Скачать 0.59 Mb.
|
Конспект №1
1.1Высказывания и предикаты.Высказывания – это утвердительные предложения, которым можно придать значение «Истина (True)» или «Ложь (False). Они могут быть выражены на любом языке – русском, английском, китайском и т.д. Важно лишь, чтобы они обладали этим качеством – быть либо истинными, либо ложными. Переменная величина, которая принимает лишь два значения – Т (True) или F (False) называется логической переменной. Функция1 от нескольких логических переменных принимающая одно из двух значений - Т или F в зависимости от значений своих переменных называется логической функцией. Упражнение №1. Среди следующих предложений выберите те, которые являются высказываниями в силу данного определения (поставьте напротив них галочки):
Если в некотором утвердительном предложении содержится переменные величины, которые могут принимать различные значения и при этих значениях переменных утверждение становится истинным или ложным, т.е. превращается в высказывание, то такое предложение будем называть предикатом. Например: «целое число Х делится на 5». При подстановке вместо Х чисел 5, 10, 20, 30, 100 оно становится истинным, а при подстановке чисел 7, 12, 28, 93 – ложным. В этом предикате одна переменная – число Х. Предикат может содержать несколько переменных. Например, «Х 1.2Операции с высказываниями. Высказывания будем обозначать строчными латинскими буквами. Заглавными буквами соответственно Т (True) и F (False) будем обозначать соответственно истинное и ложное высказывания. Определим вначале операцию логического отрицания. Она применяется к одному высказыванию и потому называется “унарной”. Если обозначить высказывание буквой p, то его отрицание обозначается либо как p (уголок перед p), либо как p (черта сверху над p). Если высказывание p было истинным, то его отрицание считается ложным, и наоборот, если оно было ложным, то его отрицание является истинным. Это определение можно выразить таблицей:
Следующие операции применяются к паре высказываний и поэтому они называются “бинарными”. Для пары высказываний p, q существуют 4 возможности: оба истинны, оба ложны, первое истинно, второе ложно и наоборот, первое ложно, второе истинно. Поэтому таблицы для них будут содержать 4 строки.
Мы видим, что дизъюнкция ложна только тогда, когда оба высказывания ложны и верна, если хотя бы одно из них истинно. В языке это соответствует предлогу или с той лишь разницей, что мы часто, говоря «или» подразумеваем, что верно лишь одно из двух утверждений, но не оба вместе. Такое употребление назовём «разделительным или» и для его обозначения используем знак «!». Конъюнкция, наоборот, верна лишь тогда, когда оба высказывания истинны и ложна во всех остальных случаях. Ей в языке соответствует предлог «и». Импликация читается как «если p, то q» или, иными словами, «из p следует q». Считается, что из истины может следовать только истина, а вот из ложного утверждения может следовать всё что угодно, и мы не можем, поэтому, считать высказывание «изо лжи следует истина» ложным. В импликации первый операнд – p называется посылкой, а второй - q – заключением. В дизъюнкции и конъюнкции оба операнда можно поменять местами – результат от этого не изменится. Это свойство называется коммутативностью. Этим же свойством обладают, например, сложение и умножение чисел. А вот в импликации посылку и заключение поменять местами нельзя. То же самое относится, например, к операциям вычитания и деления чисел. Упражнение №2. Пусть p означает предложение «завтра мы починим крышу» а q – предложение «сейчас пойдёт дождь». Как символически записать утверждения:
Запишите словами утверждения, соответствующие формулам:
|