Гимназия №1543. 9-В класс. Геометрия-24 12 января 2010 г. Теорема косинусов
Формула проекций для треугольника. а = bcos + ccos
Теорема косинусов. а2 = b2 + c2 – 2bccos , где a, b, c – стороны треугольника, –угол, противолежащий стороне а.
Следствие 1. 
Следствие 2. Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними не равны, то третьи стороны не равны, и против большего угла лежит большая сторона.
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Стороны треугольника равны 5, 8, 10. Определите его вид ( по углам).
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 и 8 и углом между ними, равным 60.
В трапеции АВСD основание АD = 16, а боковая сторона СD = 83. Окружность, проходящая через точки А, В и С, пересекает прямую АD в точке М, АМВ = 60. Найдите ВМ.
Докажите, что из двух медиан треугольника больше та, которая проведена к меньшей стороне.
а) Стороны треугольника равны 4, 5, 6. Найдите длину медианы, проведенной к большей стороне.
б) Докажите, что  , где а, b, с – стороны треугольника, mс – медиана, проведенная к стороне с.
Основания трапеции равны 1 и 6, а диагонали – 3 и 5. Под каким углом видны основания из точки пересечения диагоналей?
Домашнее задание
Точки М и N лежат соответственно на сторонах АD и ВС ромба АВСD, причем
DМ : АМ = = ВN : NC = 2 : 1. Найдите МN, если АВ = а, ВАD = 60.
Стороны треугольника равны 5, 12 и х. При каких значениях х он прямоугольный? Остроугольный? Тупоугольный?
Угол при вершине D трапеции АВСD с основаниями АD и ВС равен 30, АD = 10, ВС = 3, СD = 42. Найдите длины диагоналей и боковой стороны АВ.
Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удален от вершин острых углов на расстояния а и b. Найдите гипотенузу.
В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.
Задача на 5
Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки окружности до вершин правильного вписанного в эту окружность треугольника не зависит от положения точки на окружности.
Гимназия №1543. 9-В класс. Геометрия-25 20 января 2010 г. Разные задачи
В треугольнике АВС С = 60, АВ = 31. На стороне АС отложен отрезок АD = 3. Найдите длину ВС, если ВD = 27.
Найдите синус большего острого угла прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности в 2,5 раза больше радиуса вписанной окружности.
В окружности проведены три хорды: МN = 1, MP = 6, MQ = 2. При этом углы NMP и PMQ равны. Найдите радиус окружности.
Две окружности радиусов R и r касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания данных окружностей между собой.
Основания трапеции равны 2 см и 9 см. Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего ее площадь на две равные части.
Домашнее задание
Через точку О пересечения диагоналей трапеции АВСD проведена прямая, параллельная основанию ВС. Определите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции, если средняя линия трапеции равна 4/3, а ВО : ОD = 1/3.
Докажите, что отрезки общей секущей двух внутренне касательных окружностей, заключенные между обеими окружностями и не налегающие друг на друга, видны из точки касания под равными углами.
Дана окружность радиуса R с центром в точке О. Из конца отрезка ОА, пересекающегося с окружностью в точке М, проведена касательная к окружности АК. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков АК, АМ и дуги МК, если ОАК = 60.
В окружности проведены хорды АВ и ВС, причем АВ = 3, ВС = 33, АВС =60. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол АВС пополам.
Гимназия №1543. 9-В класс. Геометрия-26. 27 января 2010 г. Теоремы синусов и косинусов
Около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Известно, что АВ= 3, ВС = 4, СD = 5 и АD = 2. Найдите АС.
В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС, АС в точках М, D, N соответственно. Найдите МD, если известно, что NA = 2, NC = 3, ВСА =60.
Дан угол ВАС. Внутри него выбрана точка М, удаленная от сторон угла на расстояния а и b. Найдите АМ, если ВАС = .
Теорема Стюарта. Если точка D расположена на стороне ВС треугольника АВС, то  .
Домашнее задание
Одна из сторон треугольника равна 6, вторая сторона равна 27, а противолежащий ей угол равен 60o. Найдите третью сторону треугольника.
В треугольнике ABC известно, что AC = 13, AB = 14, BC = 15. На стороне BC взята точка M, причём CM : MB = 1 : 2. Найдите AM.
В треугольнике АВС проведены высоты АD и СЕ. Найдите АС, если известно, что ВС = а, АВ = b, DE/АC = k.
Дан треугольник АВС, в котором ВАС = 75, АВ = 1, АС = 6. На стороне ВС выбрана точка М так, что ВАМ = 30. Прямая АМ пересекает окружность, описанную около треугольника АВС, в точке N, отличной от А. Найдите АN.
В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС диагонали АС и ВD пересекаются в точке Е. Вокруг треугольника ЕСВ описана окружность. Касательная к этой окружности, проведенная в точке Е, пересекает прямую АD в точке F. Найдите ЕF, если АF = а, DF = b.
|
