Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2

ВВЕДЕНИЕ 4

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 9

ЛИТЕРАТУРА 10

ВВЕДЕНИЕ
Зачем нужна тригонометрия? Синусы, косинусы, тригонометрические функции, тригонометрические уравнения, неравенства, тождества - это все пытки, через которые нужно пройти десятикласснику. Для чего?

Назовем вещи своими именами. Подавляющему большинству из нас они никогда не пригодятся, многие обойдутся без синусов, косинусов и других изящных математических штучек. На кухне, в кулинарных рецептах, вы тоже не встретите ни синусов, ни косинусов. Если взглянуть трезво на нашу повседневную жизнь, то вся наша повседневная математика остается где-то на уровне знаний Древней Греции. Нам хватает с головой. Так зачем же нужна тригонометрия?

По сравнению с Древней Грецией, у нас сегодня имеется много разных штучек, о которых древние греки даже мечтать не могли. Даже их Боги не ездили на машинах, не пользовались мобильной связью, не общались по Интернету. Зато всё это есть у нас, и мы постоянно этим пользуемся. Откуда же всё это невиданное богатство взялось? Его создали мы сами. Сначала ученые делали научные открытия. Потом инженеры, на основании сделанных учеными открытий, создавали всякие полезные штуки. Мы сегодня этими штуками пользуемся, не имея ни малейшего понятия о том, что находится внутри и какие научные законы положены в основу их работы. Так вот, если бы не было синусов и косинусов, не было бы и всех этих «клевых» штук.

Так что же такое синусы, косинусы и другие тригонометрические функции? Это математический инструмент, которым нужно уметь пользоваться. То, что мы этим инструментом почти никогда не пользуемся, говорит не о том, что изучать их не надо, а о том, что эффективность применения полученных нами знаний практически равна нулю. Нужно хотя бы знать, что это такое и где искать информацию о них. Полученных в школе знаний нам вполне хватит, чтобы самостоятельно во всем разобраться. Еще греки, на заре человечества, считали тригонометрию важнейшей из наук, ибо «геометрия - царица математики, а тригонометрия - царица геометрии».
Решение тригонометрических неравенств легким и простым не назовешь. Оно требует аналитического склада ума, умения мыслить абстрактно. Почему я рассматриваю вопрос о решении только простейших неравенств? Потому что любое тригонометрическое неравенство, каким бы большим и запутанным оно не казалось вначале, можно с помощью тождественных преобразований свести к простейшему или нескольким простейшим тригонометрическим неравенствам. При изучении решения простейших тригонометрических неравенств меня заинтересовал вопрос о способах их решения. Меня совершенно не устраивает такое положение дел, когда нужно каждый раз делать рисунок и мучительно размышлять, как отыскать верный ответ.

Проблема: процесс решения простейших тригонометрических неравенств сложный, много шаговый, требующий большого объема знаний и умений.

Гипотеза: если решить простейшие тригонометрические неравенства в общем виде, то можно получить формулы и процесс решения будет проще и короче.



ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Цель моего исследования: вывести формулы для решения простейших тригонометрических неравенств.

В связи с поставленной целью я ставлю перед собой следующие задачи:

а) изучить способы решения простейших тригонометрических неравенств, которые предложены в математической литературе;

б) рассмотреть решение простейших тригонометрических неравенств в общем виде;

в) вывести формулы для решения простейших тригонометрических неравенств;

г) представить полученные результаты в виде таблицы;

д) показать на примере применение своих формул.

В учебниках по алгебре для 10 класса Колмагорова А. Н. И Алимова Ш. А. [1 и 2] при решении простейших тригонометрических неравенств предлагается рассматривать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. В других источниках, например в «Справочнике по элементарной математике» Выгодского Я. Я. или в книге Крамора «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа» [3 и 4] предлагается еще графический способ решения, когда неравенства решаются с помощью графика тригонометрической функции. Разберем на примерах.

1. Решим неравенство sin x > 0,5 с помощью единичной окружности.

На единичной окружности строим дуги АС и АС₁, синус которых равен 0,5.

Из рисунка видно, что данному неравенству удовлетворяют все точки дуги СВС1, то есть . Чтобы получить все решения данного неравенства, надо к концам промежутка прибавить 2πk. Окончательно имеем ответ:

2. Решим это же неравенство графически. Строим графики функций у = sin x и у = 0,5.


Из рисунка видно, что прямая у = 0,5 пересекает синусоиду на промежутке . Учитывая периодичность, запишем ответ:

Шаги решения простейшего тригонометрического неравенства:

С помощью окружности

С помощью графика

устно заменяем неравенство уравнением. чертим единичную окружность и отмечаем на ней точки, соответствующие уравнению (при этом надо точно знать определение синуса и косинуса) отмечаем точки окружности, соответствующие неравенству, то есть выделяем соответствующую дугу. указываем направление отсчёта. находим начало дуги. вычисляем угол, то есть, вычисляем соответствующую аркфункцию. находим угол, соответствующий концу дуги, применяя некоторые знания из геометрии (уметь заметить равенство дуг или отрезков, воспользоваться симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса) записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.

устно заменяем неравенство соответствующим уравнением чертим график функции синуса или косинуса и отмечаем на нем точки, соответствующие уравнению. отмечаем точки графика, соответствующие неравенству, т. е. выделяем соответствующий участок графика. находим начало и конец промежутка (при этом надо точно знать, где аркфункция и уметь найти значение конца промежутка). вычисляем соответствующую аркфункцию. находим абсциссу конца промежутка, применяя некоторые знания из геометрии (уметь заметить равенство отрезков графика, воспользоваться симметрией отдельных частей его). записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.

