Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников экономических специальностей сельскохозяйственных высших учебных заведений

§ 1-9; [3] № 683. 685. 700, 701; |2] гл. VII § 1—13; [3] № 716, 734, 736, 768, 744, 747, 782, 789; [2] гл. VIII; [3] № 816, 820, 825 (2, 3). Разберите решение задач 6, 7 данного пособия. Задача 6. Вычислить пределы:  б)  в) г) Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида . Для устранения этой неопределенности разложим числи­тель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель(x+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (x+3) отличен от нуля при : б) При выражение дает неопределенность вида Для ее устранения умножим и разделим это выражение на  = = в) Обозначим arctg 5х=у. Тогда 5х=tg у и  при Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела г) При выражение  является неопределенностью вида 1 . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при  величины и применим формулу второго замечательного предела: Тогда имеем:  Пусть 2х+1=-4y. Тогда 4x+5=-8y+3 и  при Переходя к переменной у, получим: Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию  Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на РИСУНОК № 4. интервалах (—; 1) и (1;) и, следовательно, она непре­рывна на этих интервалах. В точке x=1 функция имеет раз­рыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конеч­ные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4. Вопросы для самопроверки Сформулируйте определение понятия функции. Что называется областью определения функции? об­ластью изменения функции? Перечислите основные элементарные функции. Назо­вите их основные свойства. Какие функции называются элементарными? Приве­дите примеры. Что называется пределом числовой последователь­ности? Сформулируйте определение предела функции. Назовите основные свойства пределов функций. Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой? Назовите свойства бесконечно малых функций. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов. Какие логарифмы называются натуральными? Дайте определения односторонних пределов функция в точке. Какая функция называется непрерывной в точке? на интервале? Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода? Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2 Тема 5. Производная и дифференциал [2] гл. IX, § 1—5; [3] № 907, 908, 910; [2] гл. X; [3] № 850, 857, 875, 888, 945, 956; [2] гл. XII; [3] № 1067, 1075, 1077. Разберите решение задачи 8 данного пособия. Задача 8. Найдите производные функции: а) б)  в)  Решение: а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем: у'= = ´=  б)  в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у' нужно продифференцировать по переменной x обе части уравнения, считая при этом у функцией от x, а затем полученное урав­нение разрешить относительно у': Из последнего уравнения находим y´: Вопросы для самопроверки Что называется производной функции? Каков геометрический, физический смысл производ­ной? Как взаимосвязаны непрерывность функции и ее дифференцируемость в точке? Напишите основные правила дифференцирования функций. Напишите формулы дифференцирования основных эле­ментарных функции. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции. Что называется дифференциалом функции? Каков геометрический смысл дифференциала функ­ции. Перечислите основные свойства дифференциала функ­ции. Напишите формулу, позволяющую находить прибли­женное значение функции при помощи ее дифференциала. Как найти производную второго, третьего, n-го поряд­ков? Как найти дифференциал второго порядка от данной функции? Тема 6. Приложения производной [2] гл. XI, § 1—3, 7—10; [3] № 1162, 1167, 1201, 1222, 1229. Разберите решение задач 9, 10 данного пособия. Задача 9. Исследовать функцию  и построить ее график. Решение. Исследование функции проведем по следую­щей схеме: Найдем область определения функции. Исследуем функцию на непрерывность. Установим, является ли данная функции четной, нечетной. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Найдем асимптоты кривой. Реализуем указанную схему: Функция определена при всех значениях аргумента x, кроме x=1. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т. е. на интервалах ; 1) и (1; ). В точке х=1 функция терпит разрыв второго рода. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств (тогда — четная функция) или (для нечетной функции) для любых х и —х из области определения функции: Следовательно, то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную: у' = 0 при х=0 и y´— не существует при x=1. Тем самым имеем две критические точки: x1 = 0, х2 =1. Но точка х2 =1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может. Разобьем числовую ось на три интервала (рис.5): В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале— положительна н данная функция возрастает. При переходе через точку x = 0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:. Значит, A(0; —1) — точка мини­мума РИСУНОК № 5. На рис. 5 знаками +, — указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками — возрастание и убыва­ние исследуемой функции. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную: у"=0 при x =  и у" — не существует при х=1. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6); ; 1), (1;. На первом интервале вторая производная у" отрицательна и дуга исследуемой кривой выпуклая; на вто­ром и третьем интервалах у">0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку  у" меняет свой знак, поэтому абсцисса точки перегиба. Следовательно, В— точка перегиба графика функции. РИСУНОК № 6. 6. х =1—точка разрыва функции, причем  Поэтому прямая х =1 является вертикальной асимптотой -графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты у = kх+b воспользуемся формулами: Тогда При вычислений последнего предела использовалось правило Лопиталя. Значит прямая у =0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7. РИСУНОК № 7.

Похожие:

	И. Б. Абрамова О. П. Кириченко Учебно-методическое пособие предназначено для студентов-заочников (1-2 курсов) высших учебных заведений (факультетов) неязыковых...		Методические указания и контрольные задания для студентов факультета... Настоящие методические указания составлены в соответ­ствии с программой по ветеринарной токсикологии для выс­ших сельскохозяйственных...
	Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников... Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального колледжа		Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников... Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального колледжа
	Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников... В методических указаниях приведены рекомендации по изуче­нию программного материала, вопросы для самоконтроля, рекомен­дации по выполнению...		Методические указания и контрольные задания для студентов заочников... Публикуется по решению учебно – методического совета кчгта, протокол № от
	Методическое пособие по дисциплине «Английский язык» Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников образовательных учебных учреждений спо		Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников... ...
	Методические указания и контрольные задания для студентов первого... Английский язык: Методические указания и контрольные задания для студентов первого		Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников... Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования
	Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников...		Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине "Грузоподъемные механизмы и транспортные средства"...
	Методические указания для выполнения контрольных заданий для студентов... Методические указания предназначены для студентов I курса фдо инженерных специальностей. В методических указаниях содержатся контрольные...		Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов всех специальностей Культурология: рабочая программа, метод указания и контр задания для студентов всех специальностей идо / Сост. Т. А. Чухно, Н. А....
	Немецкий язык методические указания и контрольные задания для студентов... Немецкий язык : методические указания и контрольные задания для студентов 2 курса железнодорожных специальностей заочной формы обучения...		Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников образовательных учреждений Методические указания учебной дисциплины разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее –...