решения задач и выполнения контрольных заданий. В помощь студентам-заочникам вузы организуют чтение лекций и практические занятия, кроме этого студент может обращаться к преподавателю с вопросами для консультаций. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ.
Завершающим этапом изучения каждого из математических курсов является сдача зачётов и экзаменов в соответствии с учебным планом..
Чтение учебника
Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего.
Особое внимание следует обращать на определения основных понятий, подробно разбирать примеры, поясняющие эти определения, уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.
При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения , формулировки теорем, формулы, уравнения и т. п.
Решение задач
Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.
При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса.
Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления должны располагаться в строгом порядке, при этом рекомендуется отделять вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями.
Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие.
Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи.
Решение задач одного определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.
Самопроверка
После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем, проверяя каждый раз по учебнику.
Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.
Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задач получается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела.
Консультации
Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, он может обратиться на кафедру математики для получения консультации.
Запрос о консультации не должен превращаться в просьбу решить ту или иную задачу из контрольной работы студента.
Контрольные работы
В процессе изучения дисциплины «Математический анализ» студент должен выполнить четыре контрольные работы, главная цель которых – оказать студенту помощь в его учебной работе.
Оформленную контрольную работу студент присылает (приносит) в заочный деканат на рецензию. Правила оформления работ приведены в конце данного пособия. Наличие зачетов по всем контрольным работам является допуском к экзамену (зачету).
Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельное выполнение работ не даст возможность студенту успешно усвоить теорию и закрепить ее практикой, что неизбежно приведет к затруднениям на экзамене.
Прорецензированные и зачтенные контрольные работы студент должен представить преподавателю при сдаче экзамена.
Лекции и практические занятия
Во время экзаменационно - лабораторных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят преимущественно обзорный характер. Их цель – обратить внимание на общую схему построения того или иного раздела курса, подчеркнуть важнейшие факты, указать главные практические приложения.
Программа курса
Введение в математический анализ
Элементы математической логики. Взаимно-обратные и взаимно-противоположные теоремы. Необходимость и достаточность. Символика математической логики и ее использование.
Множества. Алгебра множеств. Отношение элементов 2-ч множеств. Функция как бинарное отношение. Классификация функций.
Числовые последовательности и операции над ними. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно малые последовательности.
Сходящиеся последовательности и их основные свойства.
Монотонные последовательности. Число е… Натуральные логарифмы
Основные свойства произвольных последовательностей. Подпоследовательности числовых последовательностей. Предельные точки последовательностей. Необходимые и достаточные условия сходимости последовательности.
Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Свойства функций, имеющих предел.
Непрерывность функций.
Бесконечно малые функции и их основные свойства.
Бесконечно большие функции и их свойства, их связь с бесконечно малыми функциями.
Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов.
Свойства непрерывных в точке функций. Предел и непрерывность сложной функции.
Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.
Свойства функций непрерывных на отрезке.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функция. Ее физическая и геометрическая интерпретация. Понятие дифференцируемости функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Понятие дифференциала функции.
Производная суммы, произведения, частного сложной функции.
Вычисления производных элементарных функций.
Производная обратной функции. Вычисление производных обратных функций. Логарифмическая производная.
Производная параметрической и неявно заданной функции.
Инвариантность формы первых дифференциалов. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Производная и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ферма, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
Применение основных теорем дифференциального исчисления.
Формула Тейлора. Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена.
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Бином Ньютона.
Исследование функций с помощью производных
Условие возрастания и убывания функций. Точки локального экстремума. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на замкнутом отрезке.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
Асимптоты кривых. Общая схема исследования графика функции.
Метод хорд и касательных для решения уравнений.
Векторные и комплексные функции действительного переменного
Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее геометрический и механический смысл.
Уравнение касательной и нормальной плоскости к пространственной линии
Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.
Комплексные функции действительного аргумента, их дифференцирование.
Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. Условия тождественности двух многочленов.
Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители.
Функции нескольких переменных
Понятие функции нескольких переменных. Понятие n-мерного координатного пространства и n-мерного евклидова пространства.
Сходящиеся и ограниченные последовательности точек в n-мерном евклидовом пространстве и их свойства.
Предельное значение функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия его существования.
Непрерывные функции нескольких аргументов и их свойства.
Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость. Дифференцирование сложной функции.
Дифференциал функции нескольких переменных.
Производная по направлению. Градиент.
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Дифференцирование неявных функций.
Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
Локальный экстремум. Необходимые условия локального экстремума.
Достаточные условия существования локального экстремума.
Понятие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа. Достаточные условия. Глобальный экстремум.
Неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
Основные методы интегрирования. Замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование простейших дробей.
Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.
Интегралы от иррациональных дробей. Подстановки Эйлера.
Интегрирование дифференциального бинома.
Интегрирование иррациональностей с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок.
Понятие об интегралах, не выражающихся через элементарные функции.
Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию интеграла. Определение определенного интеграла. Теорема существования. Свойства определенного интеграла.
Интегралы с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Геометрическое приложение определенного интеграла.
Несобственные интегралы. Признаки сходимости.
Приложение определенного интеграла в механике.
Правила выполнения и оформления контрольных работ
При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
Контрольную работу следует выполнять в тетради, отдельной для каждой работы, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
В заголовке работы должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, учебный номер (шифр), номер контрольной работы. Заголовок работы надо поместить на обложке тетради, здесь же следует указать дату отсылки работы в университет и адрес студента. В конце работы следует указать список использованной литературы, проставить дату её выполнения и расписаться.
В работу должны быть включены задачи строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.
Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
Перед решением каждой задачи надо выписать полностью её условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условия задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.
Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.
После получения прорецензированной контрольной работы, как не зачтённой так и зачтённой, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочёты.
При высылаемых исправлениях должна быть обязательно прорецензированная работа и рецензия на неё. Вносить исправления в сам текст работы после её рецензирования запрещается.
Студент обязан выполнить контрольные работы по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного шифра.
1.5. 
При вычислении предела воспользовались эквивалентными
бесконечно малыми sinx ~ x при x→0.
1.6. 
Сделаем замену переменной:
 при 
(известно, что  )
1.7. 
= 
2. Исследуйте функцию на непрерывность. Определить характер точек разрыва. Сделать чертеж.
2.1.  Функция элементарная, следовательно, непрерывная во всех точках области определения. ОДЗ: х≠3. Поэтому функция непрерывна при  . Исследуем поведение функции в окрестности точки х = 3.
Так как один из односторонних пределов есть ∞, то в точке х = 3 функция терпит разрыв 2-го рода (бесконечный разрыв) .
Сделаем схематичный чертеж, предварительно вычислив:
|