Мои исследования заключаются в том, что я решаю неравенства в общем виде. Рассмотрим решения неравенств sin x > a и sin x < a с помощью графика. Для этого построим графики у = sin x и у = a, считая, что │a│< 1(рисунок 1)

Рис. 1

Рис. 2

Найдем абсциссы трех последовательных точек пересечения графиков:

х₀ = arcsin a, x₁ = π – arcsin a, x₂ = arcsin a + 2 π.

По рисунку видно, что на интервале (х₀ ; x₁) график функции у = sin x расположен выше графика функции у = a. Значит, на этом промежутке выполняется неравенство

sin x > a. А на интервале (x_{1 ;} x₂) график функции у = sin x расположен ниже графика функции у = a. Следовательно, все точки этого интервала являются решением неравенства sin x < a. Точки пересечения графиков являются корнями уравнения sin x = a. Если записать его решение x = (- 1)ⁿ arcsin a + πn, n Z и вычислить корни при n = 0, n = 1,

n = 2, то это как раз и будут нужные нам три точки. Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получаем решение неравенства sin x > a в виде: х₀ + 2πn < x < x₁ + 2πn, n Z; а во втором случае – решение неравенства sin x < a в виде: x₁ + 2πn < x < x₂ + 2πn, n Z.

Далее провожу аналогичные рассуждения для косинуса. Строю графики у = cos x и у = a, считая, что │a│< 1 (рисунок 2). Только в отличие от синуса из формулы x = ± arccos a + 2πn, nZ, являющейся решением уравнения cos x = a, при n = 0 получаем два корня х₀ = - arccos a, x₁ = arccos a, а третий корень при n = 1 в виде x₂ = - arccos a + 2 π. И опять х₀ , x₁ и x₂ являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков у = cos x и у = a. Снова вижу, что на интервале (х₀ ; x₁) выполняется неравенство cos x > a, а на интервале (x_{1 ;} x₂) – неравенство cos x < a. Теперь нетрудно записать решения неравенств cos x > a и cos x < a. В первом случае получим х₀ + 2πn < x < x₁ + 2πn, n Z,;

а во втором x₁ + 2πn < x < x₂ + 2πn, n Z.

Решения для неравенств вида tg x > a или tg x < a тоже можно рассмотреть по рисунку. Графики функций у = tg x и у = а на промежутке [ - ; ] пересекаются в одной точке х₀, так как функция у = tg x на заданном промежутке возрастает.



На промежутке (- ; х₀) график функции у = tg x расположен ниже графика функции у = а. Следовательно, на этом промежутке выполняется неравенство tg x < a. Аналогично: неравенство tg x > a выполняется на промежутке ( х₀; ).Для записи ответа не забыть учесть периодичность тангенса.

Рассмотренное решение в общем виде позволяет сузить данный вопрос до таблицы с готовыми формулами.

	> a, │a│< 1, n Z.				< a, │a│< 1, n Z.
S i n	arcsin a + + 2πn		< x <	–arcsin a + + π(1+2n)	– arcsin a + + π(1+2n)		< x <	arcsin a + + 2 π (1+n)
C o s	- arccos a + + 2πn		< x <	arccos a + + 2πn	arccos a + + 2πn		< x <	- arccos a + + 2 π(1+n)
T g	> a, a – любое, n Z.				< a, а – любое, n Z.
	arctg a + + πn	< x <		+ πn	- + πn	< x <			arctg a + + πn

Для решения простейшего тригонометрического неравенства с помошью формул нужно выполнить следующие шаги: 1) вычислить аркфункцию; 2) по таблице записать ответ. Например, неравенство sin x ≥ 0,5 решаем так: arcsin = , по таблице получаем + 2πn ≤ x ≤ – + π(1+2n). Это ответ. При желании можно раскрыть скобки и записать его в другом виде.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе были рассмотрены методы решения простейших тригонометрических неравенств: с помощью единичной окружности, графический метод. Неравенства с помощью графика решены в общем виде, что позволило перейти к решению неравенств по готовым формулам.

Полученные мною формулы могут быть использованы учащимися десятых классов для решения простейших тригонометрических неравенств и выпускниками школ при подготовке к ЕГЭ или централизованному тестированию. Благодаря результатам моего исследования сложнейшая тема тригонометрии стала легкой в изучении и доступной каждому старшекласснику. Преимущества данного метода по сравнению с другими, использующимися при решении простейших тригонометрических неравенств, следующие: простота и быстрота достижения цели; экономность в вычислительных средствах и времени.

Результаты исследования придают красоту в решении, упрощают его. Достаточно вычислить аркфункцию и заглянуть в таблицу. А в ней готовый ответ. Решение простейшего тригонометрического неравенства стало кратким и однообразным. Решить его легко, а главное, быстро. Не надо каждый раз «открывать Америку». Почему нет этих формул в математической литературе? Пугает простота и некоторая доля появившегося формализма? Но ведь решаем же мы квадратные уравнения по формулам и ничего, хотя есть другие способы решения. Мы пользуемся ими редко, потому что они более сложные. И тригонометрические уравнения решаем по формулам. А я рекомендую пользоваться моей таблицей и решать простейшие неравенства тоже по формулам.

Исследования можно продолжить. Можно рассмотреть применение метода интервалов для решения тригонометрических неравенств, левая часть которых уже представлена или может быть представлена в виде произведения. Можно усложнить задачу: рассмотреть неравенства, левая часть которых является дробью, содержащей тригонометрические функции. Числитель и знаменатель разложить на множители и посмотреть, как работает метод интервалов на единичной окружности. Я думаю, это будут интересные исследования.


ЛИТЕРАТУРА:

1. 
   А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2001
   

2. 
   Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2000
   

3) Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. /Выгодский Я.Я., М.: Наука, 1970.
4) Крамор В. С. “ Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа” Москва, “Просвещение” 1990 год